暑假提升系列二函数及其性质学案-2024-2025学年高二数学人教A版（2019）

2024-2025学年下学期高二暑假提升系列二 函数及其性质参考答案 §2.1函数的单调性与最值 重要结论： 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递 ． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝ 函数，减函期数＋减函数＝ 函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相 ． 4．复合函数的单调性：同 异 ． 好题赏析： 已知函数f(x)＝ 若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0，则实数a的取值范围为__________； 若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为__________． §2.2函数的周期性及函数图象对称性的应用 重要结论：同周期，异对称 设函数，，，， 1.若，则函数的周期为 ； 2.若，则函数的周期为 ； 3.若，则函数的周期为 ； 4.若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为 ； 5.若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为 ； 6.若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为 ； 7.，函数的图象关于 对称； 8.函数的图象关于 对称； 9.，函数的图象关于 对称。 好题赏析： 设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式； (3)当－4≤x≤4时，求方程f(x)＝m(－1≤m<0)的所有实根之和． §2.3函数的零点与方程的解 重要结论： 1.方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与 有公共点． 2.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 好题赏析： 1.函数的所有零点之和为 ．   2.已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是(　　) A．[3.5,4) B．(3.5,4] C．(5,5.5] D．[5,5.5) 2024-2025学年下学期高二暑假提升系列二 函数及其性质参考答案 §2.1函数的单调性与最值 重要结论： 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函期数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 好题赏析： 已知函数f(x)＝ 若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0，则实数a的取值范围为__________； 若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则实数t的取值范围为__________． 【答案】　(－∞，0]　(2,4] 【详解】若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有<0， 则f(x)在R上是减函数，则≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围为(－∞，0]； 当a>0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0,4]，则f ＝－＝4， 解得a＝4或a＝－4(舍去)， 又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2<t≤4； 当a≤0时，f(x)在[－1，t)上单调递减，则f(x)在[－1，t)上的最大值为f(－1)＝2，不符合题意， 所以实数t的取值范围为(2,4]． §2.2函数的周期性及函数图象对称性的应用 重要结论：同周期，异对称 设函数，，，， 1.若，则函数的周期为； 2.若，则函数的周期为； 3.若，则函数的周期为； 4.若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； 5.若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； 6.若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； 7.，函数的图象关于直线对称； 8.函数的图象关于直线对称； 9.，函数的图象关于点对称。 好题赏析： 设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式； (3)当－4≤x≤4时，求方程f(x)＝m(－1≤m<0)的所有实根之和． 【答案】　(1)π－4；(2)f(x)＝(3)4 【详解】(1)略 （2）略 (3)作出函数f(x)在[－4,4]上的图象，如图， 则函数的最小值为－1， 若m＝－1，则方程f(x)＝m在[－4,4]上的解为x＝－1或x＝3，则－1＋3＝2； 若－1<m<0，则方程f(x)＝m在[－4,4]上共有4个解， 则它们分别关于直线x＝－1和直线x＝3对称， 设它们从小到大依次为a，b，c，d， 则a＋b＝－2，c＋d＝6，即a＋b＋c＋d＝－2＋6＝4. §2.3函数的周期性及函数图象对称性的应用 重要结论：同周期，异对称 设函数，，，， 1.若，则函数的周期为； 2.若，则函数的周期为； 3.若，则函数的周期为； 4.若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； 5.若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； 6.若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； 7.，函数的图象关于直线对称； 8.函数的图象关于直线对称； 9.，函数的图象关于点对称。 好题赏析： 设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－1≤x≤3时，求f(x)的解析式； (3)当－4≤x≤4时，求方程f(x)＝m(－1≤m<0)的所有实根之和． 【答案】　(1)π－4；(2)f(x)＝(3)4 【详解】(1)略 （2）略 (3)作出函数f(x)在[－4,4]上的图象，如图， 则函数的最小值为－1， 若m＝－1，则方程f(x)＝m在[－4,4]上的解为x＝－1或x＝3，则－1＋3＝2； 若－1<m<0，则方程f(x)＝m在[－4,4]上共有4个解， 则它们分别关于直线x＝－1和直线x＝3对称， 设它们从小到大依次为a，b，c，d， 则a＋b＝－2，c＋d＝6，即a＋b＋c＋d＝－2＋6＝4. §2.4函数的零点与方程的解 重要结论： 1.方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 2.如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 好题赏析： 1.函数的所有零点之和为 ． 【答案】9 【详解】由，令，， 显然与的图象都关于直线对称， 在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，    观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，这6个点两两关于直线对称，有，则，所以函数的所有零点之和为9. 故答案为：9 2.已知定义在R上的奇函数满足f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x，若函数F(x)＝f(x)－sin πx在区间[－1，m]上有10个零点，则m的取值范围是(　　) A．[3.5,4) B．(3.5,4] C．(5,5.5] D．[5,5.5) 【答案】A 【详解】由f(2－x)＋f(x)＝0⇒f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数， 当x∈(0,1]时，f(x)＝－log2x， 因此f ＝－log2＝1，f(1)＝0， 所以f(0)＝0，f ＝－1，f(－1)＝0， 且g(x)＝sin πx的周期为T＝＝2， 且g(－1)＝0，g＝－1，g(0)＝0，g＝1，g(1)＝0， 求F(x)＝f(x)－sin πx的零点个数， 即求f(x)与g(x)图象的交点个数， 如图为f(x)与g(x)在区间[－1,1]的图象， 因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数， 因此交点也呈周期出现， 若在区间[－1，m]上有10个零点，则第10个零点坐标为(3.5，－1)，第11个零点坐标为(4,0)，因此3.5≤m<4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$