精品解析：江西省赣州市章贡区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题

2022−2023学年章贡区八下期末测试 一．选择题（共6小题） 1. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 2. 一次函数图象不经过下列哪个象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某校男篮队员的年龄分布如表所示： 年龄/岁 13 14 15 人数 a 4﹣a 6 对于不同的a，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A. 平均数，中位数 B. 众数，中位数 C. 众数，方差 D. 平均数，方差 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 3 6. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 二．填空题（共7小题） 7. 将正比例函数y=﹣2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的解析式是_____． 8. 已知平行四边形中，，则的度数为_______． 9. 我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一，如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为和，则中间小正方形的对角线长为______． 10. 如图，一次函数与一次函数图像交于点，则关于x的不等式的解集是______． 11. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，于点H，那么的长是______________________． 12. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝_______． 三．解答题（共11小题） 13. （1）计算： （2）已知，如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，AB//DC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 14. 已知一次函数的图像经过与两点． （1）求这个一次函数解析式； （2）若此一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积． 15. 如图，长方体的底面积为，长、宽、高的比为，则： （1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）长方体表面积和体积分别是多少？ （3）若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，直接写出从点A爬行到点B的最短路程是 ． 16. 如图，在▱ABCD中，点E为边BC上的中点，请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）在图1中，作EF∥AB交AD于点F； （2）在图2中，若AB＝BC，作一矩形，使得其面积等于▱ABCD的一半． 17. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米． （1）求旗杆的高度． （2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度为2米，问小迪需要后退几米？ 18. 某校为了解家长对昆明市推进爱国卫生“7个专项行动”的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩，成绩用x（单位：分）表示． 数据收集： 90 82 99 86 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 100 96 92 100 数据整理： 3 4 a 4 4 数据分析： 平均分 中位数 众数 92 b c 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全表中数据：______，______，______； （2）张凡查到他爸爸考了93分，很自豪地说：“我爸的成绩超过了50%的家长！”张凡的说法对吗？若对，请说明理由；若错，请改正． （3）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？ 19. 为迎接“国家级文明卫生城市“检查，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研发现；购买1个A型垃圾箱和2个B型拉圾箱共需元：购买了3个A型拉圾箱和1个B型垃圾箱共需元． （1）求1个A型垃圾箱，1个B型垃圾箱分别是多少元？ （2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共个，其中购买A型垃圾箱x（）个． ①求购买垃圾箱的总费用W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数表达式； ②当购买A型垃圾箱多少个时，总费用最少？最少费用是多少？ 20. 京九铁路“南昌到赣州”段是连接省会城市与江西南大门城市的重要通道．一列快车从南昌开往赣州，列慢车从赣州开往南昌，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． （1）慢车速度为________，快车的速度为________； （2）当快车到达终点赣州后，求与之间的函数关系． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm，E点F点分别为AB，AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）求菱形AEDF的面积； （3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？ 22. 对于函数，小明探究了它的图像及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是______； （2）令b分别取0，1和，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m的值是______，n的值是______； … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 1 2 3 … … 4 2 1 2 3 4 … … 1 0 0 1 … （3）根据表中数据，补全函数，，图像： （4）结合函数，，的图像，写出函数的一条性质：______； （5）点和点都在函数的图像上，当时，若总有，结合函数图像，直接写出和的大小关系． 23. 如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索研究这个图形的特殊性质，某数学学习小组经历了如下过程： 初步体验 如图1，连接，且，求证：与互相平分． 规律探究 （1）如图1中， ． （2）如图2，若，其他条件不变，（1）中的数量关系是否会发生变化？如果不会，请证明你的结论；如果会发生变化，请说明理由． 拓展应用 如图3，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022−2023学年章贡区八下期末测试 一．选择题（共6小题） 1. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（　　） A. 2，2，3 B. 4，5，7 C. 5，12，13 D. 10，10，10 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理运算判断． 【详解】解：A、22+22≠32，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； B、42+52≠72，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； C、52+122=132，故该三条线段能组成直角三角形，故该项符合题意； D、102+102≠102，故该三条线段不能组成直角三角形，故该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法：两条较小线段的平方和等于较长线段的平方，则该三角形即为直角三角形是解题的关键． 2. 一次函数的图象不经过下列哪个象限（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象，掌握一次函数的图象是解题的关键． 直接利用的正负即可判断出一次函数经过的象限，从而得出答案． 【详解】， ∴图象经过第二，四象限． 又 ， ∴一次函数的图象与y轴的交点在y轴负半轴，即函数图象经过第三象限， ∴函数图象不经过第一象限， 故选：A． 3. 某校男篮队员的年龄分布如表所示： 年龄/岁 13 14 15 人数 a 4﹣a 6 对于不同的a，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A. 平均数，中位数 B. 众数，中位数 C. 众数，方差 D. 平均数，方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据频数分布表可得前两组的频数和为4，然后求得总人数，最后结合频数分布表即可确定中位数和众数． 【详解】解：由表可知，年龄13-14岁的频数和为a+4﹣a＝4， 则总人数为：4+6＝10， 故该组数据的众数为15岁； 将数据按大小排列后，第5个和第6个数据处于中间位置，则中位数为：＝15岁. 即对于不同的a，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数. 故选：B． 【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，根据表中数据得出数据特点确定总人数是解答本题的关键． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，不最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 5. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，连接，若，，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质结合勾股定理可求出，从而求出．再根据三角形中位线的性质即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∵点E、F分别是中点， ∴为的中位线， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 6. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图，则的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，动点问题的函数图象，由函数图象，得到，，，再由勾股定理，三角形面积公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由图象知：，，， 令， ∴ 由勾股定理： ∴， ∴， 故选：B． 二．填空题（共7小题） 7. 将正比例函数y=﹣2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的解析式是_____． 【答案】y=-2x+3 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的规律即可得出结论． 【详解】解：正比例函数y=-2x的图象向上平移3个单位，则平移后所得图象的解析式是：y=-2x+3， 故答案为y=-2x+3． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键． 8. 已知平行四边形中，，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，两邻角互补．根据平行四边形对角相等，可求出，根据邻角互补继而求出． 【详解】解：在平行四边形中， ， ， ， 故答案为：． 9. 我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，成为中国古代数学成就的标志之一，如图，若弦图中四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为和，则中间小正方形的对角线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据边长求出中间小正方形的边长，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，，连接， 根据题意可得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键． 10. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】图象法解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式．解题的关键是掌握图象法解不等式． 11. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，于点H，那么的长是______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连结，延长交于点M，利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式即可解答． 【详解】解：连结，延长交于点M， 正方形和正方形中，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在△AOB的边上，则正方形的边长＝_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况分别讨论：如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC，设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3，求出m，也就求出正方形的边长；如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF，根据一次函数与坐标轴的特点求出45°角，再根据正方形的性质用x表示出边长，根据线段之和求出x的值，从而求出正方形的边长． 【详解】解：①如图①所示，以坐标轴作为正方形的两条邻边，做正方形OEDC， ∴CD＝DE， 设D（m，m），将D点横纵坐标代入y＝﹣x+3， 得m＝﹣m+3， m＝， ∴D（，） ∴正方形的边长是； ②如图②所示，以直线y＝﹣x+3为正方形的一边可得正方形CDEF， 令x＝0，y＝3，y＝0，x＝3， ∴OB＝OA， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OBA＝∠OAB＝45°， ∵四边形CDEF是正方形， ∴CF＝CD＝DE＝FE，CF∥BA， ∴∠OCF＝∠OBA＝45°，∠CFO＝∠OAB＝45°， 设OF＝x，则CF＝x， ∴EF＝x， 在Rt△FEA中，sin45°＝， ∴AF＝2x， ∵OF+AF＝OA， ∴x+2x＝3， 解得x＝1． ∴EF＝， ∴正方形的边长是； 综上所述：正方形的边长是或． 故答案为：或． 【点睛】考查了过定点的直线、一次函数性质、正方形性质，解题关键是掌握这几个知识点的综合应用和分情况讨论． 三．解答题（共11小题） 13. （1）计算： （2）已知，如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，AB//DC．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）-2；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的乘法和除法，再计算加减法； （2）利用平行线证得∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，得到∠B=∠D，由此得到结论． 【详解】解：（1） =2-4 =-2； （2）∵ABDC， ∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°， ∵∠A=∠C， ∴∠B=∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，证明四边形是平行四边形，熟练掌握二次根式乘除法计算法则及平行四边形的判定定理是解题的关键． 14. 已知一次函数的图像经过与两点． （1）求这个一次函数解析式； （2）若此一次函数图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据一次函数的图象经过与两点，可以求得该函数的解析式； （2）根据（1）中的函数解析式和题意，可以求得点A和点B的坐标，从而可以求得的面积． 【小问1详解】 解：设这个一次函数解析式为（） ∵的图象过点与 ∴ 解这个方程组得 ∴这个一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：令，则 ∴点坐标为 令，则 ∴点坐标为 ∴． 15. 如图，长方体的底面积为，长、宽、高的比为，则： （1）这个长方体的长、宽、高分别是多少？ （2）长方体的表面积和体积分别是多少？ （3）若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B，直接写出从点A爬行到点B最短路程是 ． 【答案】（1）这个长方体的长、宽、高分别是 （2）这个长方体的体积为，表面积为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，平面展开-最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）设这个长方体的长、宽、高分别是，根据长方体的底面积为，建立方程求解即可； （2）由（1）中结果列式计算即可； （3）把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．应该是前面和上面展开，利用勾股定理可求得． 【小问1详解】 解：设这个长方体的长、宽、高分别是，根据题意得： ，即， （负值舍去） 这个长方体的长、宽、高分别是； 【小问2详解】 解：由（1）知这个长方体的长、宽、高分别是， 这个长方体的体积为：， 这个长方体的表面积为：； 【小问3详解】 解：平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． 展开前面上面，由勾股定理得； 展开前面右面，由勾股定理得； 展开前面和左面，由勾股定理得． ， 最短路径的长为． 16. 如图，在▱ABCD中，点E为边BC上的中点，请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）． （1）在图1中，作EF∥AB交AD于点F； （2）在图2中，若AB＝BC，作一矩形，使得其面积等于▱ABCD的一半． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）连接AC和BD，它们的交点为0，延长EO并延长交AD于F，则F点为所作； （2）延长EO交AD于G，连接CG、ED交于点P，作直线OP交AB于H，交CD于F，则四边形EHGF为所作． 【详解】解：（1）如图1，F点就是所求作的点； （2）如图2，矩形EGFH就是所求作的四边形． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质． 17. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小迪同学将绳子拉直，测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米． （1）求旗杆的高度． （2）小迪在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂（拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直），后退至将绳子刚好拉直为止，测得小迪手臂伸直后离地的高度为2米，问小迪需要后退几米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设旗杆的高度为，则绳子长度为，利用勾股定理得到，解方程即可得到答案； （2）如图所示，过点E作于G，则四边形为矩形，则，，，利用勾股定理求出的长进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则绳子长度为， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴旗杆的高度为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于G，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴需要后退． 【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，矩形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． 18. 某校为了解家长对昆明市推进爱国卫生“7个专项行动”知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取20份答卷，并统计成绩，成绩用x（单位：分）表示． 数据收集： 90 82 99 86 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 100 96 92 100 数据整理： 3 4 a 4 4 数据分析： 平均分 中位数 众数 92 b c 请根据以上信息，回答下列问题： （1）补全表中数据：______，______，______； （2）张凡查到他爸爸考了93分，很自豪地说：“我爸的成绩超过了50%的家长！”张凡的说法对吗？若对，请说明理由；若错，请改正． （3）该校有1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于90分的人数是多少？ 【答案】（1）5，91，100； （2）正确，理由见解析 （3）1040人 【解析】 【分析】（1）将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的概念求解可得； （2）根据中位数和平均数来进行判定求解； （3）用总人数乘以样本中不低于90分的人数占被调查人数的比例即可得． 【小问1详解】 解：将这组数据重新排列为：81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100， ∴，，． 故答案为：5，91，100； 【小问2详解】 解：张凡的说法正确． 理由： 因为这组数据的中位数是，平均分是92，而张凡查到他爸爸考了93分， 所以比他分数还低的超过了50%， 所以“我爸的成绩超过了50%的家长！”说法是正确的； 【小问3详解】 解：估计成绩不低于90分的人数是（人）． 答：成绩不低于90分的人数是1040人． 【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数的定义及其意义、用样本估计总体． 19. 为迎接“国家级文明卫生城市“检查，某市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱，通过市场调研发现；购买1个A型垃圾箱和2个B型拉圾箱共需元：购买了3个A型拉圾箱和1个B型垃圾箱共需元． （1）求1个A型垃圾箱，1个B型垃圾箱分别是多少元？ （2）该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共个，其中购买A型垃圾箱x（）个． ①求购买垃圾箱的总费用W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数表达式； ②当购买A型垃圾箱多少个时，总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）1个A型垃圾箱元，1个B型垃圾箱元 （2）①（，且x为整数），②购买个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为元 【解析】 【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买1个A型垃圾箱和2个B型拉圾箱共需元，购买了3个A型拉圾箱和1个B型垃圾箱共需元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设购买x个A型垃圾箱，则购买个B型垃圾箱，根据总价=单价×购进数量，即可得出W关于x的函数关系式；②利用一次函数的性质解决最值问题． 【小问1详解】 解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元， 由题意得：， 解得：， 即1个A型垃圾箱元，1个B型垃圾箱元； 【小问2详解】 解：①设购买x个A型垃圾箱，则购买个B型垃圾箱， 由题意得：（，且x为整数）； ②由①知，， ∴W是x的一次函数． ∵， ∴W随x的增大而减小． 又，且x为整数， ∴当，W取最小值，且最小值为， 即①函数关系式为（，且x为整数）， ②购买个A型垃圾箱，总费用最少，最少费用为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用和性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握二元一次方程和一次函数的性质． 20. 京九铁路“南昌到赣州”段是连接省会城市与江西南大门城市的重要通道．一列快车从南昌开往赣州，列慢车从赣州开往南昌，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系． （1）慢车的速度为________，快车的速度为________； （2）当快车到达终点赣州后，求与之间的函数关系． 【答案】（1）70，105；（2） 【解析】 【分析】（1）设慢车的速度为m千米/时，快车的速度为n千米/时,有图像中的点B与点D的坐标的实际意义，列出二元一次方程组，即可求解； （2）先求出当快车到达终点赣州时，所用的时间，以及两车的间距，从而得到点C的坐标，再用待定系数法，即可得到答案． 【详解】（1）设慢车的速度为m千米/时，快车的速度为n千米/时,由题意得:, 解得：， 答：慢车的速度为70，快车的速度为105. 故答案是：70，105； （2）设当快车到达终点赣州后，与之间的函数关系式为：y=kx+b， ∵当快车到达终点赣州时，x=420÷105=4，y=(4-2.4)×(105+70)=280， ∴C(4，280)， ∵D(6，420)， ∴，解得：， ∴当快车到达终点赣州后，与之间的函数关系为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象以及实际应用，理解函数图象上点的坐标的实际意义，掌握待定系数法，是解题的关键． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10cm，AD＝8cm，E点F点分别为AB，AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）求菱形AEDF的面积； （3）若H从F点出发，在线段FE上以每秒2cm的速度向E点运动，点P从B点出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向C点运动，问当t为何值时，四边形BPHE是平行四边形？当t取何值时，四边形PCFH是平行四边形？ 【答案】（1）证明见解析；（2）20；（3）2秒 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一可得出D为BC的中点，结合E、F分别为AB、AC的中点可得出DE和DF是△ABC的中位线，根据中位线的定义可得出DE∥AC、DF∥AB，即四边形AEDF是平行四边形，根据三角形中位线定义可得出DE=AC、DF=AB，结合AB=AC即可得出DE=DF，从而得出四边形AEDF是菱形； （2）根据中位线的定义可得出EF的长度，根据菱形的面积公式可求出菱形AEDF的面积； （3）由中位线的定义可得出EF∥BC，根据平行四边形的判定定理可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴D为BC的中点． ∵E、F分别为AB、AC的中点， ∴DE和DF是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形． ∵E，F分别为AB，AC的中点，AB=AC， ∴AE=AF， ∴四边形AEDF是菱形， （2）解：∵EF为△ABC的中位线， ∴EF=BC=5． ∵AD=8，AD⊥EF， ∴S菱形AEDF=AD•EF=×8×5=20． （3）解：∵EF∥BC， ∴EH∥BP． 若四边形BPHE为平行四边形，则须EH=BP， ∴5﹣2t=3t， 解得：t=1， ∴当t=1秒时，四边形BPHE为平行四边形． ∵EF∥BC， ∴FH∥PC． 若四边形PCFH为平行四边形，则须FH=PC， ∴2t=10﹣3t， 解得：t=2， ∴当t=2秒时，四边形PCFH为平行四边形． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、三角形的中位线、菱形的面积、等腰三角形的性质、平行四边形的判定以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据三角形中位线的性质找出DE∥AC、DF∥AB；（2）牢记菱形的面积公式；（3）根据平行四边形的判定定理找出关于t的一元一次方程． 22. 对于函数，小明探究了它的图像及部分性质．下面是他的探究过程，请补充完整： （1）自变量x的取值范围是______； （2）令b分别取0，1和，所得三个函数中的自变量与其对应的函数值如下表，则表中m的值是______，n的值是______； … 0 1 2 3 … … 3 2 1 0 1 2 3 … … 4 2 1 2 3 4 … … 1 0 0 1 … （3）根据表中数据，补全函数，，的图像： （4）结合函数，，的图像，写出函数的一条性质：______； （5）点和点都在函数的图像上，当时，若总有，结合函数图像，直接写出和的大小关系． 【答案】（1）全体实数 （2）3， （3）补全图像见解析 （4）图像关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大 （5）当且时，；当且时， 【解析】 【分析】（1）根据解析式即可确定自变量取值范围； （2）把代入，求得，把代入，求得； （3）根据表格数据补全函数，，的图像即可； （4）观察图像即可求得； （5）根据图像即可得到结论． 【小问1详解】 解：函数中，自变量可以是全体实数， 故答案为：全体实数； 【小问2详解】 解：把代入，得， 把代入，得， ∴， 故答案为：3，−1； 【小问3详解】 解：补全函数，，的图像如下： 【小问4详解】 解：由图知，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小； 故答案为：当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而减小； 【小问5详解】 解：∵点（，）和点（，）都在函数的图像上，当时， ∴点（，）和点（，）在轴的同一侧， 观察图像，当时，若总有，即或． 【点睛】本题考查了通过列表法和解析式法对函数的性质进行分析，画出函数图像，并研究和总结函数的性质；数形结合是解题的关键． 23. 如图，在正方形中，点、是正方形内两点，，，为探索研究这个图形的特殊性质，某数学学习小组经历了如下过程： 初步体验 如图1，连接，且，求证：与互相平分． 规律探究 （1）如图1中， ． （2）如图2，若，其他条件不变，（1）中的数量关系是否会发生变化？如果不会，请证明你的结论；如果会发生变化，请说明理由． 拓展应用 如图3，若，，求的长． 【答案】初步体验：详见解析；规律探究：（1）2；（2）仍然成立，理由详见解析；拓展应用： 【解析】 【分析】初步体验：连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形性质证明； 规律探究：（1）根据正方形的性质、勾股定理证明； （2）过D作交的延长线于M，连接，证明四边形是矩形，得到，根据勾股定理计算； 拓展应用：过P作，过B作于E，根据（1）的结论求出，结合图形解答． 【详解】初步体验： 证明：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴互相平分； 规律探究： （1）解：设交于点O， 则，． ∵， ∴． 在中，． ∴． 在正方形中，． ∴； （2）解：当时，仍然成立， 理由如下：如图2，过D作交的延长线于M，连接． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴．即； 拓展应用： 解：如图3，过P作，过B作于E， 则由上述结论知，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，正确作出辅助性、掌握正方形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$