精品解析：山东省德州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

山东省德州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1－2页，第II卷3－4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 若，则（ ） A. -2i B. -I C. i D. 2i 【答案】B 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念以及复数的除法运算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：B 2. 已知是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角三角函数定义可得，再结合倍角的正切公式求解即可. 【详解】∵是角终边上一点，∴， ∴ 故选：A. 3. 在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，则这组数据的分位数是（ ） A. 6.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解. 【详解】将数据按升序排列可得：2，4，5，7，7，8，9，10， 因为，所以这组数据的分位数. 故选：C. 4. 在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，可证为异面直线与所成角或其补角.再根据余弦定理计算即可. 【详解】取的中点，连接， 因为，分别是的中点， 所以，， 在正方体中，∵ ∴，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 故为异面直线与所成角或其补角. 设正方体的棱长为2，分别是的中点， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断ABC；由线面垂直的性质定理可判断D. 【详解】对于A，若，，则，或，故A错误； 对于B，若，，则，或与相交，故B错误； 对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 6. 某次物理竞赛，得分在有15人，他们的平均分为128，方差为2，得分在［130，140］的有9人，他们的平均分为136，方差为1，则得分在[120，140]的平均分与方差为（ ） 参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为， A. 130，16.625 B. 131，17.875 C. 131，16.625 D. 130，17.875 【答案】C 【解析】 【分析】按照分层抽样的平均数，方差公式计算. 【详解】由题可知：， . 故选：C 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式求出、值，再利用两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 所以， ， 因此. 故选：B. 8. 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，利用斜二测画法画此圆锥时，直观图的底面曲线中心在原点，底面曲线与轴、轴正半轴分别交于、两点，已知面积为.若圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意得出，求出圆锥的高，根据斜二测画法和三角形的面积可得出关于的等式，解出的值，根据题意得出圆台的上、下底面的半径与高，结合台体体积公式可求得该台体的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意可得，故， 所以，圆锥的高为， 由斜二测画法可知，，， 故，解得. 故圆锥的高为， 若圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则圆台的上底面半径为下底面的一半， 故截掉的圆锥的高为，从而可知圆台的高为， 由台体的体积公式可知该圆台的体积为， 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 关于点对称 D. 的一条对称轴为直线 【答案】AB 【解析】 【分析】由图象得出，再由即可求解出，可判断A、B；由，整体代入法即可求解对称中心和对称轴，判断C、D. 【详解】由题图知：函数的最小正周期， 则，，所以函数． 将点代入解析式中可得， 即，则， 因为，所以，故A，B正确； ， ∴， 所以的图象关于点不对称，故C不正确； 因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，故D不正确； 故选：AB. 10. 复数（其中i为虚数单位，），则（ ） A. B. 的最大值为6 C. 当时，复数对应的点在第四象限 D. 当时，是实系数方程的一个虚数根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的模的定义及同角三角函数的平方关系即可求解A；根据复数的几何意义，转化为两个点的距离问题即可求解B；直接计算出复数，再根据对应的点即可判断C；求出方程的虚数根，再结合是其一个虚数根即可求解D． 【详解】A．，选项正确， B．由A可知复数在复平面对应点轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 表示的是点到以原点为圆心，1为半径的圆上点的距离， 其最大值为点到原点的距离加半径为：，选项正确； C．当时，复数，对应的点为，在第二象限，选项错误， D．当时，复数，实系数方程的虚数根为：，因为复数是实系数方程的一个虚数根，故，解得，选项正确， 故选：ABD， 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，是线段上的动点，是线段BN上的动点，则（ ） A. 存在点，使平面MBN B. MN与PB为异面直线 C. 线段QR的最小值是2 D. 经过M，B，C，N四点的球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，为的中点，根据以及线面平行判定定理可得；对B，通过，而可得；对C，建系，求解线段的长度；对D，建系，求得球心的坐标，然后根据球的表面积公式计算即可. 【详解】对A，存在，当为的中点时，平面MBN，如图，连接， 由M，N，P分别是的中点，所以， 由平面，平面，所以平面，正确； 对B，如图，连接 由，而，分别在两个平行的平面内，所以MN与PB为异面直线，正确； 对C，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 设点，，则，，， 所以点的坐标为， 所以， 所以当，时，取最小值，最小值为，C错误； 对D，设经过M，B，C，N四点的球的球心坐标为， 所以， 所以球的半径为， 所以球的表面积为，正确. 故选：ABD 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示计算. 【详解】由题意得， 由得， 解得 故答案为：. 13. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.若甲先投，则甲获胜的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分投篮1次、3次、5次甲获胜情况讨论，分别计算所对应概率，然后求和即可. 【详解】投篮1次甲获胜概率为：； 投篮3次甲获胜概率为：； 投篮5次甲获胜概率为：. 所以甲获胜的概率为. 故答案为： 14. 已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥的体积为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由旋转的性质确定三棱锥的特征，求出其高即可求得体积. 【详解】在三棱锥中，， 由，得，则， 取中点，连接，则， 显然，则，又，平面， 因此平面，三棱锥的体积. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. （1）求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； （2）现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 【答案】（1），中位数为108 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图各组频率之和为1可求a的值；根据直方图中的估算中位数的求法计算中位数. （2）由和的频率确定求出这两组分层抽样的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可能情况个数，及其中恰好一人分数在内，另一人分数在内的个数，进而求得相应的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得 本次联考该校数学成绩在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 因为 所以中位数在之间，设为， 则 解得 所以本次联考该校数学成绩的中位数为108. 【小问2详解】 成绩在的人数与成绩在的频率的人数之比为1:2 根据分层抽样可知抽取的6人中成绩在的有2人，成绩在的频率的有4人 假设成绩在的2人分别记为，成绩在的4人分别记为，.随机抽取两人的样本空间为 ， 共15个 两人中恰好一人分数在内，另一人在内包含 ， 共8个 所以 16. 如图，在三棱锥中，底面是的中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面ABC，根据线面垂直的性质和判断证得，,,分别计算即可得三棱锥的表面积； （2）取AC中点，取AB中点，连接，，.可证为二面角的平面角，在Rt中计算即得. 【小问1详解】 因为平面ABC，平面ABC 所以. 又因为面， 所以面. 又面，所以 又因为平面平面 ∴， ∵ 所以 所以 所以三棱锥的表面积 【小问2详解】 取AC中点，取AB中点，连接，，. 由（1）知， ∵是的中点， ∴在Rt中，， 又， ∴在Rt中，， 所以 所以 又因为 所以 又因为面面 所以为二面角的平面角. 在Rt中，， 所以. 17. 已知直三棱柱分别是边的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥体积为，且，设与平面形成的线面角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：取中点，根据中位线定理可知，得到四边形ADEF为平行四边形，进一步得到，最后根据线面平行的判定定理判断；证法二：取BC中点，利用面面平行判定定理得到平面平面，然后得到平面； （2）利用，得到，找到，然后表示，使用不等式求解即可. 【小问1详解】 证法一：取中点，连接EF，FA，则EF为中位线， 所以 又，所以 从而四边形ADEF为平行四边形，所以 又因为面，不在平面内， 所以面 证法二：取BC中点，连接EF，DF，则DF为中位线 所以 在三棱柱中，且 所以四边形为平行四边形，所以 因为且平面DEF 又且平面 所以平面平面 又平面DEF，所以平面 【小问2详解】 由题可知. 所以面 因为三棱锥即三棱锥 所以 所以，即 连接，则为与平面所成的角，且 由均值不等式 所以 （当且仅当时等式成立） 故的最大值为 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为，. （1）求； （2）已知. （i）若，求的值； （ii）若为的外接圆的圆心，且，求的面积. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先利用数量积的坐标公式将转化，再利用正弦定理结合两角和差的正弦函数公式对等式进行化简，最后根据角的范围求出； （2）由根据向量的线性运算可得，再利用数量积的运算律得到. （i）利用，结合求得，即可求得； （ii）令边的中点分别为，,先根据,求得， ，由及，利用数量积的运算律求得，再结合，解得，即可求. 【小问1详解】 由得， 所以 由正弦定理得 故 所以 因为，所以，整理得. 又因为，所以 【小问2详解】 由得. 得 因为，即 所以 即 （i）因为，即，从而， 所以 （ii）令边AB，AC的中点分别为E，F，由点为的外接圆圆心， 得 ， ， 所以 即 又 联立方程组，解得（舍）或 所以 19. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，由甲先掷一次骰子，记向上的点数为，接下来甲有2种选择： ①甲直接结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为，若，则乙赢，否则甲赢，游戏结束； ②甲再掷一次骰子，向上的点数记为，若，则乙赢，游戏结束； 若，甲结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为，若，则乙赢，否则甲赢，游戏结束．问： （1）若甲只掷骰子1次，求甲赢的概率； （2）若甲掷骰子2次，求甲赢的概率； （3）当甲第一次掷骰子向上的点数为多少时，甲选择①赢得游戏的概率更大？ 【答案】（1） （2） （3）3或4或5或6 【解析】 【分析】（1）分类讨论出当甲掷出向上的点数为1，2,3,4,5,6时，赢的情况数，再利用古典概型公式求概率即可； （2）分别讨论数甲第1次掷骰子向上的点数为1,2,3，4，5时，赢得情况数，再利用古典概型公式求概率即可； （3）分别计算出当甲第一次掷骰子向上的点数为时，选择①，②两种各自甲赢的概率，然后建立不等式进行求解即可． 【小问1详解】 若甲只掷骰子1次，甲赢的情况如下． 甲掷出向上的点数为1，乙掷出向上的点数为6，此时有1种情 甲掷出向上的点数为2，乙掷出向上的点数为6、5，此时有2种情况 甲掷出向上的数点为3，乙掷出向上的点数为6、5、4，此时有3种情况 依此类推，甲赢的情况共有种 故甲赢的概率为． 【小问2详解】 若甲掷骰子2次，甲赢的情况如下． ①甲第1次掷骰子向上点数为1． 第2次掷骰子向上的点数为1，乙掷骰子向上的点数为6，5，此时有2种情况； 第2次掷骰子向上的点数为2，乙掷骰子向上的点数为6、5、4，此时有3种情况； 依此类推 第2次掷骰子向上的点数为5，乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3、2、1，此时有6种情况． 以上有种情况． ②甲第1次掷骰子向上的点数为2． 第2次掷骰子向上的点数为1，乙掷骰子向上的点数为6、5、4，此时有3种情况； 第2次掷骰子向上的点数为2，乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3，此时有4种情况； 第2次掷骰子向上点数为3，乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3、2，此时有5种情况， 第2次掷骰子向上的点数为4，乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3、2、1，此时有6种情况， 以上有种情况． 依此类推，甲第1次掷骰子向上的点数为3时，甲赢的情况有种． 甲第1次掷骰子向上的点数为4时，甲赢的情况有种． 甲第1次掷骰子向上的点数为5时，甲赢的情况有6种． 甲赢的情况的总数为． 故甲赢的概率为． 【小问3详解】 当甲第一次掷骰子向上的点数为时， 若甲选择①，则乙掷骰子向上的点数为，共种， 而乙掷骰子向上的点数共6种情况，则甲赢的概率． 若甲选择②，则甲第二次掷骰子向上的点数为，共种， 若甲第二次掷骰子向上的点数为1时，则乙掷骰子向上的点数为，共种， 若甲第二次掷骰子向上的点数为2时，则乙掷骰子向上的点数为，共种， ．．．．．．， 若甲第二次掷骰子向上的点数为时，则乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3、2、1，共6种， 所以，甲赢的情况的总数为， 而甲第二次、乙掷骰子的可能情况各为6种，则甲赢的概率 ． 令，即，化简得，解得． 因，且，所以或4或5或6． 综上，当甲掷骰子向上的点数为3或4或5或6时，甲选择①赢得游戏的概率更大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省德州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1－2页，第II卷3－4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 若，则（ ） A. -2i B. -I C. i D. 2i 2. 已知是角终边上一点，则（ ） A B. C. D. 3. 在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，则这组数据的分位数是（ ） A. 6.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 4. 在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 某次物理竞赛，得分在的有15人，他们的平均分为128，方差为2，得分在［130，140］的有9人，他们的平均分为136，方差为1，则得分在[120，140]的平均分与方差为（ ） 参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为， A. 130，16.625 B. 131，17.875 C. 131，16.625 D. 130，17.875 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，利用斜二测画法画此圆锥时，直观图的底面曲线中心在原点，底面曲线与轴、轴正半轴分别交于、两点，已知面积为.若圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为的圆锥，则所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 关于点对称 D. 的一条对称轴为直线 10. 复数（其中i为虚数单位，），则（ ） A. B. 的最大值为6 C. 当时，复数对应的点在第四象限 D. 当时，是实系数方程的一个虚数根，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，是线段上的动点，是线段BN上的动点，则（ ） A. 存在点，使平面MBN B. MN与PB为异面直线 C. 线段QR的最小值是2 D. 经过M，B，C，N四点的球的表面积为 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则实数___________. 13. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.若甲先投，则甲获胜的概率为____________. 14. 已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥体积为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某中学为研究本校高一学生在市联考中数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. （1）求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； （2）现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 16. 如图，在三棱锥中，底面是的中点. （1）求三棱锥的表面积； （2）求二面角的平面角的正弦值. 17. 已知直三棱柱分别是边的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥体积为，且，设与平面形成的线面角为，求的最大值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为，. （1）求； （2）已知. （i）若，求的值； （ii）若为外接圆的圆心，且，求的面积. 19. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，由甲先掷一次骰子，记向上的点数为，接下来甲有2种选择： ①甲直接结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为，若，则乙赢，否则甲赢，游戏结束； ②甲再掷一次骰子，向上的点数记为，若，则乙赢，游戏结束； 若，甲结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为，若，则乙赢，否则甲赢，游戏结束．问： （1）若甲只掷骰子1次，求甲赢的概率； （2）若甲掷骰子2次，求甲赢的概率； （3）当甲第一次掷骰子向上的点数为多少时，甲选择①赢得游戏的概率更大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$