22.1.2 二次函数y=ax²的图像和性质1 课件-2025-2026学年人教版（2024）数学九年级上册

二次函数y=ax 的图像和性质 授课老师：XXX 人教版九年级数学上册 2 1 CONTENT 0 1 导入新课 0 2 新课学习 0 3 随堂练习 0 4 课堂小结 2 导入新课 Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. PART 1 3 知识要点 1.二次函数y=ax2的图象 2.二次函数y=ax2的性质 4 看一看：观察下列运动，试着发现它们的规律。 5 新课学习 Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. PART 2 6 二次函数y=ax2的图象 问题1.1：根据所学知识，试着画出二次函数y=x2的图像。 在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … … 9 4 1 0 1 9 4 7 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） -1 -2 -3 9 3 6 1 2 3 y O x 用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象 定义：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 8 -1 -2 -3 9 3 6 1 2 3 y O x 这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴. 对称轴 定义：对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 顶点 图象开口向上，有最低点 9 问题1.2：根据所学知识，画出二次函数y=-x2的图像。 在y = -x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … … -9 -4 -1 0 -1 -9 -4 二次函数y=ax2的图象 10 -1 -2 -3 -4 -6 3 -9 -5 1 2 -3 4 5 y O x 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = -x2 的图象 二次函数y=ax2的性质 对称轴 顶点 图象开口向下，有最高点 11 -1 -2 -3 -4 -6 3 -9 -5 1 2 -3 4 5 y O x -1 -2 -3 9 3 6 1 2 3 y O x y = x2 y =- x2 12 练一练：如图,函数y=2x2的图象大致为( ) C 二次函数y=ax2的图象 13 问题1：根据y=x2和y=-x2的图像，试着探究二次函数y=ax2的性质. -1 -2 -3 -4 5 1 -2 3 -4 -5 -1 2 -3 4 -5 1 2 3 4 5 y O x y = x2 y =- x2 对称轴都是y轴 共同点： 顶点都是坐标原点 不同点： 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 14 -1 -2 -3 -4 5 1 -2 3 -4 -5 -1 2 -3 4 -5 1 2 3 4 5 y O x 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 15 问题2：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … … … … y=2x2 … … 9 4 1 0 1 9 4 2 0.5 0 4.5 2 0.5 4.5 8 2 0 8 0.5 18 18 -1 -2 -3 9 3 6 1 2 3 y O x y=x2 y=2x2 当a>0时，a越大，开口越小. 17 问题3：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … … … … y=-2x2 … … -9 -4 -1 0 -1 -9 -4 -2 -0.5 0 -4.5 -2 -0.5 -4.5 -8 -2 0 -8 -0.5 -18 -18 -1 -2 -3 -4 -6 3 -9 -5 1 2 -3 4 5 y O x y=-x2 y=-2x2 当a<0时，a越大，开口越大. 19 二次函数y=ax2的性质： （1）当a>0时，开口_____,顶点是抛物线的最____点，a越大，开口越____，x>0时,y随x取值的__________,当x<0时，y随x取值的___________； （2）当a<0时，开口_____,顶点是抛物线的最____点，a越大，开口越____,x>0时,y随x取值的__________,当x<0时，y随x取值的___________. 低 向上 小 向下 高 大 增大而增大 增大而减小 增大而减小 增大而增大 练一练：抛物线y=2x2，y=-2x2，y=x2的共同性质是（ ） A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大 B 二次函数y=ax2的图象 21 随堂练习 Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. PART 3 22 随堂练习 1.若点（x1，y1），（x2，y2）是二次函数y=-4x2图象上两点，且x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是（ ） A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1≥y2 D.y1≤y2 2.已知抛物线y=ax2（a＞0）过点A（-2，y1），点B（1，y2），则下列关系式一定成立的是（ ） A.y1＞0＞y2 B.y2＞0＞y1 C.y1＞y2＞0 D.y1≤y2 B C 23 3.如图，从y=-x2的图象上可看出当-3<x≤1时，函数y的取值范围是( ) A.-9<y≤-1 B.-9≤y<-1 C.-9≤y≤0 D.-9<y≤0 D 24 4.如图，在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y= x2，③y=x2的图象，则图象中从里到外的三条抛物线对应的函数依次是____________.（填序号） ①③② 25 5.二次函数y=ax2的图象如图所示. (1)求这个二次函数解析式； (2)若另一函数图象与该函数图象关于x轴对称，试求另一个函数的解析式. 解 (1)因为图象经过(2,2)，代入解析式， 得a= ， 2 1 y=- x2. 2 1 故所求的解析式为y= x2. 2 1 (2)由题意得另一个函数的解析式为 26 6.二次函数y=ax2的图象与直线y=2x-1相交于点P（1，m）. (1)求a，m的值; (2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，该表达式的y随x的增大而增大； （3）指出抛物线的顶点坐标和对称轴. (3)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴. 解 (1)将(1,m)代入y=2x-1， 得m=2×1-1=1. 所以点P的坐标为(1,1)， 将点P的坐标(1,1)代入y=ax2，得 1=a×12， 解得a=1. (2)二次函数的表达式为y=x2， 当x>0时，y随x的增大而增大. 27 课堂小结 Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. PART 4 28 课堂小结 二次函数y=ax2的图象及性质 图象及性质 对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）,开口向上 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x<0时，y随x取值的增大而减小. 对于抛物线 y = ax 2 （a＜0），开口向下 当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大. 特性 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小． 29 课程结束 Summary of minimalist work 授课老师：XXX 人教版九年级数学上册 30 $$