排列、组合问题的解题策略课件-2026届高三数学一轮复习

排列、组合问题的解题策略 题型一　特殊元素与特殊位置优先策略 例1(2024·广东广州模拟)五一假期期间,某单位安排5人值5天班,每人值班一天,要求甲不值第一天,乙不值第五天,则不同安排方法的种数为(　　) A.42 B.72 C.78 D.96 C 解析 若甲值第五天,则有=24(种)不同安排方法; 若甲不值第五天,则甲有种安排方法,乙有种安排方法, 其余人全排列即可,故有=54(种)不同安排方法. 综上可得,一共有24+54=78(种)不同安排方法. [对点训练1](多选题)(2024·江苏徐州模拟)用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,则下列说法正确的是(　 　) A.可组成300个不重复的四位数 B.可组成156个不重复的四位偶数 C.可组成120个能被5整除的不重复四位数 D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列,则第85个数字为2 301 ABD 解析 A选项,0不能当首位,所以有=300(个),故A正确; B选项,分为两类,0在末位,有=60(个),0不在末位,有=96(个),所以共有60+96=156(个),故B正确;C选项,分为两类,0在末位,有=60(个);5在末位,有=48(个),所以共有60+48=108(个),故C错误;D选项,首位为1的有=60(个),前两位为20的有=12(个),前两位为21的有=12(个),所以第85个数字是前两位为23的最小数,即为2 301,故D正确.故选ABD. 题型二　相邻问题捆绑策略 例2(2025·山东德州开学考试)为积极落实“双减”政策,丰富学生的课外活动,某校开设了舞蹈、摄影等5门课程,分别安排在周一到周五,每天一节,舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为(　　) A.48 B.36 C.24 D.12 A 解析 舞蹈和摄影课进行捆绑,有种情况,将舞蹈和摄影课看为一个整体,和剩余的3个课程进行全排列,有种情况,故共有=48(种)方案. [对点训练2](2024·山东聊城模拟)周一到周五某公司需要安排甲、乙、丙、丁、戊各值班一天,则甲值完班以后正好轮到乙值班的方法数为(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 B 解析 由于甲值完班以后正好轮到乙值班,故可将甲、乙看作一个整体,且甲、乙值班的顺序是确定的,故只需将甲、乙看作一个元素与丙、丁、戊排列即可,故共有=24(种)方法. 题型三　不相邻问题插空策略 例3(2024·北京石景山一模)中国民族五声调式音阶的各音依次为:宫、商、角、徵、羽,如果用这五个音,排成一个没有重复音的五音音列,且商、角不相邻,徵位于羽的左侧,则可排成的不同音列有(　　) A.18种 B.24种 C.36种 D.72种 C 解析 先将徵、羽两个音节排序,徵在左侧,将宫插入3个空中, 有=3(种)可能,再将商、角插入4个空中的2个,有=12(种)可能, 所以共有3×12=36(种)不同音列. [对点训练3](2024·河北邢台模拟)4名男生和3名女生排成一排照相,要求男生和男生互不相邻,女生与女生也互不相邻,则不同的排法种数是(　　) A.36 B.72 C.81 D.144 D 解析 由题意先将3名女生全排列,然后利用插空法,将4名男生排到3名女生之间的4个空位上,故共有=6×24=144(种)不同的排法. 题型四　定序问题倍缩、空位插入策略 例4 7人排队,其中甲、乙、丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法? 解 (方法一)共有=840(种)不同的排法. (方法二)设想有7把椅子让除甲、乙、丙以外的4人坐,共有种坐法,其余的三个位置给甲、乙、丙坐,有1种坐法,则坐法种数为=840.故共有840种不同的排法. [对点训练4](2024·安徽合肥模拟)一班有5名棋手,出场次序已经排定,二班有2名棋手,现要排出这7人的出场顺序,如果不改变一班棋手出场次序,那么不同排法有(　　) A.12种 B.20种 C.30种 D.42种 D 解析 依题意,7名棋手作全排列为,其中原有5名棋手的排列有, 所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数为=7×6=42. 题型五　分排问题直排策略 例5 有6个人想在某风景区门口站成前后两排(各3人)照相,共有　　　种不同的排法. 720 解析 (方法一)先排前排,有=120(种)排法,再对后排剩下的3人全排列, 有=6(种)排法,共有120×6=720(种)不同的排法. (方法二)分排问题直排处理,等价于6个人站成一排, 共有=720(种)不同的排法. [对点训练5]6名学生排成3排,前排1人,中排2人,后排3人,共有　　　种不同的排法. 720 解析 6名学生直接从前到后排成一排共有种排法,最前面1人为前排1人,第2,3人为中排2人,最后3人为后排3人,故所有不同的排法种数为=720. 题型六　元素相同问题隔板策略 例6(2024·河南郑州模拟)将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班,其中甲、乙两班至少各有1个名额(其余两个班可以没有名额),则不同的分配方案种数为(　　) A.56 B.84 C.126 D.210 B 解析 将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班,其中甲、乙两班至少各有1个名额的分法,等价于将10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班,每个班至少有1个名额的分法.用3个隔板插入10个小球中间的空隙中,将球分成4堆,由于10个小球中间共有9个空隙,因此共有=84(种)不同的分法. [对点训练6](2024·湖南永州三模)为迎接在某市举行的龙舟比赛,一位热情好客的市民准备将9份一样的当地特产分给甲、乙、丙三名幸运观众,若每人至少分得1份,且甲、乙两人分得的份数不相同,则不同的分法总数为 (　　) A.26 B.25 C.24 D.23 C 解析 将9份一样的特产分给甲、乙、丙三名幸运观众,每人至少分得1份,用隔板法有=28(种)分法,而甲、乙两人分得的份数相同,可以都是1份,2份,3份,4份共4种分法,所以不同的分法总数为28-4=24. 题型七　圆排问题线排策略 例7(多选题)(2024·江苏镇江模拟)定义“圆排列”:从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形,称为圆排列,所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种,区别于通常的“直线排列”,既无“头”也无“尾”,所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈,做击鼓传花的游戏,则(　　 ) A.共有种排法 B.若两名女生相邻,则有2种排法 C.若两名女生不相邻,共有4种排法 D.若男生甲位置固定,则有5种排法 ABD 解析 2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈,共有种排法,故A选项正确;若两名女生相邻,则有=2种排法,故B选项正确;若两名女生不相邻,共有=12种排法,故C选项错误;若男生甲位置固定,考虑以甲为基准的顺(逆)时针排列,则有=5种排法,故D选项正确.故选ABD. [对点训练7]有5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有　　　　种不同的站法. 768 解析 把每对姐妹看成一个整体,让5个整体站成一圈,共有种,每对姐妹之间可以交换次序,故不同站法共有25=768(种). $$