2.1 认识一元二次方程课件 2025—-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 北师大版九年级数学上册 第一节 认识一元二次方程 第1课时 学习目标 1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点） 复习导入 1. 我们学过的方程有哪些？ 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 2. 判断下列方程是我们学过的哪类方程？ （1）5x+3 = 8 （2）x + y = 8 （3） 一元一次方程 二元一次方程 分式方程 幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 8 m 5 m 你能求出这个宽度吗？ 如果设所求的宽为 x m ， 那么地毯的长为 m， 宽为　 m， 根据题意，可得方程： （ 8－2x ） （ 5－2x ） (8－2x )(5－2x ) = 18 探究新知 化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .① 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 7 m 1 m 10 m 6 m 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　m. 6 如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙_______m. （x＋6） 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 ＝ 102 化简得，x2 + 12 x - 15 = 0. ② ① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 + 12 x - 15 = 0. 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程． 观察与思考 方程①、 ②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 特点: 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) 知识要点 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 例题 例2：把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：化成一元二次方程的一般形式为： 5x2+36x-32=0 二次项系数为5， 一次项系数36， 常数项-32. 特别提醒:确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉各项的符号，一般情况下，将一元二次方程整理为一般形式时，若二次项系数为负数，要把它转化为正数 例题 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0， 即a≠2时,原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 随堂练习 1.关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0是一元二次方程的条件是(　　) A．a≠0 B．a＝1 C．a≠1 D．a为任意实数 C 2.如果方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为(　　) A．±3 B．3 C．－3 D．以上都不对 C 3.把一元二次方程(1－x)(2－x)＝3－x2化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中a，b，c分别为(　　) A．2，3，－1 B．2，－3，－1 C．2，－3，1 D．2，3，1 B 4.若关于x的方程2x2＋mx＝4x＋2中不含一次项，则m＝(　). A．0 B．4 C．－4 D．±4 B 随堂练习 12 5.下列方程中是关于x的一元一次方程的是（ ） 6.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k 　时，是一元二次方程． 当k 　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 随堂练习 13 7. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平方的长方形? 解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得50x2-25x+3=0. 随堂练习 14 8. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？ 解：设有x人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x-1)=10， 整理，得x2-x-20=0. 随堂练习 15 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 1.理解方程的解的概念. 2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点) 3.会估算一元二次方程的解.（难点） 学习目标 第2课时 复习导入 1. 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的______. 一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是 __________________. 2x2 – x - 7 = 0 3. 一元二次方程有哪些特点？ （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次项系数是 2； （3）整式方程. 4. 一元二次方程的一般形式是什么？ ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 探究新知 幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同. 8 m 5 m (8－2x )(5－2x ) = 18 你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度 x(m) 吗？ 8 m 5 m (8－2x )(5－2x ) = 18 （1）x 有可能小于 0 吗？说说你的理由 x 不可能小于 0 ，因为宽度不能为负. x 可能大于 4 吗？ x 不可能大于 4 ， (8-2x)表示地毯的长， 所以有 8-2x > 0. 8 m 5 m (8－2x )(5－2x ) = 18 x 可能大于 2.5 吗？ x 不可能大于 2.5 ， (5-2x) 表示地毯的宽， 所以有 5-2x > 0. （2）你能确定 x 的大致范围吗？ 0 < x < 2.5 (8－2x )(5－2x ) = 18 （3）填写下表： x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 （4）你知道地毯花边的宽 x(m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流. 所求宽度为 x = 1 m. x2 ＋12 x －15 ＝ 0 通过下表你能确定x 的大致范围吗？ x 0 0.5 1 1.5 2 x2 + 12x - 15 通过观察发现，若想使代数式的值为 0，那么 x 的取值应在 1 和 1.5 之间。 所以 1 < x < 1.5 -15 -8.75 -2 5.25 13 1.请求出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根（精确到0.1）. 解：（1）列表.依次取x=0,1,2,3,… 通过观察发现，若想使代数式的值为 0，那么 x 的取值应在 2 和 3之间。 x 0 1 2 3 … x2 - 2x - 1 -1 -2 -1 2 … 当堂练习 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 （2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,… 由表发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 -2x-1＜0.25; （3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45, ∴x≈2.4. x 2.2 2.3 2.4 2.5 … x2 - 2x - 1 -0.79 -0.31 -0.04 0.25 … 当堂练习 2.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0 有一个根为0，求m的值. 二次项系数不为零不容忽视 解：将x=0代入方程m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 当堂练习 26 4.已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得 当堂练习 思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? 解：由题意得 ∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1. 2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗? x=2或-1 当堂练习 1.能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解 2.用估算法判断一元二次方程解的取值范围，具体步骤如下： (1)列表，利用未知数的取值分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值； (2)在表中找出使ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的大 致取值范围； (3)进一步在(2)中的范围内列表、计算、估计范围，直到符合题中精确度要求为止． 课堂小结 $$