精品解析：河北省石家庄市2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

石家庄市2024-2025学年度第二学期期末教学质量检测 高二数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 以下是某离散型随机变量的分布列，则实数（ ） 0 1 A. B. C. 或 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质进行求解即可. 【详解】根据分布列的性质可知：，或， 故选：C 2. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（ ） A. B. （为自然数的底数） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义进行运算判断即可. 【详解】A：函数在区间上的平均变化率为； B：函数在区间上的平均变化率为； C：函数在区间上的平均变化率为； D：函数在区间上的平均变化率为； 因为， 所以选项的函数在区间上的平均变化率最大， 故选： 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.45 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.3 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件得：，，计算可得答案. 【详解】， 故选：B 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线至少经过一个样本点 B. 在回归分析模型中，决定系数越小，模型的拟合效果越好 C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 D. 当样本相关系数时，成对样本数据正相关 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程的性质、决定系数的性质，结合残差图的特征逐一判断即可. 【详解】A：回归直线过样本中心点，每个样本点不一定都在回归直线方程上，所以本选项说法不正确； B：因为在回归分析模型中，决定系数越大，模型的拟合效果越好，所以本选项说法不正确； C：因为残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高， 所以本选项说法不正确， D：当样本相关系数时，成对样本数据正相关，因此本选项说法正确， 故选：D 5. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A 6. 一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用 表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用 表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数， ， 的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布和超几何分布的期望和方差的性质进行判断即可. 【详解】由题意可知 服从二项分布， 服从超几何分布，因此它们的期望相同， 又因为超几何分布更集中在均值附近，所以有， 故选：A 7. 已知随机事件 、 满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式，结合和事件概率公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以有， 因此， 故选：A 8. 已知，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出． 【详解】构造函数， 当 时， ，故在上单调递增， 所以， 构造函数， 则， 当在单调递增， 所以，即， 所以. 故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若展开式中二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A. B. 所有项的系数和为 C. 展开式中的有理项共有3项 D. 第三项的二项式系数最大 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二项式系数和公式，结合代入法、二项式的通项公式逐一判断即可. 【详解】A：因为展开式中二项式系数和为64，有，正确； B：在中，令，所有项的系数和为，正确； C：二项式的通项公式为， 当时，对应的项都是有理项，共有 项，不正确， D：根据二项式系数的性质可知：第四项的二项式系数最大，不正确， 故选：AB 10. A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ） A. 五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B. 安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C. 五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D. A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑即可求解A,根据排列即可求解B，根据分组分配问题即可求解C，利用列举，结合分步乘法计数原理即可求解D. 【详解】对于A,将A、B两名同学看作一个整体，与其他三个同学一起全排列，则共有种情况，故A正确， 对于B，安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有种安排方法,故B错误， 对于C,由于A、B、C三人值日的先后顺序固定，只需要将剩下两名同学安排好即可，故共有种方法，故C正确， 对于D,从三个人中选2个人安排在第一天和第二天，则有种方法，假若前两天值日的人为分别为 ，则6天的安排有共有5种，故总的安排有,故D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 此函数的最大值为（为自然对数的底数） B. C. ，使 D. 若，有两个不等实根，则（为自然对数的底数） 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数研究函数单调性、零点情况，结合即可分析判断ABC；将题设等价转换为，令，则，即与有两个不交点，利用导数研究函数的单调性，作出的图像，利用数形结合即可得解判断D. 【详解】对于A，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以函数的最大值为，故A正确， 对于B，因为，且当时，单调递减， 所以，故B正确； 对于C，因为，当时，单调递减且，当时，单调递增， 所以函数有唯一零点， 因此由，由于函数的最大值为， 所以方程无实数解，不C错误； 对于D，有两个不等实根，则有两个不等的解， ，令，则， 由，所以，所以， 令有，由， 所以在单调递增，在单调递减，， 作出的图像： 由图可知， 所以有两个不等的解，则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：12、13每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分 12. 计算：________ 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的公式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 13. 用（为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求出回归方程，令，变换后得到的线性回归方程为，则________ 【答案】 【解析】 【分析】化简已知得，得，即得解. 【详解】因，两边取对数得：， 令，则，而，于是得，即. 故答案为：. 14. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学玩邮件漂流瓶游戏，规则为：首先由甲同学把一封邮件随机的发送给其他四名同学中的一名，接到邮件的同学再随机的把邮件发送给另外四名同学中的一名，如此传递下去，则第3次发送后乙接收到邮件的概率________，记前 次的发送中乙接到邮件的次数为 ，则________（附：） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解空1，设第 次的发送中乙接到邮件的次数为，则，故，证明，结合分组求和 和等比数列求和公式求结论. 【详解】游戏开始，甲随机的发送给其中一个人，故乙收到的概率为，不是乙的概率为， 第2次发射后，乙收到的概率为，乙没有收到的概率为， 故第3次发送后乙接收到邮件，则第2次发射时邮件不能在乙手里，故概率为， 设第 次的发送中乙接到邮件的次数为， 则的可能取值为，表示第 次乙没接到邮件，表示第 次乙接到邮件，所以， 则,则， 则当 时，，， 故，且， 故， 因此， 故， 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校为了调查学生对食堂饭菜的满意情况，发放了1000份调查问卷，得到的数据如下： 男生 女生 合计 满意 300 300 600 不满意 100 300 400 合计 400 600 1000 （1）依据的独立性检验，能否认为学生性别与其对食堂的满意情况有关联？ （2）在被调查的1000名学生中，按男女比例以分层抽样的方式随机抽取男女生共15人，再从15人中随机抽出5人作为代表与食堂负责人座谈，设5人中男生人数为 ，求及. 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）依据小概率事件的独立性检验，认为性格与其对食堂的满意情况有关,此推断犯错误的概率不大于0.01. （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较作答， （2）根据超几何分布的概率公式，即可求解概率，进而由期望公式求解. 【小问1详解】 零假设学生性别与其对食堂的满意情况无关联， 由表中数据可得 ， 依据小概率事件的独立性检验，我们推断不成立，即认为性格与其对食堂的满意情况有关,此推断犯错误的概率不大于0.01. . 【小问2详解】 由题中数据可知抽取的15人男生6人，女生9人， 服从超几何分布， ， ，，， ， 故 16. 一组实验数据如下： 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （1）根据表中数据，计算，. （2）根据表中数据计算样本相关系数.（保留两位小数）. （3）由数据用最小二乘法可得线性回归方程为，统计学中常用决定系数刻画回归效果，例如假设，就说明响应变量 的差异有由解释变量 引起.请计算本题的（保留两位小数），并指出本题中响应变量 的差异在多大程度上由解释变量 引起. （附：，，，） 【答案】（1），， （2） （3）,响应变量 的差异有由解释变量 引起. 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算即可求解， （2）根据相关系数的计算公式即可求解， （3）根据所给公式，代入即可求解. 【小问1详解】 ，， 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 由于， 响应变量 的差异有由解释变量 引起. 17. 某班组织知识竞赛，分抢答和必答环节.抢答环节有一道题目.在抢答环节中，甲乙两人每人抢到题目的机会相等，且题目必被一名同学抢到.抢到题目且回答正确者得3分，同时没抢到者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，同时对方得3分.必答环节每人一题，答对得5分，答错得0分.甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，两个环节相互独立，两人回答问题是否答对互不影响. （1）记抢答环节甲同学累计得分为 ，求 的分布列； （2）记两个环节结束甲同学累计得分为 ，求. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意， 的所有取值为，进而求得所有取值对应的概率即可求解； （2）由题意， 的所有取值为，进而求得所有取值对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【小问1详解】 由题意， 的所有取值为， 则， ， 所以 的分布列为： 0 3 【小问2详解】由题意， 的所有取值为， 由（1）知，抢答环节甲同学累计得分为0的概率为，得分为3的概率为， 则，， ，， 则. 18. 有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. （1）求首次摸球后试验就结束的概率； （2）在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； （3）在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 【答案】（1）； （2）； （3）方案二. 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率概率公式计算可得； （3）分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可. 【小问1详解】 设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 则， 所以首次摸球后试验就结束的概率为. 【小问2详解】 由题意，和为对立事件，则， 则， 所以选到的袋子是乙袋的概率是. 【小问3详解】 方案一：从原袋中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 原袋（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 原袋（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为. 方案二：从另外一个袋子中摸球 若首次在甲袋中摸出红球，则， 另一个袋子（乙袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为； 若首次在乙袋中摸出红球，则， 另一个袋子（甲袋）中摸出白球的概率，所以第二次摸球后试验结束的概率为. 综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为. 因为，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大. 19. 已知曲线在点处切线方程为，其中 为常数． （1）①求 的值；②证明：只有一个零点． （2）若函数，且存在正实数 ，使得成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）①，； ②证明：由①知，， 记，则， 所以在上单调递增， 又， 所以由零点存在定理知，存在唯一零点，使得， 故函数只有一个零点． （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意得，求函数的导数，由导数的几何意义即可求解；②由①知，，记，由导数研究函数的单调性进行求解； （2）因为存在正实数 ，使得成立，即存在正实数 ，使得成立．令，则，由单调性求出，即可求解． 【小问1详解】 ①由题意得，， 则，解得． 易得，则， 因为点在直线上， 所以，解得． ②略 【小问2详解】 因为存在正实数 ，使得成立， 所以存在正实数 ，使得成立， 即存在正实数 ，使得成立． 令，则， 由（1）②知，有唯一解在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以． 由，得，即， 即，亦即． 易得在上单调递增， 由，得，所以，即， 所以， 故，即 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市2024-2025学年度第二学期期末教学质量检测 高二数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 以下是某离散型随机变量的分布列，则实数（ ） 0 1 A. B. C. 或 D. 1 2. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（ ） A. B. （为自然数的底数） C. D. 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.45 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.3 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线至少经过一个样本点 B. 在回归分析模型中，决定系数越小，模型的拟合效果越好 C. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 D. 当样本相关系数时，成对样本数据正相关 5. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 一个箱子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个红球，从中随机的摸出20个，用 表示采取放回摸球时摸到黄球的个数，用 表示采取不放回摸球时摸到的黄球个数， ， 的概率分布图如下所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机事件 、 满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若展开式中二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A. B. 所有项的系数和为 C. 展开式中的有理项共有3项 D. 第三项的二项式系数最大 10. A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ） A. 五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种 B. 安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法 C. 五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法 D. A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 此函数的最大值为（为自然对数的底数） B. C. ，使 D. 若，有两个不等实根，则（为自然对数的底数） 三、填空题：12、13每小题5分，14题第一空2分，第二空3分，共15分 12. 计算：________ 13. 用（为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求出回归方程，令，变换后得到的线性回归方程为，则 ________ 14. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学玩邮件漂流瓶游戏，规则为：首先由甲同学把一封邮件随机的发送给其他四名同学中的一名，接到邮件的同学再随机的把邮件发送给另外四名同学中的一名，如此传递下去，则第3次发送后乙接收到邮件的概率________，记前 次的发送中乙接到邮件的次数为 ，则________（附：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校为了调查学生对食堂饭菜的满意情况，发放了1000份调查问卷，得到的数据如下： 男生 女生 合计 满意 300 300 600 不满意 100 300 400 合计 400 600 1000 （1）依据的独立性检验，能否认为学生性别与其对食堂的满意情况有关联？ （2）在被调查的1000名学生中，按男女比例以分层抽样的方式随机抽取男女生共15人，再从15人中随机抽出5人作为代表与食堂负责人座谈，设5人中男生人数为 ，求及. 附：，. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 一组实验数据如下： 2 5 8 9 11 12 10 8 8 7 （1）根据表中数据，计算，. （2）根据表中数据计算样本相关系数.（保留两位小数）. （3）由数据用最小二乘法可得线性回归方程为，统计学中常用决定系数刻画回归效果，例如假设，就说明响应变量 的差异有由解释变量 引起.请计算本题的（保留两位小数），并指出本题中响应变量 的差异在多大程度上由解释变量 引起. （附：，，，） 17. 某班组织知识竞赛，分抢答和必答环节.抢答环节有一道题目.在抢答环节中，甲乙两人每人抢到题目的机会相等，且题目必被一名同学抢到.抢到题目且回答正确者得3分，同时没抢到者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，同时对方得3分.必答环节每人一题，答对得5分，答错得0分.甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，两个环节相互独立，两人回答问题是否答对互不影响. （1）记抢答环节甲同学累计得分为 ，求 的分布列； （2）记两个环节结束甲同学累计得分为 ，求. 18. 有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有3个红球7个白球，乙袋中有4个红球6个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束. （1）求首次摸球后试验就结束的概率； （2）在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率； （3）在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸球试验，有如下两个方案：方案一：从原袋中摸球； 方案二：从另外一个袋子中摸球. 请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大. 19. 已知曲线在点处切线方程为，其中 为常数． （1）①求 的值；②证明：只有一个零点． （2）若函数，且存在正实数 ，使得成立，求实数 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $