13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（教学课件）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

人教版（2024）八年级数学上册 第十三章 三角形 13.2 与三角形有关的线段 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1.理解三角形的中线、角平分线、高线等概念.（重点） 2.掌握三角形高线的画法，发展空间观念.（难点） 3.能够利用三角形三边关系、三种重要线段的概念，解决一些与线段或角度有关的计算或证明问题，逐步提高推理能力.（重难点） 新课导入 知识回顾 连一连. 线段中点 角平分线 垂线 a = b a b 1 2 ∠1 = ∠2 它们在三角形中是什么样的？ 与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段：三角形的中线、角平分线、高． 课堂导入 知识点讲解 定义与概念 如图，连接△ABC 的顶点 A 和它所对的边 BC 的中点 D.所得线段 AD 叫作△ABC 的边 BC 上的中线. ∵ BD = CD = BC ， ∴ AD 是△ABC 的中线. 几何符号语言： D C B A E F O 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点 三角 形三条中线的交点叫作三角形的重心． 画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线. D C B A 思考 被三角形的中线分成的两个小三角形的面积大小有什么关系？ 三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形. 典型例题 经典例题 例1.如图13.2-6，在△ABC中，AD，BE分别是△ABC，△ABD 的中线. (1)若△ ABD 与△ ADC 的周长之差为3，AB=8，求AC 的长； (2)若S △ ABC=8，求S △ ABE. 解题秘方：利用中线将三角形分成的两个三角形的周长之间的关系和面积之间的关系解题. 解：（1）∵ AD 为BC 边上的中线，∴ BD=CD. ∴ △ ABD 与△ ADC 的周长之差为(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)=AB－AC. ∵△ ABD 与△ ADC 的周长之差为3，AB=8，∴ 8 －AC=3，解得AC=5 . （2）∵AD 是△ ABC 的中线，S△ ABC=8，∴ S△ ABD= S△ ABC=4 . ∵ BE 是△ ABD 的中线，∴ S△ ABE= S△ ABD=2 . 总结归纳 方法点拨 解答有关三角形中线的周长和面积问题，需要熟记三角形中线的定义，并能把周长的差转化为线段的差，求三角形的面积需利用“中线等分面积”. 知识点讲解 如图，画△ABC 的∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D.所得线段 AD 叫作△ABC 的角平分线. 几何符号语言： ∵ ∠1=∠2 = ∠BAC， ∴ AD 是△ABC 的角平分线. 定义与概念 1 2 A B C D 1 2 A B C D 三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点. 典型例题 例2.如图，D 是△ ABC 的边AC 上一点，DE ∥ BC 交AB 于点E， 若∠ EDB= ∠ EBD，求证：BD 是△ ABC 的角平分线. 经典例题 思路导引： 证明：∵ DE ∥ BC，∴∠ EDB= ∠ DBC. 又∵∠ EDB= ∠ EBD，∴∠ DBC= ∠ EBD. ∴ BD 是△ ABC 的角平分线. 总结归纳 解题通法 本题在证明过程中，先利用三角形的角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件推出新的相等的角，最后由三角形的角平分线的定义证明是三角形的角平分线.它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法. 知识点讲解 A B C D 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线简称三角形的高. 几何语言： ①AD是△ABC的边BC上的高， ②AD⊥BC于点D. 定义与概念 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？ B A C F A B C D E F A B C E F 锐角三角形的三条高都在三角形的内部 ； 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边 ； 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上 典型例题 例3.正确画出△ ABC 的边AC 上的高的是图中的( ) 经典例题 解题秘方：紧扣“三角形高的定义”进行判断. 解：A . 图中AD 不是△ ABC 边AC 上的高，不合题意； B. 图中BD 不是△ ABC 边AC 上的高，不合题意； C. 图中AD 是△ ABC 边BC 上的高，不合题意； D. 图中BD 是△ ABC 边AC 上的高，符合题意. D 22 总结归纳 找三角形某边上的高的方法： 1. 找出该边所对的顶点； 2.过此顶点作该边所在直线的垂线，垂线段为该边上的高. 如：作△ABC中边BC上的高，找边BC所对的顶点A，过点A作BC所在直线的垂线(E为垂足)，垂线段AE即为边BC上的高. 课堂练习 知识点1 三角形的中线 1.［2024湖北武汉期末］如图,有一个厚薄均匀的三角形硬纸板， 在硬纸板上选一点，并钻一个小孔，穿过小孔系一条线将硬纸板吊 起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是( ) A A.点 B.点 C.点 D. 点 【解析】 三角形硬纸板处于平衡状态， 这个点为三角形的重心.由题图可知点 最可能为该三角形的重心.故选A. 基础题 25 2.［2025安徽合肥期中］如图，在中，是边 上的中 线，是的中点，连接,，若的面积为 ， 则阴影部分的面积是( ) B A. B. C. D.条件不足，无法求出 【解析】是边上的中线，， . 又，是的中点， ， , ， .故选B. 26 3.［2025广西贺州期中］如图，在中，是边上的中线， 的周长 比的周长多3，与的长度之和为13，则 的长度为___. 8 【解析】是边上的中线，，的周长 的周长 ，即 .① 又， 由得，解得 .故答案为8. 27 知识点2 三角形的角平分线 4.［2025河南周口期末］若是 的角平分线（如图所示）， 则下列结论不正确的是( ) C A.平分 B. C. D. 【解析】是的角平分线，平分 ， ， ，故选项A、B、D正确；不能得 到 ，故选项C错误.故选C. 28 5.［2025辽宁沈阳期中］三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的( ) A A.内部 B.外部 C.一边上 D.不确定 【解析】如图，三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部.故选A. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 6.［2024山东烟台期末］如图，将折叠，使边落在 边 上，展开后得到折痕，则是 的__________. 角平分线 【解析】如图.由折叠的性质可知,是 的角平分线. 29 知识点3 三角形的高 7.用一块含 角的直角三角板画的边 上的高，则下列三角板的摆放位 置正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】选项A画的是 边上的高，故不符合题意；选项B、C画的不是任何边上 的高，故不符合题意；选项D画的是 边上的高,故符合题意.故选D. 30 8.［2025广东惠州期中］如图，在 中，关于高的说 法正确的是( ) A A.线段是边上的高 B.线段是 边上的高 C.线段是边上的高 D.线段是 边上的高 【解析】由题图知，，， 线段是 边上的高，线 段是边上的高，线段是 边上的高，故A选项符合题意.故选A. 31 9.［2025北京西城区期中］在中， ，三角形的高与高 所在 直线交于点，点在的外部，以下对 的描述正确的是( ) D A.是锐角 B. 是直角 C.是钝角 D. 是锐角或钝角 【解析】 三角形的高与高所在直线交于点，点在 的外部， 是钝角三角形. ，与 一个是锐角，一个是钝角，具体 哪个角是钝角无法确定，故选D. 32 10.［2024河南信阳质检］如图，在中， ， ，垂足分别为点和点，与交于点，连接 并 延长交于点，若，，，则 ____________. 【解析】在中，，，与交于点 ， 的延长线交于点， ， ，， ， ， .故答案为 . 33 11.如图，是的中线，，分别为，的中点，若 的面积为3，则 的面积为____. 12 返回 提升题 34 12.如图①，在中，，为边上一点， 于点， 于点 . 拓展题 （1）请作出边上的高 . 解：如图①， 即为所求. （2）请你通过观察、测量找到，， 之间的数量关系：____________. 35 课堂小结 三角形 中线 连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段. 角平分线 高 一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段. 从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段. 本节课同学们学到了什么？ 布置作业 作业题 教科书第8-9页练习 第1，2题 1. 如图，过△ABC 的顶点 C，分别画出它的中线、角平分线和高. A B C D E F 解：如图，AD，AE，AF 分别是 △ABC 的中线、角平分线和高. 课本练习 2.填空题 （1)如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线， 则 BD = ____，AE = ____， AB = 2 ； A B C D F E CD AC AF或BF (2)如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线， 请根据图中各角之间的关系填空： （1）∠1=∠（ ）； （2）∠3= ( )； （3）∠ACB=（ ）∠4. 2 ∠ABC 2 D A B C E F 1 2 3 4 41 习题 复习巩固 1. 三角形的三边长分别为 2，7，a，则 a 的取值范围是________. 5 < a < 9 2. 长为 100 cm，70 cm，50 cm，30 cm 的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 解：组成三角形的有(1)100 cm，70 cm，50 cm；(2)70 cm，50 cm，30 cm 两种选法. 因为只有这两种能满足“两边的和大于第三边”. 42 C A B 3. 对于下面每个三角形，分别过顶点 A 画出它的中线、角平分线和高. 解：如下图，AD，AE，AF 分别是△ABC 的中线，角平分线和高. （1） （2） （3） C A B D E F (F) E D C A B D E F 4. 如图，在△ABC中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高. 填空： C A B E D F （1）BE = _____ = _____； （2）∠BAD =_______= ______； （3）∠AFB =_______= 90°； （4）若 BC = 8，AF = 5， 则 S△ABC =______， S△ABE =______. BC CE ∠CAD ∠BAC ∠AFC 20 10 综合运用 5. 一个等腰三角形的一边长为 6，周长为 20，求其他两边的长. 解：①当腰长为 6 时，底边长为 20 – 6×2 = 8. ∵6 + 6 > 8，∴能组成三角形. ②当底边长为 6 时，腰长为 = 7. ∵ 6 + 7 > 7，∴能组成三角形. 故其他两边长分别为 6，8 或 7，7. 6.（1）已知等腰三角形的一边长为 5，一边长为 6，求它的周长； （2）已知等腰三角形的一边长为 4，一边长为 9，求它的周长. 解:（1）16或17. （2）22. 7. 如图，在△ABC 中，AB = 2，BC = 4， 则△ABC 的高 AD 与 CE 的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式） 解：∵S△ABC = BC·AD = AB·CE， ∴ BC·AD = AB·CE. ∴ A B E D C 拓广探索 8. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，DE // AC，DE 交 AB 于点 E， DF // AB，DF 交 AC 于点 F. 图中∠1 与∠2 有什么关系？为什么？ A B E D C F 1 2 解：∠1 = ∠2. 理由： ∵ DE // AC， ∴∠1 = ∠DAC (两直线平行，内错角相等). 同理，∠2 =∠DAB. 又 AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAC =∠DAB. ∴∠1 =∠2. 感谢观看 $$