3.2.1单调性与最大（小）值14题型分类（讲+练）-2025-2026学年高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.1单调性与最大（小）值14题型分类 课程标准 学习目标 ①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． ②掌握定义法证明函数单调性的步骤． ③掌握函数单调区间的写法. ④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. ⑤.会借助单调性求最值. ⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值． 通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值. 一、函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 二、增函数、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 三、单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： (1)属于同一个区间D； (2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝它的定义域为Z，但不具有单调性． 3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 四、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 1．对函数最值的三点说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方． (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点． 2．函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值． 3．利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． （一） 证明或判断函数的单调性 定义法证明单调性的步骤 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断函数的单调性的步骤如下： 注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对单调递减的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 题型1：利用函数单调性定义判断单调性 1．（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【详解】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊值法判断A,B,C选项，应用一次函数的单调性性质判断D选项. 【详解】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】A 【分析】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可. 【详解】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误； 令，任取， 则， 当时，，，故在区间内单调递减； 当时，，故在上单调递增，C错误，D错误． 故选：A 4．（2024高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可判断A、B、C选项，可以借助单调性的定义证明D选项. 【详解】对于A选项，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B选项，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C选项，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D选项，函数在上为增函数，则对于任意的，设，必有，即， 对于，则有 则在上为减函数，故D正确． 故选：D. 题型2：利用函数单调性定义证明单调性 5．（2025高三·全国·专题练习）求证：在R上是减函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用函数单调性的定义取值、作差、变形、定号这个过程证明即可. 【详解】，在实数集上任取， 则， 又由，则，且不同时为零，所以， ，即， 故在R上是减函数. 6．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， . ， ，，. ，即. 函数在上是增函数. 对于任意的，且，有. ， ，，. ，即. 函数在上是减函数. 7．（2025高三·全国·专题练习）讨论函数在区间上的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ，即， 在内是减函数. ②设 由①知 ， 即， 在内是增函数. 8．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）根据函数的单调性的定义判断并证明. （2）根据单调性即可求解. 【详解】（1）任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. （2）在上单调递减， ∴﹒ （二） 求函数的单调区间 求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断． 方法二：定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解． 方法三：图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间． 注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 题型3：求函数的单调区间 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． 10．（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将写成分段函数判断即可. 【详解】，故单调增区间是. 故选：C 11．（23-24高一下·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 12．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 13．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 14．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 15．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 【答案】单调递增区间为和，递减区间为和，值域为. 【分析】去绝对值，对函数进行分段，然后作出图像，根据函数图像确定单调区间及值域. 【详解】 即 图象如图所示 由图象知，函数在和上是增函数， 在和上是减函数,, 所以函数的单调递增区间为和， 递减区间为和， 值域为. 题型4：复合函数单调区间 16．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间. 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增． 18．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 19．（24-25高一上·湖南·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【详解】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B （三） 函数单调性的应用 1、由函数单调性求参数范围的处理方法是： (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 2、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围． ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 题型5：利用函数单调性求参数的取值范围 20．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 【详解】充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减， 则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 21．（24-25高二下·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】函数在上为增函数， 等价于，即， 所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 22．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 23．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是上的增函数，每一段函数都为增函数，且在断点处，右边的函数值不小于左边的函数值求解. 【详解】由题意，， 在中，函数在上是增函数， ， 解得. 故选：A. 24．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 25．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 26．（24-25高三下·全国·开学考试）已知的定义域为的单调函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先根据函数单调再设函数为，列方程求参即可计算函数值. 【详解】由题得单调，那么和一一对应，那么为大于0的常数， ， . 故选：B. 题型6：利用函数的单调性比较大小 27．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 28．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D 29．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 30．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由定义法得到函数在上单调递增，然后求自变量的范围，从而得到正确结论. 【详解】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 31．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 题型7：利用函数单调性解不等式 32．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 33．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 34．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 由，得， 解得，即， 故选：B 35．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数的定义域为且为增函数，若，求x的取值范围. 解此题时，某同学给出的解法是：由题意得，解得．以上解法是否正确？为什么？ 【答案】不正确，没有考虑函数的定义域 【分析】略 【详解】因为函数的定义域为且为增函数，所以有 ，解得 所以x的取值范围为. 36．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数的单调性，将抽象不等式化成一元二次不等式，结合二次函数的图象即得. 【详解】因是定义在R上的增函数，故由可得 ，即，解得. 故答案为：. （四） 利用图象求函数最值 1、利用图象求函数最值的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 2、图象法求最值的步骤 题型8：利用图象求函数最值 37．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 【答案】，. 【分析】根据函数图象即可求解最大值和最小值. 【详解】由图可知：当时，取最大值，当时，取最小值， 故答案为：， 38．【多选】（23-24高一下·全国·随堂练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 【答案】BD 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果． 【详解】对于A，B选项，由函数图象可得，在和上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确； 对于C选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故C错误； 对于D选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故D正确； 故选：BD． 39．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 【答案】C 【分析】根据函数的单调性及最值的定义，逐一判断即可. 【详解】解：对于A，在区间内，由于区间左端点取不到， 所以没有最小值，A错误； 对于B，在区间内，因为区间右端点取不到， 则没有最大值，B错误； 对于C，在区间内，的最小值为，C正确； 对于D，在区间内，因为区间端点取不到， 则没有最大值，D错误． 故选：C. （五） 利用单调性求函数最值 1、利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用函数的单调性求出最大(小)值． 2、函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 题型9：根据单调性求最值或值域 40．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 【答案】C 【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得． 41．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求函数单调性，即可得最值. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 且由于在区间上单调递增， 在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以． 故选：D． 42．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用换元法，令，可将原函数转化为，再根据对勾函数的单调性，即可求出结果. 【详解】令，所以; 所以转化为； 即 又函数在上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值为； 即当时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 题型10：根据函数的最值（值域）求参数 43．（25-26高一上·全国·课后作业）若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】①当时，由题可得不符合题意；②当时，由题可得解得．综上，． 44．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 45．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到时，函数有最小值为，然后转化为时，函数，列出不等式组即可求解. 【详解】由题知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 当时，函数在上单调递减， . 的最小值为0， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 46．（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【分析】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值. 【详解】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. （六） 求二次函数的最值 二次函数最值的求法 (1)探求二次函数y＝f(x)在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 题型11：求二次函数的最值 47．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数在区间上的单调性，即可得到结果. 【详解】，开口向上，对称轴为直线， 在区间上单调递增， ， 时，的值域是. 故选：C 48．（2024高二上·江苏·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质可得函数在上单调递增，可求值域. 【详解】二次函数的对称轴为，抛物线的开口向上， 所以函数在上单调递增，所以，， 所以函数的值域为. 故选：C. 49．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的单调性即可求得的最大值. 【详解】， 则时，单调递减， 当时的最大值. 故选：D 50．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，，函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数的解析式配方，结合二次函数性质求其值域. 【详解】函数，可化为， 所以函数，在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的值域为. 故选：A. 51．（24-25高一上·全国·课后作业）用表示，中的最小值，记为．若，，则的最大值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】先求得的表达式，然后结合图象求得的最大值. 【详解】令，解得或， 则 又的对称轴分别为，则在和内单调递增， 在和上单调递减，如图，则函数最大值为．    故选：C 题型12：二次函数最值问题（含参） 52．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论，，确定函数单调性，确定最大值点，即可求解. 【详解】函数的对称轴为，图象开口向下. 当时，函数在区间是减函数， ，由，得. 当时，函数在区间是增函数，在上是减函数， . 由，计算出或， ， 两个值都不满足. 当时，函数在区间是增函数， ， . 综上可知或. 故选：C. 53．（24-25高一上·四川巴中·阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数性质确定值域端点值对应自变量，即可得范围. 【详解】由，开口向上且对称轴为， 令，可得或， 由函数的定义域为，值域为， 所以. 故选：C 54．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上取得最大值3，最小值2，则实数的值为（   ） A．0或1 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】判断二次函数的单调性即可得出结论. 【详解】因为函数，对称轴为，开口方向向上， 所以在上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得， 即，故． 故选：B 55．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值、最小值分别为1，0，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的最值或值域求参数，令，求出相应的的值，即可画出的图象，数形结合求出的最值，即可得解． 【详解】由，即，解得或， ∴， 当时，，∴， 当时，令，即，解得，， 则的图象如下所示： ∵函数在上的值域为， 当，（或，）时取得最小值， 即； 当，时取得最大值， 即； ∴的取值范围是． 故选：D． 56．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最小值、最大值分别为，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，通过函数的最小值为及定义域可知函数在处取得最小值，再通过对函数的分段讨论及函数的最大值为求出实数的取值范围即可． 【详解】令，解得或， ∵函数定义域为，∴，即函数在处取得最小值， 且，即，则， ∵函数的值域为，∴， 当时，有，即， 解得，即；当时，有， 即，解得，即． 综上，实数a的取值范围为，故D正确. 故选：D． 57．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知二次函数的值域为，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据二次函数的值域得到故，，，变形后利用基本不等式求出最小值. 【详解】二次函数的值域为， 故，，故， 所以， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为10. 故选：C （七） 一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． ③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型13：函数不等式恒成立问题 58．（2025高一·全国·专题练习）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，把不等式恒成立转化为函数求最值，根据函数单调性求出最值即可 【详解】因为不等式恒成立， 所以恒成立， 又，且函数在上单调递减， 所以当时， 所以， 故选：C 59．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】将问题转化为在区间上恒成立，即可求出的取值范围. 【详解】由题意可得，在区间上恒成立， 因，则，故ABC错误，D正确. 故选：D 60．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可. 【详解】当时，不等式， 依题意，恒成立，而当时，， 当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是. 故选：D 61．（24-25高三上·山东·阶段练习）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】，而函数在上单调递增， 当时，，因此，解得， 选项中只有是的真子集， 所以“”的一个充分不必要条件是. 故选：D 62．（2025·河北邢台·三模）若不等式恒成立，则正实数整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】令，利用分段函数的性质，得到的最小值为，求得，结合为正实数，得到的整数解的个数，得到答案. 【详解】令， 当时，函数单调递减，所以； 当时，函数； 当时，函数单调递增，所以， 综上可得，函数的最小值为， 要使得不等式恒成立，则满足， 因为为正实数，所以，所以的整数解取值为，共有3个. 故选：B. 63．（23-24高一上·北京·期末）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出函数在的值域，再利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，函数的值域为； 函数在上单调递增，函数的值域为， 由，使得，得， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 64．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，可得出对恒成立，令，由题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数，则函数在上为增函数， 因为对均有成立， 则，即对恒成立， 令，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 题型14：函数不等式有解问题 65．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，将问题转化为存在，使得，求出的最值得解. 【详解】由，得， 又， 故存在，使得， 令，，则， ， . 故选：B. 66．（23-24高一下·湖北·开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求. 【详解】，， 即，， ∴，其中在上单调递减， 在上单调递增， 其中时，，当时，， 故，即， 由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”， 其他选项均不合要求. 故选：A 67．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】C 【分析】设，由题意可得，求出二次函数最值即可求解. 【详解】设，开口向上，对称轴为直线， 若存在，使不等式成立，则只要即可， 函数在上单调递减，所以，所以， 所以实数的最大值为0. 故选：C 68．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出求解即可. 【详解】，，所以，， 在上单调递减，所以， 当时，，即，取成立. 当时，，即，得，所以 当时，，即，得，所以， 综上： 的取值范围是. 故选：A 69．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）若存在，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数得在上有解，从而，利用对勾函数的单调性求得最值即可求解. 【详解】因为存在，有成立， 所以在上有解，所以， 记，，令，则，， 由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，的函数值为，当时，的函数值为，且, 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 70．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）在上定义新运算，若存在实数，使得成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得存在实数，使得，则，求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】由已知，存在实数，使得，则， 因为二次函数在区间上单调递减，则， 所以，，故实数的最大值为. 故选：A. 71．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，计算出函数的值域后，分、及计算出函数的值域，再借助子集定义计算即可得. 【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集， 当时，，即的值域为， 若，则，即的值域为，而，符合要求； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 若，则由一次函数的性质可得， 则有，解得，又，故； 综上所述，. 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·周测）下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本函数的单调性，进行判断即可. 【详解】在单调递减，故A错误； 定义域为，且在上单调递增，故B正确； 在上单调递减，故C错误； 在上单调递减，故D错误． 故选：B 2．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数定义域及单调性，即可判断函数最值. 【详解】由已知， 即函数的定义域为， 且， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取得最大值为， 故选：B. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合一次函数和二次函数的单调性即可求得. 【详解】由题意可知，在上单调递增，则，即， 在上单调递增，则， 又是R上的单调递增函数，则，即， 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：C 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：. 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，则， 若，则， 函数的值域不可能为； 当时，， 在上单调递增， 在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 6．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式化为，令，即.然后分和两种情况去掉绝对值符号，得到相应的解析式，计算取时的函数值，画出函数的部分图象，数形结合即可得解. 【详解】因为函数，所以关于的不等式 可化为，即， 令，即. 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 且； 当时，， 在上单调递减，且. 如图所示，结合函数图象及取时的函数值可知， 要使的解集中有且仅有个整数，这两个整数解只能是和， 所以实数的取值范围为，即. 故选：C 二、多选题 7．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知是上的增函数，那么实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分段函数在上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值,从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】要在上单调递增，需满足， 解得，故实数的值可以为，； 故选：AC 8．（20-21高一下·浙江·期末）函数在区间上的值域为，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】首先求解方程和的解，再由函数的值域，结合函数的单调性，确定的取值范围. 【详解】解方程，解得或， 解方程，解得， 由于函数在区间上的值域为. 若函数在区间上单调， 则或，此时取得最小值2； 若函数在区间上不单调，且当取最大值时，， 所以的最大值为4. 所以的取值范围是. 故选：BCD. 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（   ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】ABC 【分析】根据函数的定义判断. 【详解】由已知，因此，A错； 不是单调增函数，例如且，B错； 定义域是，C错； 值域是，D正确 故选：ABC． 10．（2025高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】ABC 【分析】对ABC举反例即可判断，对D直接根据函数单调性定义即可判断. 【详解】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D，函数在上为增函数，则对于任意的， 设，必有， 对于，则有，即， 则在上为减函数，故D正确． 故选：ABC. 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【答案】BCD 【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．函数在定义域内不具有单调性 B．函数无最小值 C．函数最大值为 D．恒成立 【答案】BCD 【详解】原函数可化为，，易知在上单调递减，且恒成立．故函数没有最小值，当时，． 13．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次分式型函数的单调性，即可得到两参数的范围. 【详解】由在区间上单调递增，则，即，故B正确，A错误； 又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误. 故选：BD. 三、填空题 14．（22-23高一上·甘肃定西·期末）已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定的分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 15．（23-24高一上·广东江门·期中）如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 ； 【答案】 【分析】求出对称轴，结合二次函数的性质可得. 【详解】的对称轴为，且开口朝上， 因函数在区间上是增函数，则， 故的取值范围为. 故答案为：. 16．（24-25高一上·全国·周测）函数，的最大值为 . 【答案】12 【分析】换元法将函数转化为二次函数，再根据二次函数的图像与性质求最小值. 【详解】令，因为，所以. 则，函数单调递增， 当，即时，有最大值12， 即函数，的最大值为12. 故答案为：12 17．（2025高三·全国·专题练习）函数，则的值域是 ． 【答案】 【分析】应用换元法及对勾函数性质求函数的值域即可. 【详解】由题设，令，则， 由对勾函数的性质知，函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为，故的值域是， 所以的值域是． 故答案为： 18．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 19．（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 【答案】 【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可. 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 20．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 四、解答题 21．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值是，最小值是 【分析】（1）根据函数的增函数定义进行证明即可. （2）结合（1）中证明的递增函数性质直接求出最大值和最小值. 【详解】（1）证明：设是区间上的任意两个实数，且， 则， ，，，， ，即. 函数在上是增函数. （2）由（1）知函数在上是增函数， 则在上的最大值是，最小值是. 22．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数，在上有最大值，求的解析式． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】∵，对称轴是，开口向上， 当，即时，有， 当，即时，有， ∴. 23．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间[m，n]上的最小值是，最大值是，求，的值． 【答案】． 【分析】由，即有解出即可. 【详解】由知，， 则． 所以在[m，n]上，当增大时也增大， 所以， 所以是方程，即的两个不同实数根，且， 所以． 24．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知常数，求函数的最小值： 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的性质即可分类求解. 【详解】， 当时，在单调递减，在单调递增，故， 当时，在单调递增，故， 综上可得 25．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （2）分析函数在区间上的单调性，即可求出函数的最大值、最小值以及对应的值. 【详解】（1）任取、且，则且， 所以， ，即， 所以，函数在区间上是严格减函数. （2）因为函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，当时，函数取最小值，且最小值为， 又因为，， 所以，当时，函数取最大值，且最大值为. 26．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 27．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明 【详解】对于任意的，且， . ， ，，. ，即. 函数在上是增函数. 对于任意的，且，有. ， ，，. ，即. 函数在上是减函数. 28．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)求函数的最大值与最小值. 【答案】(1)减函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）定义法证明单调性：任取且，通过与的关系判断函数的单调性； （2）根据函数单调性求最值. 【详解】（1）函数在区间上是减函数，证明如下： 任取且， ， 因为且， 所以，，， 所以，即， 所以是上的减函数. （2）由（1）知是上的减函数， 所以，. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.2.1单调性与最大（小）值14题型分类 课程标准 学习目标 ①理解单调函数的定义，理解增函数、减函数、单调区间、单调性的定义． ②掌握定义法证明函数单调性的步骤． ③掌握函数单调区间的写法. ④理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. ⑤.会借助单调性求最值. ⑥掌握求二次函数在给定区间上的最值． 通过本节课的学习，要求掌握函数单调性的证明，会求常用函数的单调区间，会利用函数的单调性求函数的最大与最小值.并能通过函数的单调性求待定参数的值. 一、函数的单调性及其符号表达 (1)函数单调性的概念 函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性． (2)函数单调性的符号表达 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 二、增函数、减函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 三、单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求： (1)属于同一个区间D； (2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替； (3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2. 2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝它的定义域为Z，但不具有单调性． 3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增， y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性． 5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点． 四、函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 1．对函数最值的三点说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方． (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点． 2．函数最值与函数值域的关系 函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值． 3．利用单调性求最值的常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)． （一） 证明或判断函数的单调性 定义法证明单调性的步骤 判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作． 利用定义法判断函数的单调性的步骤如下： 注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0. 对单调递减的判断，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 题型1：利用函数单调性定义判断单调性 1．（24-25高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 4．（2024高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在R上为减函数 B．在R上为增函数 C．在R上为增函数 D．在R上为减函数 题型2：利用函数单调性定义证明单调性 5．（2025高三·全国·专题练习）求证：在R上是减函数． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 7．（2025高三·全国·专题练习）讨论函数在区间上的单调性. 8．（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. （二） 求函数的单调区间 求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的函数(如一次函数、二次函数等)的单调性判断． 方法二：定义法，即先求出定义域，再利用单调性的定义进行判断求解． 方法三：图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间． 注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 题型3：求函数的单调区间 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 10．（24-25高一上·江苏·阶段练习）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·全国·课后作业）函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 12．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 15．（24-25高一上·全国·课前预习）求函数的单调区间，并指出其值域 题型4：复合函数单调区间 16．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·湖南·阶段练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． （三） 函数单调性的应用 1、由函数单调性求参数范围的处理方法是： (1)由函数解析式求参数 若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件， 若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性. 若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 2、利用单调性比较大小或解不等式的方法 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． (2)利用抽象函数的单调性求范围． ①依据：定义在[m，n]上的单调递增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)<f(b)⇔ ②方法：依据函数的单调性去掉符号“f”，转化为不等式问题求解． 题型5：利用函数单调性求参数的取值范围 20．（2025高三·全国·专题练习）“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（24-25高二下·湖北武汉·期末）“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（24-25高三下·全国·开学考试）已知的定义域为的单调函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型6：利用函数的单调性比较大小 27．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 题型7：利用函数单调性解不等式 32．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数的定义域为且为增函数，若，求x的取值范围. 解此题时，某同学给出的解法是：由题意得，解得．以上解法是否正确？为什么？ 36．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ． （四） 利用图象求函数最值 1、利用图象求函数最值的一般步骤 (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)观察图象，找出图象的最高点和最低点； (3)写出最值，最高点的纵坐标就是函数的最大值，最低点的纵坐标就是函数的最小值． 2、图象法求最值的步骤 题型8：利用图象求函数最值 37．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在区间上的图象如下图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是 ． 38．【多选】（23-24高一下·全国·随堂练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 39．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 （五） 利用单调性求函数最值 1、利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性； (2)利用函数的单调性求出最大(小)值． 2、函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则函数f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则函数f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 题型9：根据单调性求最值或值域 40．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 41．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）函数的最小值为（    ） A．0 B．4 C． D． 42．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型10：根据函数的最值（值域）求参数 43．（25-26高一上·全国·课后作业）若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 44．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 45．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 46．（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 （六） 求二次函数的最值 二次函数最值的求法 (1)探求二次函数y＝f(x)在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象判断函数的单调性．对于“定对称轴变区间”“变对称轴定区间”的情况，特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得． (2)二次函数图象的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域的右侧；②对称轴在定义域的左侧；③对称轴在定义域区间内． 题型11：求二次函数的最值 47．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）如果函数，那么函数的值域为（    ） A． B． C． D． 48．（2024高二上·江苏·学业考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 50．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数，，函数的值域为（   ） A． B． C． D． 51．（24-25高一上·全国·课后作业）用表示，中的最小值，记为．若，，则的最大值为（    ） A． B．0 C． D． 题型12：二次函数最值问题（含参） 52．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 53．（24-25高一上·四川巴中·阶段练习）若函数的定义域为，值域为，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上取得最大值3，最小值2，则实数的值为（   ） A．0或1 B．1 C．2 D．以上都不对 55．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值、最小值分别为1，0，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 56．（2025高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最小值、最大值分别为，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知二次函数的值域为，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 （七） 一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. 注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； ②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． ③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型13：函数不等式恒成立问题 58．（2025高一·全国·专题练习）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高二下·浙江·阶段练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则的值可能是（   ） A． B．1 C．2 D．4 60．（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 61．（24-25高三上·山东·阶段练习）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 62．（2025·河北邢台·三模）若不等式恒成立，则正实数整数解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 63．（23-24高一上·北京·期末）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为        A． B． C． D． 64．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型14：函数不等式有解问题 65．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 66．（23-24高一下·湖北·开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 67．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．0 D．3 68．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 69．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）若存在，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 70．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）在上定义新运算，若存在实数，使得成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 71．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·周测）下列函数为增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州毕节·期末）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期末）若函数是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知是上的增函数，那么实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 8．（20-21高一下·浙江·期末）函数在区间上的值域为，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（   ） A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 10．（2025高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 12．（25-26高一上·全国·课后作业）下列关于函数的说法正确的是（   ） A．函数在定义域内不具有单调性 B．函数无最小值 C．函数最大值为 D．恒成立 13．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（22-23高一上·甘肃定西·期末）已知在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为 ． 15．（23-24高一上·广东江门·期中）如果函数在区间上是增函数，则的取值范围为 ； 16．（24-25高一上·全国·周测）函数，的最大值为 . 17．（2025高三·全国·专题练习）函数，则的值域是 ． 18．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的单调减区间是 ． 19．（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则 . 20．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 21．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数. (1)求证：函数在上是增函数； (2)求在上的最大值和最小值. 22．（2025高三·全国·专题练习）已知二次函数，在上有最大值，求的解析式． 23．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在区间[m，n]上的最小值是，最大值是，求，的值． 24．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知常数，求函数的最小值： 25．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知函数． (1)用定义法证明函数在区间上是严格减函数； (2)写出函数在区间上的最值，以及相应的的值． 26．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 27．（24-25高一上·全国·课前预习）求证：函数在上是减函数，在上是增函数 28．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)求函数的最大值与最小值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$