22.3实际问题与二次函数 （利润问题） 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数 （利润问题） 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册 1. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进 ， 两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变，第一次购进 品牌粽子 袋和 品牌粽子 袋，总费用为 元；第二次购进 品牌粽子 袋和 品牌粽子 袋，总费用为 元． （1）求 ， 两种品牌粽子每袋的进价各是多少元； （2）当 品牌粽子销售价为每袋 元时，每天可售出 袋，为了促销，该超市决定对 品牌粽子进行降价销售，经市场调研，若每袋的销售价每降低 元，则每天的销售量将增加 袋，当 品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大?最大利润是多少元? 2. 某水果批发商以 元/千克的价格购进 千克的某种水果投放市场，受疫情影响，该水果批发商的水果出现滞销，根据市场推测，每滞销一天，该水果的价格将上涨 元/千克，且平均每天将有 千克的水果会品质下降，假设每天品质下降的水果都能以 元/千克的价格一次性出售完，该水果最多只能滞销 天．设滞销 天后，该水果批发商将该水果一次性出售完所得的利润为 元，求 （元）与 （天）之间的函数表达式． 3. 已知某种商品每件的进价为 元，若每件按 元的价格销售，则每月能卖出 件；若每件按 元的价格销售，则每月能卖出 件．假定每月的销售量 （件）是每件的销售价格 （元）的一次函数． （1）求 关于 的一次函数表达式； （2）当每件的销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大?并求此最大利润． 4. 某公司试销一种成本单价为 元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于 元/件，经试销调查，发现销售量 （件）与销售单价 （元/件）可近似看作一次函数 的关系．（如图所示） （1）根据图象，求一次函数 的解析式，并写出自变量 的取值范围； （2）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少?最大利润值为多少? 5. 某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价 元时每天能清洗 辆，定价 元时每天能清洗 辆，假设清洗汽车辆数 （辆）与定价 （元）（ 取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）． （1）求 与 之间的函数关系式． （2）若清洗一辆汽车定价不低于 元且不超过 元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计 元，则定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大?最大获利是多少? 6. 端午节前后，某商场推广一种新式粽子出售，市场调查发现：在端午节前后各一周粽子的销售情况如图中折线 表示销量 （个）与销售时间第 天的函数关系．线段 表示每增加一天，销量减少 个； （1）第 天的销量为  个? （2）直接写出 与 的函数关系式，并写出对应的 的取值范围； （3）若粽子的固定成本为 元/个，固定售价为 元/ 个； ①这些天的销售中，日利润是 元的出现在第几天? ②端午节过后的连续 天内，第 天捐款当天总利润的 ，第 天捐款当天总利润的 ，为保证捐款后这两天的平均日利润不低于 元，求 的最大值． 7. 某超市销售一种牛奶，进价为每箱 元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱 元，每月可销售 箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价 元，则每月的销量将增加 箱．设每箱牛奶降价 元（ 为正整数），每月的销量为 箱． （1）写出 与 之间的函数关系式和自变量 的取值范围； （2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大?最大利润是多少元? 8. 某超市经销一种商品，每件成本为 元．经市场调研发现，当该商品每件的销售价为 元时，每月可销售 件，若每件的销售价每增加 元，则每月的销售量将减少 件．设该商品每件的销售价为 元，每月的销售量为 件． （1）求 与 之间的函数解析式． （2）当该商品每件的销售价为多少元时，每月的销售利润最大?最大利润是多少? 9. 某汽车销售公司 月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅销售 辆汽车，则该辆汽车的进价为 万元；每多销售 辆，所有销售的汽车的进价均降低 万元/辆． （1）若该公司当月销售 辆汽车，则每辆汽车的进价为  万元． （2）在指定范围内，如果汽车的售价为 万元/辆． ①写出该公司当月盈利 （万元）与汽车销售量 （辆）之间的函数表达式； ②若该公司当月盈利 万元，求汽车的销售数量． 10. 某网店正在热销一款电子产品，其成本为 元/件，销售中发现，该商品每天的销售量 （件）与销售单价 （元/件）之间存在如图所示的关系． （1）请求出 与 之间的函数表达式． （2）该款电子产品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 11. 某公司的化工产品成本为 元/千克．销售部门规定：一次性销售 千克以内时，以 元/千克的价格销售；一次性销售不低于 千克时，每增加 千克降价 元．考虑到降价对利润的影响，一次性销售不低于 千克时，均以某一固定价格销售．一次性销售利润 （元）与一次性销售量 （千克）的函数关系如图所示． （1）当一次性销售 千克时利润为多少元? （2）求一次性销售量在 千克之间时的最大利润； （3）当一次性销售多少千克时利润为 元? 12. 某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为 万元/件．设第 个生产周期设备的售价为 万元/件，售价 与 之间的函数表达式是 ，其中 是正整数，当 时，；当 时，． （1）求 ， 的值． （2）设第 个生产周期生产并销售完设备的数量为 件，且 与 满足关系式 ． ①当 时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大利润是多少万元? ②当 时，若有且只有 个生产周期的利润不小于 万元，求实数 的取值范围． 13. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的 天中，第 天（，且 为整数）的售价 （元/千克）与 之间的函数表达式为 ，销量 （千克）与 之间的函数表达式为 ，已知第 天的售价为 元/千克，第 天的售价为 元/千克，设第 天的销售额为 元． （1） 的值为  ， 的值为  ； （2）求第 天的销售额 元与 之间的函数表达式； （3）在试销售的 天中，销售额超过 元的共有多少天? 14. 某商店销售一种进价为 元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量 （双）与销售单价 （元）满足 ，设销售这种手套每天的利润为 （元） （1）求 与 之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少? 15. 我市某超市销售一种文具，进价为 元/件．售价为 元/件时，当天的销售量为 件．在销售过程中发现：售价每上涨 元，当天的销售量就减少 件．设当天销售单价统一为 元/件（，且 按 元的倍数上涨），当天销售利润为 元． （1）求 与 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于 元，求当天销售单价所在的范围； （3）若每件文具的利润不超过 ，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元?并求出最大利润． 16. 某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为 万元/件． （1）如图，设第 （）个生产周期设备售价 万元/件， 与 之间的关系用图中的函数图象表示．求 关于 的函数解析式（写出 的范围）． （2）设第 个生产周期生产并销售的设备为 件， 与 满足关系式 （）．在（）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大?最大为多少万元?（利润 收入 成本） 答案 一 解答题 1. （1） 种品牌粽子每袋的进价是 元， 种品牌粽子每袋的进价是 元， 根据题意得， 解得 答： 种品牌粽子每袋的进价是 元， 种品牌粽子每袋的进价是 元；     （2） 设 品牌粽子每袋的销售价降低 元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，利润为 元，根据题意得， 因为 ， 所以当 品牌粽子每袋的销售价降低 元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是 元． 2. 由题意，可得滞销 天后，水果的价格为 元/千克，品质下降的水果有 千克， ． （元）与 （天）之间的函数表达式为 ． 3. （1） （）．     （2） 设每月所获的利润为 元， 当 时， 有最大值，最大利润为 元． 4. （1） 由函数的图象得： 解得： ；     （2） 设每天获得的利润为 元， 由（1）得： ， 当 时，， 即该公司要想每天获得最大利润，应把销售单价定为 元/件，最大利润为 元． 5. （1） 设 与 之间的函数关系式为 ． 由题意可知 解得 与 之间的函数关系式为 ．     （2） 设汽车清洗店每天获利 元． 由题意，得 ． ，且 为整数， 当 时， 取得最大值，最大值为 ． 答：定价为 元或 元时，该汽车清洗店每天获利最大，最大获利是 元． 6. （1） 略     （2） 略     （3） 略 7. （1） ，，且 为整数．     （2） 设利润为 元，由题意得， 整理得， 且 ， 当 时， 有最大值 ， 售价为 （元/箱）， 答：当定价为 元/箱时，每月牛奶销售利润最大，最大利润是 元． 8. （1） 根据题意，得 ， 与 之间的函数解析式为 ．     （2） 设每月的销售利润为 元，由（），知 当该商品每件的销售价为 元时，每月的销售利润最大，最大利润是 元． 9. （1）     （2） ①每辆汽车的利润为 ． 当月盈利 （万元）与汽车销售量 （辆）之间的函数表达式为 ． ②当 时，． 解这个方程，得 （不合题意，舍去），， 即汽车的销售数量为 辆． 10. （1） ．       （2） 销售单价定为 元时，每天的销售利润最大，最大利润为 元． 11. （1） 根据题意， 当 时，， 当一次性销售 千克时利润为 元．       （2） 设一次性销售量在 千克之间时，每千克销售利润为 ， ，， 当 时， 有最大值，最大值为 ， 一次性销售量在 千克之间时的最大利润为 元．       （3） ①当一次性销售量在 千克之间时，利润为 元， ，解得 ，． ②当一次性销售不低于 千克时，均以某一固定价格销售， 设此时函数表达式为 ，由（）知， 当 时，， ． 把点 的坐标代入 得 ，解得 ， 当一次性销售不低于 千克时函数表达式为 ， 当 时，则 ，解得 ． 综上所述，当一次性销售 千克或 千克或 千克时利润为 元． 12. （1） 把 时，； 时， 代入 ， 得 解得       （2） ①设第 个生产周期获得的利润为 万元，由（）知， 当 时，， ，， 当 时， 取得最大值，最大值为 ， 工厂第 个生产周期获得的利润最大，最大利润是 万元． ②当 时，， ． ．则 与 的函数图象如图所示． 由图象可知，若有且只有 个生产周期的利润不小于 万元， 当 时 ， 当 时，． 的取值范围 ． 13. （1） ；       （2） 当 时，； 当 时，． ．       （3） 当 时，，此时当 时， 有最大值 ，即当 时，； 当 时，令 ，得 ，此时整数 可取 ，，，，，，． 销售额超过 元的共有 天 14. （1） ．       （2） 当销售单价定为每双 元时，每天的利润最大，最大利润为 元． 15. （1） ， 与 的函数关系式为 ．       （2） 要使当天销售利润不低于 元，则 ， 令 ． 解得 ，． ， 抛物线的开口向下， 当天销售单价所在的范围是 ．       （3） 每件文具利润不超过 ， ，解得 ， 文具的销售单价范围为 ． 由（）得 ， 对称轴为直线 ， 在对称轴的左侧，且 随着 的增大而增大． 当 时，取得最大值，此时 ， 即每件文具售价为 元时获得最大利润，最大利润为 元． 16. （1） 由图可知，当 时，； 当 时， 是关于 的一次函数，设 ， 则 解得 所以 ． 所以 关于 的函数解析式为 ．       （2） 设第 个生产周期工厂创造的利润为 万元， ①当 时，， 所以由一次函数的性质可知，当 时，（万元）； ②当 时，， 因为 ， 所以当 时，（万元）． 综上所述，工厂在第 个生产周期创造的利润最大，最大是 万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$