第一章 一元二次方程 暑期预习检测卷 2025--2026学年苏科版九年级上册数学

2026届九年级数学暑期预习检测卷 第1章 一元二次方程 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共8小题,每小题2分,共16分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2.一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 3.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4.一元二次方程的根的判别式的值是（ ） A. 17 B. 13 C. 25 D. 5 5.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.若是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 7.某商品原价为每件元，经过两次降价后每件售价为16元，且两次降价的百分率都为，则的值为（ ） A. 25 B. 20 C. 18 D. 16.8 8.已知关于的方程有实数根，且关于的方程有两个不相等的正整数根，则符合条件的整数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共20分） 9.一元二次方程的两根之和为 . 10.若方程是一元二次方程，则的值为 . 11.请写出一个以2和-3为根的一元二次方程： . 12.若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 . 13.用公式法解方程，其中，则判别式 . 14.若是关于x的方程的一个根，则 . 15.某小区计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上修建一个矩形花园，使四周留出的小路宽度相同，且花园面积占空地面积的一半，则小路的宽度为 米. 16.已知，则 . 17.若实数 . 18.已知正整数的所有可能值之和为 . 三、解答题（本大题共9小题，共64分） 19.（6分）解下列一元二次方程： （1）； （2）. 20.（6分）用配方法说明：无论取何值，代数式的值总大于0. 21.（6分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围. 22.（8分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根. （1）求的取值范围； （2）若方程的一个根为0，求的值及另一个根. 23.（8分）某商店将进价为每件8元的商品按每件10元出售，每天可销售200件。现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每件涨价1元，每天的销售量就减少20件. （1）若涨价元，则每天的销售量为 件（用含的代数式表示）； （2）要使每天获得700元的利润，且尽可能减少进货量，每件商品应涨价多少元？ 24.（8分）如图，在一块长为32米，宽为20米的矩形空地上，修建两条同样宽的互相垂直的道路（阴影部分），剩余部分种植花草，若种植花草的面积为540平方米，求道路的宽度. 25.（10分）已知关于的一元二次方程（为常数，且）. （1）求证：该方程有两个不相等的实数根，且两根之差的绝对值为； （2）若方程的一个根为，求另一个根及的值； （3）设方程的两个根为，若 ，且 ，求 的值. 26.（10分）已知关于的一元二次方程. （1）当时，求方程的解； （2）若方程的两个根均为正整数，求的值； （3）已知该方程有两个正整数根，且这两个根的平方和等于13，求的值. 27.（10分）已知关于的方程. （1）若，求方程的根（用含的式子表示）； （2）若方程有两个不相等的实数根，且两根之差的绝对值为2，求的值； （3）在（2）的条件下，若方程的两个根的平方和为12，求的值. 2026届九年级数学暑期预习检测卷 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$2026届九年级数学暑期预习检测卷 第一章 一元二次方程 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C c A A B B A A 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共20分） 9.3 10.2 11.x2+x-6=0(答案不唯一) 12.1 13.17 14.2 15. 5 16. 2 17. 18. 3 三、解答题（本大题共9小题，共64分） 19.(6分)（1)解：x2-5x+6=0 .(x-2(x-3)=0 -1分 .X1=2,X2=3 -3分 (2)解：，2x2-4x-1=0,a=2,b=-4,c=-1。 .△=( -4分 'x=-b±☑ 2a x=4牡24-4±26=1 6 4 4 2 5分 2,=1-6 即，=1+ -6分 20.(6分)证明：：x2-4x+5 x2-4x+5=i 2分 -4分 d -5分 即无论x取何值，该代数式的值总大于0。 -—-6分 21.(6分)解：，'x2+2x+m-2=0 2026届九年级数学暑期预习检测卷参考答案第1页共4页 六4=2-4×1×(m-2=4-4m+8=12-4m -2分 ,方程有两个实数根 .△≥0 -3分 即12-4m≥0- -5分 解得m≤3.- -6分 22.(8分)(1)解：“x+2k+1)x+k2=0 ∴△=- -2分 ,方程有两个不相等实数根，故△>0 即4k+1>0- -3分 解得k>- 49 -4分 (2)解：将x0代入方程2+(2k+1)x+k2=0 得k2=0,即k=0。此时方程为x2+x=0.--5分 因式分解得x(x+1)=0- --6分 另一个根为x=-1- -7分 k=0>-1 -8分 4 k的值为0. 23.(8分)(1)(200-20x)--- -2分 (2)解：设利润为w元 则w=(10+x-8)(200-20x) i(2+x)(200-20x) 又.w=700元， ∴.(2+x)(200-20x)=700 -3分 化简得x2-8x+15=0-- -4分 即(x-3)(x-5)=0 解得x=3,X=5 -6分 要减少进货量.x=3舍去..x=5 一7分 答：每件商品应涨价5元.- -8分 24.(8分)解：设道路宽为x米 花草面积为(32-x)(20-x)=540。 2分 展开得x2-52x+100=0-- -4分 因式分解(x-2)(x-50)=0 解得 X=2,X,=50（不合题意，舍去) -7分 答：道路宽为2米. -8分 2026届九年级数学暑期预习检测卷参考答案第2页共4页 25.(10分)(1)证明：，△=d,b>0, △>0，方程有两不等实根。 -1分 由根与系数的关系，可得x+X=2a,X1x2=a2-4b' 6x1-x2ViR元。-3分 (2)解：将x=a+2带入原方程x2-2ax+a2-4b=0可得： -4分 a2+4a+4-2a2-4a+a2-4b=0 4-4b=0.b=1--- -5分 又.x1+x2=2a ∴.另一根为x=a-2 -6分 (3)解：“名+出=+是= -7分 X2 X1 X1X2 将其代入x,+%=2a,Xx2=a2-4b, 又.∵a2=4b+9 .X1x2=91 -8分 得4a-2×9-10 --9分 9 即4a2=48 .a=12 可得a=±23。 10分 26.(10分)(1)解：将t=0带入原方程得x2-3x+2=0, ∴.(x-1)(x-2)=0 解之得x1=1,x2=2 --一2分 (2)解：原方程因式分解x-1)(x-t-2)=0 …X1=1,X2=t+2 -4分 因根为正整数，故t+2≥1且为正整数. .t2-1。 ∴.t=-1,0,1等 -5分 (3)设方程的两个正整数根为a、b(a≤b),由根与系数的关系可得： a+b=t+3,ab=2t+2。 -6分 根据题意，根的平方和为13： ∴.a2+b2=13。 又.a2+b2=i,代入上结： ,----- -7分 由此可得：t2+6t+9-4t-4=13-t+2t-8=0 2026届九年级数学暑期预习检测卷参考答案第3页共4页 解得：【=-2±4+32=-2±6=-2或=-4 -8分 2 2 检验：当t=2时，原方程为x2-5x+6=0,根为2和3，均为正整数， 且2+3=4+9=13，符合条件。 当t=-4时，原方程为x2+X-6=0,根为2和-3，.-3<0， 舍去。 -9分 ∴.唯一符合条件的整数解为=2。 -10分 27.(10分)(1)解：将n=4代入原方程，得：x2-2mx+m2-4=0 解得x=m±2。（或x1=m+2,X2=m-2)-2分 (2)解：判别式4=4m2-4(m2-n=4n>0 .n>0, -3分 则有Vx1-x2Vi -5分 n=1。 6分 (3)解：由根与系数的关系可得：X+= -8分 2m2=10 ∴m2=5 ∴m=±5 --10分 2026届九年级数学暑期预习检测卷参考答案第4页共4页