01讲 菱形的性质与判定2024-2025学年北师大版数学九年级上册基础与提升

01讲 菱形的性质与判定 一、思维导图 二、知识梳理 （一）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （二）菱形的性质： 1.边：对边平行，四条边相等. 2.角：对角相等，邻角互补. 3.对角线：对角线互相垂直，互相平分，每条对角线平分一组对角. 4.对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线）. （三）菱形的判定： 1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四边相等的四边形是菱形. 三、夯实基础 知识点1：菱形的性质 1.若菱形的一条边长为，则这个菱形的周长为(     ) A. B. C. D. 2.一个菱形的两条对角线的长分别是和，则这个菱形的面积为(     ) A. B. C. D. 3.如图，菱形中，连接，，若，则的度数为    A. B. C. D. 4.如图，四边形是菱形，顶点，的坐标分别是，，点在轴的正半轴上，则顶点的坐标是(    ) A. B. C. D. 5.如图，是菱形的对角线的交点，，分别是，的中点，下列结论： 四边形是菱形 是轴对称图形． 其中正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.如图，在菱形中，，，分别在边，上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则的度数为            ． 7.如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于           ． 8.如图，四边形是菱形，于点，于点． 求证：． 知识点2：菱形的判定 1.如图，已知四边形的对角线互相垂直，如果适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形，那么这个条件可以是． A. B. C. D. ，互相平分 2.已知平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为菱形的是． A. B. C. D. 3.如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：2 则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为(    ) A. 仅甲正确 B. 仅乙正确 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误 4.下列命题中，是假命题的是(    ) A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 平行四边形的对角线相等 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 菱形对角线互相垂直平分 5.菱形的判定方法： 有一组           相等的平行四边形是菱形． 四边           的四边形是菱形． 对角线           的平行四边形是菱形． 6.用直尺和圆规作一个以线段为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形是菱形的依据是                                        ． 7.如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． 求证：四边形是菱形； 若，，求的长． 8.如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形； 已知菱形的对角线，点、分别是菱形的边、的中点，连接，若，求菱形的周长． 四、拓展提升 1.如图，在菱形中，，对角线若过点作，垂足为，则的长为    ． A. B. C. D. 2.已知如图，在中，，为锐角，将沿对角线边平移，得到，连接和，若使四边形是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：；乙方案：；丙方案：；其中正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有乙、丙 C．只有甲、乙 D．只有甲 3.如图，在菱形中，，，过点A分别作，，垂足分别为E，F，连接，则的面积为（       ）     A． B． C． D． 4.如图，边长为3的菱形中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以和为边作平行四边形，则的最小值为 ． 5.如图，在菱形纸片中，，，将该菱形纸片沿折痕翻折，使点D落在的中点G处，则的长是 ． 6.在平面直角坐标系中，菱形的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点D在y轴上，．   (1)求点C和点D的坐标． (2)点P是对角线上一个动点，当最短时，求点P的坐标． 参考答案： 三、夯实基础 知识点1：菱形的性质 1. A; 2. D; 3. C; 4. A; 5. C; 6. 20°； 7. 3； 8.证明：四边形是菱形， ，， ，， ， 在和中，， ≌， ， ， ．  知识点2：菱形的判定 1. D; 2.C; 3.C 4.B; 5. (1)邻边 ;(2)相等 ;(3)互相垂直 ; 6. 四边都相等的四边形是菱形; 7.证明：， ， 垂直平分， ， 在和中， ≌， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． 解：， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 由可知，， ．  8.证明：，， 四边形是平行四边形， 平分，， ，， ， ， 四边形是菱形． 连接，交于点，如图： 点、分别是边、的中点， ， 、是菱形的对角线，且，， ，，． 在中． ，． ， 菱形的周长为：．  四、拓展提升 1.C; 2.B; 3.A; 4. ; 5. ; 6.解：点的坐标为，点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， 由勾股定理可得： ， 四边形是菱形， 、关于直线对称，设交于，此时的值最小， ， 即． 在中，， ，   第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$