第1章一元二次方程单元测试卷2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程单元测试卷2025-2026学年苏科版数学九年级上学期 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 3．已知是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．1或 4．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果平均每月的增长率为，则由题意列方程为（   ） A． B． C． D． 5．定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 6．把化成（其中是常数）形式的结果为（   ） A． B． C． D． 7．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（    ）人． A．9 B．10 C．45 D．46 8．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题 9．把方程化成的形式，则 ． 10．若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 11．若关于的一元二次方程有实数根，则满足的条件为 ． 12．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可） 13．若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 14．对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是 ． 15．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为 ． 16．我们规定：对于实数，满足，若，则的值为 ． 三、解答题 17．解下列方程组 (1)； (2)； (3)． 18．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 19．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 20．某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇1米宽的门． (1)若围成的花圃面积为400平方米，求的长； (2)能否使得围成的花圃面积为500平方米？请说明你的理由． 21．某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 22．某公司2月份销售新上市的产品25套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4月份该公司销售产品达到36套． (1)求该公司这两个月销售产品的月均增长率； (2)若销售产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价措施．调查发现，如果产品每套每降价0．1万元，那么公司平均每月可多售出4套．若该公司想在5月份获利70万元，则每套产品应降价多少万元？ 23．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 24．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 25．【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中，“△”的数量是_____； （2）第1个图案中，“”的数量有；第2个图案中，“”的数量有；第3个图案中，“”的数量有；…，第个图案中，“”的数量是_____ 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“”的数量之和为400，求的值． 26．2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． (1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； (2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 27．已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价z （单位：元） … 20 25 30 销量y₂ （单位：件） … 100 80 60 其中x、z均为非负整数．商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． (1)直接写出乙种玩具每天的销量y₂与每件售价z的关系式是 ；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 （用x表示z） ； (2)当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章一元二次方程单元测试卷解析 2025-2026学年苏科版数学九年级上学期 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．直接根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】解：A、，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、，含有两个未知数，故本选项不符合题意； D、，是分式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 3．已知是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C 4．某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果平均每月的增长率为，则由题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．掌握“设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为”是解决本题的关键．设每月增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，根据三月份的营业额为288万元，列方程即可． 【详解】解：设每月增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额在二月份基础上再增长，即万元， 根据题意：， 故选：A． 5．定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，根的判别式． 根据新定义的运算将方程转化为一元二次方程，再利用根的判别式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 6．把化成（其中是常数）形式的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 7．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了 45次手，那么参加这次聚会的同学共有（    ）人． A．9 B．10 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程． 设这次聚会的同学共n人，则每人与其他人各握手一次，而两个人之间握手一次，因而共握手次，即可列方程求解． 【详解】解设有名同学参加聚会，每人与其他人各握手一次，但每两次握手被重复计算一次，故总握手次数为．根据题意，得： 解得（舍去负根）． 因此，参加聚会的同学共有10人， 故选：B． 8．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，展开对应相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程” ∴第二个方程可以写成的形式， ∴展开得： ∴，，， 解得：，， ∴， ∵ ∴ ∴能取的最大值是2026． 故选D． 二、填空题 9．把方程化成的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． 将原方程配方，求出、的值，再计算即可． 【详解】解：将配方得， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程根与系数关系即可求解． 【详解】解；∵ ∴， ∴ 故答案为：11 11．若关于的一元二次方程有实数根，则满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此可解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故答案为：． 12．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键． 由题意设这个一元二次方程为：，由一元二次方程的解可得，可得进而得出答案． 【详解】解：由题意设这个一元二次方程为：， 代入得，， 即， 可取， ∴这个一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 13．若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 14．对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据当时，有可得答案． 【详解】解：∵当时，，即， ∴是该方程的一个根， 故答案为： 15．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知或，从而求解； 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 16．我们规定：对于实数，满足，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的新定义，因式分解法进行解一元二次方程，先理解新定义，再得出，整理得，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即， 整理得， ∴， 解得， 故答案为：或． 三、解答题 17．解下列方程组 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，配方法，解题的关键是掌握因式分解法解方程，配方法解方程． （1）利用配方法解一元二次方程，即可求解； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）利用因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： （2）解： ， 或， 解得： （3）解： ∴ ， 或， 解得： 18．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法以及整体换元思想是解题的关键．根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ，解得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 19．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个相等的实数根 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理： （1）根据等边三角形的性质可得，原方程变形为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 20．某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为米的墙，另三边用总长为59米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形，并在边上留有一扇1米宽的门． (1)若围成的花圃面积为400平方米，求的长； (2)能否使得围成的花圃面积为500平方米？请说明你的理由． 【答案】(1)20米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，根据题意正确列出关于x的方程成为解题的关键． （1）设边的长为x米，则米，然后利用矩形的面积公式列二元一次方程求解，然后再求出验证即可解答； （2）先根据题意列一元二次方程求解，然后运用根的判别式判定方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设边的长为x米，则米， 根据题意得：，     解得：或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 答：的长为20米． （2）解：不能，理由如下： 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程不存在实数根． ∴不能使得围成的花圃面积为500平方米． 21．某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设边框的宽为，根据添加边框后的整个图形的面积为建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：边框的宽为． 22．某公司2月份销售新上市的产品25套，由于该产品的经济适用性，销售量快速上升，4月份该公司销售产品达到36套． (1)求该公司这两个月销售产品的月均增长率； (2)若销售产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽快减少库存，该公司决定采用适当的降价措施．调查发现，如果产品每套每降价0．1万元，那么公司平均每月可多售出4套．若该公司想在5月份获利70万元，则每套产品应降价多少万元？ 【答案】(1) (2)1万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每套A产品应降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润，可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）设该公司这两个月销售A产品的月均增长率，依题意得： ， 解得：(舍去)，， 该公司这两个月销售A产品的月均增长率 ． （2）设每套A产品应降价万元，依题意得： ， 整理得， 解得：，， 为了尽快减少库存，取， 答：每套A产品应降价万元． 23．阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1)4 (2) (3)当时，多项式有最大值，最大值为20 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 24．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)存在，t的值为2 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程，正方形的性质，三角形的面积，掌握以上知识点是解本题的关键． （1）根据题意得，，根据勾股定理可得，整理得，解出方程即可． （2）根据正方形的性质，可得，，再利用三角形面积得出，代入数值列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． （2）存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 25．【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中，“△”的数量是_____； （2）第1个图案中，“”的数量有；第2个图案中，“”的数量有；第3个图案中，“”的数量有；…，第个图案中，“”的数量是_____ 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“”的数量之和为400，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）18 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）由图可知，第个图案中，“△”的数量是， 故答案为：； （2）由图可知，第个图案中，“”的数量是， 故答案为：； （3）由（1）（2），得， 即， 解得或（不符合题意，舍去）． 的值为18． 26．2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． (1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； (2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1400元； (2)不能，理由见解析； (3)存在，（）． 【分析】本题考查销售问题中的数量关系，一元二次方程的应用和整数解的讨论，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）销售额=销售单价销售数量，根据题意作答即可； （2）根据题意得到每套书降价x元时销售额，建立方程求解即可； （3）根据题意建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以书店每套书涨价5元，估计每天获得总销售额是1400元； （2）不能，由题意可得：， 解得或， 因为x为整数且，所以都不满足题意，都舍去， 所以每套书降价x元（x为整数，）时，每天获得的销售额不能与题（1）中的总额相等； （3）存在，由题意可得：， 整理得， 解得使两种方案的销售额相等，此时． 27．已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价z （单位：元） … 20 25 30 销量y₂ （单位：件） … 100 80 60 其中x、z均为非负整数．商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． (1)直接写出乙种玩具每天的销量y₂与每件售价z的关系式是 ；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 （用x表示z） ； (2)当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ 【答案】(1)；； (2)乙种玩具的总利润是800元 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）设每天的销量与每件售价z的函数关系式为，利用待定系数法即可求解；分别表示出甲、乙两种玩具每件的利润，再根据每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，即可得到关系式； （2）先根据甲种玩具的总利润列一元二次方程，求出甲种玩具每件的售价，进而求出乙种玩具每件的售价，即可得出乙种玩具的总利润． 【详解】（1）解：设每天的销量与每件售价z的函数关系式为， 则，解得：， 即每天的销量与每件售价z的关系式是； 甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元． 甲、乙两种玩具每件的利润分别为元和元， 每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍， ， ， 故答案为：；； （2）解：甲种玩具的总利润为800元， 则， 解得：，即甲种玩具每件的售价为元， ，即乙种玩具每件的售价为元， 乙种玩具的总利润是元， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$