概率与统计中的综合问题 课件-2026届高三数学一轮复习

概率与统计中的综合问题 高考总复习优化设计 考情分析:概率与统计解答题每年高考必考,主要涉及概率求解、分布列与数学期望、回归分析及独立性检验等.既有比较基础的简单应用,也有各类知识交汇的综合题,如概率与统计图表交汇、概率与统计和统计案例交汇、概率与函数及数列及不等式等的交汇等.此类问题能体现“返璞归真,支持课改;突破定势、考查真功”的命题理念,题目一般篇幅较长,对阅读理解能力要求较高,考查数学建模和数学运算等核心素养. 考点一　统计图表与分布列的综合问题 例1(2024·广西南宁模拟)为降低工厂废气排放量,某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器,现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测,综合得分k的频率分布直方图如图所示. 甲型号减排器　　乙型号减排器 减排器等级及利润率如下表,其中<a<. 综合得分k的范围 减排器等级 减排器利润率 k≥85 一级品 2a 75≤k<85 二级品 3a2 70≤k<75 三级品 a2 (1)若从这100件甲型号减排器中按等级用比例分配的分层随机抽样方法抽取10件,再从这10件产品中随机抽取5件,求抽取的5件中至少有3件一级品的概率. (2)将频率分布直方图中的频率近似地看作概率,用样本估计总体,则 ①若从乙型号减排器中随机抽取4件,记X为其中二级品的个数,求X的分布列及数学期望; ②从数学期望来看,投资哪种型号减排器的利润更大? 解 (1)根据频率分布直方图可得,抽取的100件甲型号减排器中,综合得分位于区间[85,95]内的频率为0.08×5+0.04×5=0.6,即一级品的频率为0.6,所以从中按等级用比例分配的分层随机抽样方法抽取10件,需要从一级品中抽取10×0.6=6(件). 用Y表示从抽到的10件产品中随机抽取5件,其中一级品的数量, 则Y服从超几何分布,且N=10,M=6,n=5. 因此至少有3件一级品的概率为 P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)= (2)①根据频率分布直方图可得,抽取的100件乙型号减排器中,综合得分位于区间[75,85)内的频率为0.02×5+0.03×5=0.25,即二级品的频率为0.25,所以可以估计该厂生产的乙型号减排器中,二级品的概率为0.25. 由题可知,X服从二项分布,即X~B(4,0.25), 所以X的分布列为P(X=k)=(0.25)k(0.75)4-k,k=0,1,2,3,4. X的数学期望为E(X)=4×0.25=1. ②由题可知,甲型号减排器无三级品. 由(1)知,抽取的100件甲型号减排器中,一级品的频率为0.6,二级品的频率为1-0.6=0.4,所以可以估计该厂生产的甲型号减排器中,一级品的概率为0.6,二级品的频率为0.4,所以甲型号减排器的利润率的平均值为E甲=0.6×2a+0.4×3a2=1.2a2+1.2a.根据频率分布直方图可得,抽取的100件乙型号减排器中,综合得分位于区间[70,75)内的频率为0.01×5=0.05,即三级品的频率为0.05,所以可以估计该厂生产的乙型号减排器中,三级品的概率为0.05. 由(2)①知,该厂生产的乙型号减排器中,二级品的概率为0.25,所以一级品的概率为1-0.05-0.25=0.7,所以乙型号减排器的利润率的平均值为E乙=0.7×2a+0.25×3a2+0.05×a2=0.8a2+1.4a. E甲-E乙=1.2a2+1.2a-(0.8a2+1.4a)=0.4a2-0.2a=0.2a(2a-1). 因为<a<,所以E甲-E乙<0,即E甲<E乙, 所以投资乙型号减排器的平均利润率较大. [对点训练1](2024·北京通州二模)随着生活水平的不断提高,人们对于身体健康越来越重视.为了解人们的健康情况,某地区一体检机构统计了某年20岁到100岁来体检的人数及年龄在[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]的体检人数的频率分布情况,如下表.该体检机构进一步分析体检数据发现:60岁到80岁(不含80岁)体检人群随着年龄的增长,所需面对的健康问题越多,具体统计情况如图. 组别 年龄(岁) 频率 第一组 [20,40) 37% 第二组 [40,60) 43% 第三组 [60,80) 17% 第四组 [80,100] 3% 60岁到80岁(不含80岁)体检人群健康问题个数统计 注:健康问题是指高血压、糖尿病、高血脂、肥胖、甲状腺结节等60余种常见健康问题. (1)根据上表,求从该年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人,此人年龄不低于60岁的频率; (2)用频率估计概率,从该年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取3人,其中不低于60岁的人数记为X,求X的分布列及数学期望; (3)根据上图的统计结果,有人认为“该体检机构该年60岁到80岁(不含80岁)体检人群健康问题个数平均值一定大于9.3,且小于9.8”.判断这种说法是否正确,并说明理由. 解 (1)由表格数据知,从该年该体检机构20岁到100岁体检人群中抽取1人,此人年龄不低于60岁的频率为17%+3%=20%. (2)用频率估计概率,从该年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取1人,此人年龄不低于60岁的概率为20%=,则X~B(3,). X所有可能的取值为0,1,2,3, P(X=0)=()3=, P(X=1)=()2=, P(X=2)=()2, P(X=3)=()3=, 所以X的分布列为 E(X)=3 X 0 1 2 3 P (3)这种说法不正确,理由如下: 假设在体检人群年龄60岁到80岁(不含80岁)中, [60,65),[65,70),[70,75),[75,80)体检人群所占频率分别为70%,10%,10%,10%, 则60岁到80岁(不含80岁)体检人群健康问题平均值为0.7×8.7+0.1×9.3+0.1×9.8+0.1×10.1=9.01, 与该说法结论不同,所以该说法是不正确的. 考点二　回归模型与分布列的综合问题 例2(2024·河北沧州模拟)“南澳牡蛎”是我国地理标志产品,产量高、肉质肥、营养好,素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量x(单位:人)与年收益增量y(单位:万元)的数据如下: 人工投入增量x/人 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量y/万元 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量,建立了y与x的两个回归模型. 模型①:由最小二乘公式可求得y与x的经验回归方程=4.1x+11.8; 模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线y=的附近,对人工投入增量x做变换,令t=,则y=·t+,且有≈2.5,≈38.9,(ti-)(yi-)≈81.0,≈3.8. (1)(ⅰ)根据所给的统计量,求模型②中y关于x的回归方程(精确到0.1); (ⅱ)根据下列表格中的数据,比较两种模型的决定系数R2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测人工投入增量为16人时的年收益增量. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 =4.1x+11.8 y= 182.4 79.2 (2)根据养殖规模与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(单位:克)在正常环境下服从正态分布N(32,16).购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于20 g的牡蛎的可能性有多大? 附:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3,0.998 610≈0.986 1; 样本(ti,yi)(i=1,2,…,n)的最小二乘估计公式为 ,R2=1-. 解 (1)(ⅰ)由=2.5,=38.9,(ti-)(yi-)=81.0,=3.8, 有21.3, 且=38.9-21.3×2.5≈-14.4, 所以模型②中y关于x的回归方程为=21.3-14.4. (ⅱ)由表格中的数据,有182.4>79.2,即, 模型①的R2小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好. 当x=16时,模型②的收益增量的预测值为 =21.3-14.4=21.3×4-14.4=70.8(万元), 这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠. (2)由已知单个“南澳牡蛎”质量ξ~N(32,16),则μ=32,σ=4, 由正态分布的对称性可知, P(ξ<20)=[1-P(20≤ξ≤44)]=[1-P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)](1-0.997 3)≈0.001 4, 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”,其中质量小于20 g的牡蛎为X只, 故X~B(10,0.001 4), 所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-0.001 4)10≈1-0.986 1=0.013 9, 所以这10只“南澳牡蛎”中,会买到质量小于20 g的牡蛎的可能性仅为1.39%. 考点三　独立性检验与分布列的综合问题 例3(2024·山东济宁模拟)中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动,凭借哈尔滨的冰雪时节优势,而推出的大型冰雪艺术精品工程,展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力.“南方小土豆”勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情,其中雪上运动深受游客的追捧.某新闻媒体机构随机调查男、女性游客各100名,统计结果如下表所示: 喜好 男性游客 女性游客 合计 喜欢滑雪 60 35 95 不喜欢滑雪 40 65 105 合计 100 100 200 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验,判断能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关? (2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训,对4个基本滑雪动作(起步、滑行、转弯、制动)进行指导.根据统计,每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这4个动作达到优秀的概率分别为,且4个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立.若这4个基本滑雪动作至少有3个达到优秀,则可荣获“优秀学员”称号. (ⅰ)求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率; (ⅱ)现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩,其中有30人参加滑雪培训,且均为滑雪初学者,每个人滑雪身体条件相当,令X为荣获“优秀学员”称号的人数,求X的数学期望,并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大. 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 解 (1)零假设为H0:游客是否喜欢滑雪与性别无关联. 由题可得χ2=12.53>10.828. 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立, 即可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关. (2)(ⅰ)令事件Ai(i=1,2,3,4)分别表示起步、滑行、转弯、制动达到优秀, 令事件B=“滑雪初学者荣获‘优秀学员’称号”,则事件Ai(i=1,2,3,4)之间相互独立,事件B包含4个基本滑雪动作均达到优秀和4个基本滑雪动作中有3个达到优秀, P(B)=P(A1A2A3A4)+P(A2A3A4)+P(A1A3A4)+P(A1A2A4)+P(A1A2A3) =+(1-)(1-)(1-)(1-)=,所以滑 雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是 (ⅱ)由题意知,X~B(30,), 因此P(X=r)=)r()30-r(r=0,1,2,…,30),E(X)=30 设有k人荣获“优秀学员”称号的概率最大, 则 解得k 因为k∈N*,所以k=9,故9人荣获“优秀学员”称号的概率最大. 考点四　概率统计与函数、导数的综合问题 例4(2021·新高考Ⅱ,21)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下去,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代,……,该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3). (1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X). (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程: p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根, 求证:当E(X)≤1时,p=1;当E(X)>1时,p<1. (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际意义. (1)解 E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1. (2)证明 令f(x)=p0+p1x+p2x2+p3x3-x, 有f'(x)=p1+2p2x+3p3x2-1,f″(x)=2p2+6p3x. 显然当x≥0时,f″(x)=2p2+6p3x>0,f'(x)在区间[0,+∞)上单调递增, 下面证明当E(X)≤1时,有p=1. 假设p<1. 一方面,因为f(p)=0,f(1)=0,根据罗尔中值定理,∃ξ∈(p,1),使得f'(ξ)=0. 另一方面,因为f'(x)在区间[0,+∞)上单调递增, 所以有f'(ξ)<f'(1)=p1+2p2+3p3-1=0×p0+1×p1+2×p2+3×p3-1=E(X)-1≤0, 即f'(ξ)<0. 这就与f'(ξ)=0矛盾,故假设p<1不成立,所以必有p=1. 再证明当E(X)>1时,p<1. 因为f'(1)=E(X)-1>0,考虑到f'(x)是一个连续函数, 所以存在x=1的某一邻域U(1),使得当x∈U(1)时,有f'(x)>0. 在这个邻域内任取一点x0<1,有f(x0)<f(1)=0. 再考虑到f(0)=p0>0,且f(x)是一个连续函数, 所以由零点存在定理,至少存在一点η∈(0,x0),使得f(η)=0. 因为p是关于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,于是p≤η<1. (3)解 通过(2)中的讨论可得,当1个微生物个体繁殖下一代个数的数学期望不超过1时,这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率为1;当1个微生物个体繁殖下一代个数的数学期望大于1时,这种微生物经过多代繁殖后仍可继续繁殖. [对点训练2](2024·河南三门峡模拟)为了普及奥运知识,M大学举办了一次奥运知识竞赛,竞赛分为初赛与决赛,初赛通过后才能参加决赛. (1)初赛从6道题中任选2题作答,2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题,记小王在初赛中答对的题目个数为X,求X的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下,仍未进入决赛的概率; (2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩,对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下:已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次,中奖1次奖励120元,中奖2次奖励180元,中奖3次奖励360元,若3次均未中奖,则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为p(0<p<),且每次是否中奖相互独立. (ⅰ)记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f(p),求f(p)的极大值; (ⅱ)M大学数学系共有9名大学生进入了决赛,若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1 120元,试求此时p的取值范围. 解 (1)由题意知,X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, 故X的分布列为 则E(X)=0+1+2 记事件A=“小王已经答对一题”,事件B=“小王未进入决赛”, 则小王在已经答对一题的前提下, 仍未进入决赛的概率P(B|A)= X 0 1 2 P (2)(ⅰ)由题意知,f(p)=p(1-p)2=3p3-6p2+3p(0<p<),则f'(p)=3(3p-1)(p-1),令f'(p)=0,解得p=或p=1(舍去), 当p∈(0,)时,f'(p)>0,当p∈()时,f'(p)<0, 所以f(p)在区间(0,)内单调递增, 在区间()内单调递减, 所以当p=时,f(p)有极大值,且f(p)的极大值为f()= (ⅱ)由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量Y,则Y的可能取值为60,120,180,360,P(Y=60)=(1-p)3,P(Y=120)=p(1-p)2, P(Y=180)=p2(1-p),P(Y=360)=p3, 所以E(Y)=60(1-p)3+120p(1-p)2+180p2(1-p)+360p3=60(2p3+3p+1), 所以9E(Y)≥1 120,即540(2p3+3p+1)≥1 120,整理得2p3+3p-0, 经观察可知p=是方程2p3+3p-=0的根, 故2p2+3p-=2(p3-p2)+(p2-p)+(p-)=(p-)(2p2+p+), 因为2p2+p+>0恒成立,所以由2p3+3p-0可得p-0,解得p, 又0<p<,所以p的取值范围为[). $$