13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 导与练 2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 导与练 知识点： 如图，AD,AE,AF分别是ΔABC的高，中线和角平分线。填空： （1)∠ADB= ＝90° （2)BE= =BC （3)∠BAF= ＝∠BAC 易错点： 如图，在ΔABC中。 （1)画出BC边上的高； （2)画出AC边上的中线； （3)画出经过点C的ΔABC的角平分线。 〖点睛〗①注意三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②钝角三角形有两条高在三角形的外部。 典型例题： 题型一 与高有关的计算或证明 例1、 如图，AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C,且AC与BD相交于点E.若AE=5.DE=2,CD=,求AB的长。 变式练习 1. 如图，已知AD⊥BC,BF⊥CF,且AD=2,BC=8,BF=4,那么AC的长度为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2. 在ΔABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=4,AC=5,则ΔABC的三条高之和为 例2、如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D在BC上（D不是BC的中点）， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点 F，BG⊥AC于点G.求证：BG＝DE+DF.  变式练习： 1. 如图，BE，CF均是ΔABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N  求证：AM＝AN. 题型二 与三角形中线有关的计算 例3、在ΔABC中，AB＝AC，BD为ΔABC的中线，且BD将ΔABC的周长分为12cm 与15cm两部分，求ΔABC各边的长． 变式练习： 1. 如图，在ΔABC中，AB＞BC，AB＝2AC，边AC上的中线BD把ΔABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长.   例4、如图，在ΔABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，EC的中点，且S△ABC=12, 则图中阴影部分的面积为（ ) A.1 B.2       C.3 D.4 变式练习： 1. 如图，在ΔABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点.若ΔDEF 的面积为1，则ΔABC的面积是（    ) A.3 B.4 C.8 D.12 2.如图，ΔABC三边上的中线AD，BE，CF交于点G．若S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积是__ 基础练习 1.如图，AD⊥BE,垂足为D,点C在BE上，以AD为高的三角形有（ ） A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 1题 2题图 3题 2.如图，在ΔABC中，BC边上的高是AB，在ΔAEC中，AE边上的高是 3.如图，已知AD为ΔABC的中线，AB=12cm,AC=9cm,ΔACD的周长为27cm,则 ΔABD的周长为 cm. 4.已知AD是ΔABC的高，∠BAD=60°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数为 第5题 5. 如图，D,E分别是ΔABC的边AB,BC上的点，AD=2BD,BE=CE.设ΔADF的面积 为S1,ΔCEF的面积为S2,若SΔABC=6,则S1-S2的值为 . 6.【教材变式】（P9第8题改）如图，在ΔABC中，AE,CD是ΔABC的两条高，AB=4,CD=2. （1)请画出AE,CD; （2)求ΔABC的面积； （3)若AE=3,求BC的长． 7.如图，在ΔABC中，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，SΔABC=4,求SΔBEF. 综合题探究 8.如图，在ΔABC中，AB>AC,AD为BC边上的中线． （1)ΔABD的周长比ΔACD的周长大4. ①若AB=10,则AC=   ;②若AB+AC=14,则AC= ______; （2)ΔABC的周长为27,AB=9,BC边上中线AD=6,ΔACD周长为19,求AC的长． 答案： 知识点： 如图，AD,AE,AF分别是ΔABC的高，中线和角平分线。填空： （1)∠ADB=∠ADC＝90° （2)BE=CE=BC （3)∠BAF=∠CAF＝∠BAC 易错点： 如图，在ΔABC中。 （1)画出BC边上的高； （2)画出AC边上的中线； （3)画出经过点C的ΔABC的角平分线。 〖点睛〗 ①注意三角形的高、中线、角平分线都是线段； ②钝角三角形有两条高在三角形的外部。 典型例题： 题型一 与高有关的计算或证明 例2、 如图，AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C,且AC与BD相交于点E.若AE=5.DE=2,CD=,求AB的长。 解：在ΔAED中，边DE上的高为AB,边AE上的高为DC, 等面积法 SΔAED=AE·CD=DE·AB AE=5,DE=2,CD= x5x=x2·AB. 解得AB=.故AB的长为 变式练习 3. 如图，已知AD⊥BC,BF⊥CF,且AD=2,BC=8,BF=4,那么AC的长度为（ C ） A.2 B.3 C.4 D.5 4. 在ΔABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=4,AC=5,则ΔABC的三条高之和为9.4 例2、如图，在ΔABC中，AB＝AC，点D在BC上（D不是BC的中点）， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点 F，BG⊥AC于点G.求证：BG＝DE+DF.  证明：如图，连接AD..SΔABC＝S△ABD+SΔACD, AC·BG=AB·DE+AC·DF.  ∵AB=AC,.∴.BG=DE+DF. 变式练习： 2. 如图，BE，CF均是ΔABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE于点N  求证：AM＝AN. 证明：BE，CF均是ΔABC的中线， AM⊥CF,AN⊥BE, ∴S△ABE=S△ACF=S△ABC ∴AM·CF=AN·BE. 又CF＝BE.∴AM＝AN. 题型二 与三角形中线有关的计算 例3、在ΔABC中，AB＝AC，BD为ΔABC的中线，且BD将ΔABC的周长分为12cm 与15cm两部分，求ΔABC各边的长． 解：设AB＝xcm，则AD＝CD＝AC＝xcm． 分两种情况讨论： （1）如图①，若AB＋AD＝12cm，则x＋x＝12． 解得x＝8，即AB＝AC＝8cm，则CD＝AD＝4cm． 故BC＝15-CD＝15-4＝11（cm）．  ：8＋8＞11，即AB＋AC＞BC，．能组成三角形． ．此时ΔABC各边的长分别为8cm，8cm，11cm． （2） 如图②，若AB＋AD＝15cm，则 x+x=15. 解得x＝10，即AB＝AC＝10cm，则CD＝AD＝5cm． 故BC＝12-CD＝12-5＝7（cm） ∵10＋7＞10，即AB＋BC＞AC，∴能组成三角形． 此时ΔABC各边的长分别为10cm，10cm，7cm． 综上所述，ΔABC各边的长分别为8cm，8cm，11cm 或10cm，10cm，7 cm．  变式练习： 2. 如图，在ΔABC中，AB＞BC，AB＝2AC，边AC上的中线BD把ΔABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长. 3. 解：设AC＝x，则AB＝2x． BD是中线， AD=DC=x ∵AB>BC,∴AB+AD>BC+CD, ∴AB+AD=30,BC+CD=20,,2x+x=30. 解得x＝12，则AC＝12，．AB＝2x12＝24， BC=20-x12=14.  例4、如图，在ΔABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，EC的中点，且S△ABC=12, 则图中阴影部分的面积为（ C ) A.1 B.2       C.3 D.4 变式练习： 1.如图，在ΔABC中，D，E，F分别是AC，BD，AE的中点.若ΔDEF 的面积为1，则ΔABC的面积是（  C  ) A.3 B.4 C.8 D.12 2.如图，ΔABC三边上的中线AD，BE，CF交于点G．若S△ABC＝24，则图中阴影部分的面积是__8 基础练习 1.如图，AD⊥BE,垂足为D,点C在BE上，以AD为高的三角形有（ A ） A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 1题 2题图 3题 2.如图，在ΔABC中，BC边上的高是AB，在ΔAEC中，AE边上的高是CD 3.如图，已知AD为ΔABC的中线，AB=12cm,AC=9cm,ΔACD的周长为27cm,则 ΔABD的周长为 30 cm. 4.已知AD是ΔABC的高，∠BAD=60°,∠CAD=20°,则∠BAC的度数为80°或40° 第5题 6题 7题 5.如图，D,E分别是ΔABC的边AB,BC上的点，AD=2BD,BE=CE.设ΔADF的面积 为S1,ΔCEF的面积为S2,若SΔABC=6,则S1-S2的值为1. 6.【教材变式】（P9第8题改）如图，在ΔABC中，AE,CD是ΔABC的两条高，AB=4,CD=2. （1)请画出AE,CD; （2)求ΔABC的面积； （3)若AE=3,求BC的长． 解：（1)略；（2)4;(3). 7.如图，在ΔABC中，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，SΔABC=4,求SΔBEF. 解：易证SΔABD=SΔADc=2,S△AEC=SΔDEC=SΔBDE=1,SΔBEC=2,.SΔBEF=SΔBCF=1. 综合题探究 8.如图，在ΔABC中，AB>AC,AD为BC边上的中线． （1)ΔABD的周长比ΔACD的周长大4. ①若AB=10,则AC= 6 ;②若AB+AC=14,则AC=5; （2)ΔABC的周长为27,AB=9,BC边上中线AD=6,ΔACD周长为19,求AC的长． 解：（1)①AC=6;②AB=9,AC=5; （2)设AC=x,CD=y,:AD是BC边的中线，．BC=2CD=2y, 由题意得x+9+2y=27,x+6+y=19,解得x=8,y=5,..AC=8. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$