第二十八章 锐角三角函数 单元测试2024-2025学年人教版九年级数学下册

人教版九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 单元测试 一、选择题 1.正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，则它与x轴所夹锐角的正切值是(　　) A. B. C. D. 2.在中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（  ） A. B. C. D. 3.如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(　　) A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米 4.已知圆O的半径为3，AB、AC是圆O的两条弦，AB=3，AC=3， 则∠BAC的度数是（     ） A.75°或105° B.15°或105° C.15°或75° D.30°或90° 5.如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　） A. B. C. D. 6.在中，为最大角，下列说法正确的是（   ） A. B. C. D. 7.如图，，，，均为网格图中的格点，线段与相交于点， 则的正切值为(　　)                A. B. C. D. 8.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若CD∶AC＝2∶3，则sin∠BCD的值是(　　) A. B. C. D. 9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tanα＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是(　　) A.144 cm B.180 cm C.240 cm D.360 cm 10.如图所示，河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°，前进20米到达B处，又测得C的仰角为45°，则塔高CD(精确到0.1 m)是(　　) A.25.3 B.26.3 C.27.3 D.28.3 11.如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿南偏东方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为（　　）                     A. B. C. D. 12.如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为　　 A.5 B. C.3 D. 二、填空题 13.在中，，若，则                  ． 14.比较大小：     ． 15.计算：                  ． 16.一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α， 在B处测得塔顶的仰角为β， 又测量出A、B两点的距离为s米， 则塔高为________米． 如图，已知在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象在第二象限分支上的一点，过点A作轴于点B，以为斜边在左侧作等腰，连结交于点D，过C作的平行线交反比例函数图象于点E，且， 则的值是        ． 17.                     三、解答题 18.用计算器求下列各式的值（结果精确到0.001） （1）； （2）； （3）； （4）． 19.如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点，在河南岸选了相距100m的，两点．现测得，，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．                  20.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．               (1)将绕点O顺时针旋转90°后，得到．在网格中画出； (2)的正切值为______． 21.计算：cos2 45°-tan30°2sin60°＋tan260°. 22.为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD与通道BC平行)，通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1∶. (1)求通道斜面AB的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．(结果保留根号) 人教版九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，则它与x轴所夹锐角的正切值是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，过A作AB⊥x轴于B，∵A(3,2)，∴AB＝2，OB＝3，∵正比例函数y＝kx的图象经过点(3,2)，∴它与x轴所夹锐角的正切值是tan ∠AOB＝＝，故选A. 2.在中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵cosA=， ∴AB=AC·＝， 故选：B． 3.如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(　　) A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米 【答案】C 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝10米，∴DC＝BD＝5米，在Rt△ADC中，∠B＝36°，∴tan 36°＝，即AD＝BD·tan 36°＝5tan36°(米)．故选C. 4.已知圆O的半径为3，AB、AC是圆O的两条弦，AB=3，AC=3， 则∠BAC的度数是（     ） A.75°或105° B.15°或105° C.15°或75° D.30°或90° 【答案】B 【解析】解：分别作OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分别是D、E．    ∵OE⊥AB，OD⊥AB， ∴AE=AB=，AD=AC=， ∴， ∴∠AOE=45°，∠AOD=30°， ∴∠CAO=90°-30°=60°，∠BAO=90°-45°=45°， ∴∠BAC=45°+60°=105°， 同理可求，∠CAB′=60°-45°=15°． ∴∠BAC=15°或105°， 故选：B． 5.如果锐角的正切值为，那么下列结论中正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵，， 而， ∴， 故选：C． 6.在中，为最大角，下列说法正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：依题意，，如图所示， ，故A选项错误， ，故B选项正确， ，故C选项错误， ，故D选项错误， 故选：B． 7.如图，，，，均为网格图中的格点，线段与相交于点， 则的正切值为(　　)                A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：连接，，由题意得：，          ， 由题意得：，， ， ， 的正切值为：， 故选：A． 8.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若CD∶AC＝2∶3，则sin∠BCD的值是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】sinA＝＝，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠B＝90°，∠BCD＋∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sin∠BCD＝sinA＝＝，故选B. 9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tanα＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是(　　) A.144 cm B.180 cm C.240 cm D.360 cm 【答案】B 【解析】如图：根据题意可知：△AFO∽△ACD，OF＝EF＝30cm，∴，∴，∴CD＝72cm，∵tanα＝，∴＝，∴AD＝×72＝180 cm.故选B. 10.如图所示，河对岸有水塔CD.今在A处测得塔顶C的仰角为30°，前进20米到达B处，又测得C的仰角为45°，则塔高CD(精确到0.1 m)是(　　) A.25.3 B.26.3 C.27.3 D.28.3 【答案】C 【解析】如图，过D 作CD⊥AD于D，在Rt△CBD中，∵∠CBD＝45°，∴BD＝CD.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD.设CD＝x(米)，∵AB＝20，∴AD＝x＋20.∴x＋20＝x，∴x＝＝10(＋1)≈27.3.即铁塔CD的高为27.3米．故选C. 11.如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿南偏东方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为（　　）                     A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解：如图，由题意可知，，，，， ，， ，， ，， 过点作，垂足为点，        是等腰直角三角形， 设，则， 在中， ，即， 解得：， 在中， ，即，， 故选：． 12.如图，在中，平分，于点，，若，，则的值为　　 A.5 B. C.3 D. 【答案】B 【解析】如图，延长交于点．平分，于点，，．在和中，，．．，．，．．． 故选：B． 二、填空题 13.在中，，若，则                  ． 【答案】 【解析】解：如图：    ∵在中，，， 即， ∴设， ， ∴． 故答案为：． 14.比较大小：     ． 【答案】 < 【解析】 解：， ∵当角度是锐角时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ， ∴， ∴， 故答案为：<． 15.计算：                  ． 【答案】/ 【解析】解：， 故答案为：． 16.一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α， 在B处测得塔顶的仰角为β， 又测量出A、B两点的距离为s米， 则塔高为________米． 【答案】 【解析】在Rt△BCD中，∵tan ∠CBD＝，∴BD＝，在Rt△ACD中，∵tanα＝ ∴AD＝，∴＝s，解得CD＝. 如图，已知在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象在第二象限分支上的一点，过点A作轴于点B，以为斜边在左侧作等腰，连结交于点D，过C作的平行线交反比例函数图象于点E，且， 则的值是        ． 17.                     【答案】 【解析】解：过点C作交AB于点M，如图，                    ∴∠ 又 ∵∠， ∴△， ∴ ∵， ∴ 设 (，) ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵点E在上，且横坐标为， ∴ 过点E作轴，过点A作轴，与交于点N， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 18.用计算器求下列各式的值（结果精确到0.001） （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】 解：根据题意用计算器求出： （1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 19.如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点，在河南岸选了相距100m的，两点．现测得，，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．                  【答案】 解：过A作AD⊥BC于D，    在Rt△ADB中，∠B＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝AD•tan30°＝AD， 在Rt△ADC中，∠C＝45°， ∴CD＝AD，又BC＝100m， ∴BD+CD＝AD+AD＝100． 解得AD≈63.4m． 答：这段河的宽约为63.4米． 【解析】 20.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．               (1)将绕点O顺时针旋转90°后，得到．在网格中画出； (2)的正切值为______． 【答案】 （1）解：如图，线段绕点O顺时针旋转，点A至格点，线段绕点O顺时针旋转，点B至格点，线段绕点O顺时针旋转，点C至格点，顺次连 接得．    （2）． 故答案为：． 【解析】 21.计算：cos2 45°-tan30°2sin60°＋tan260°. 【答案】解　原式＝（）2-＋()2＝-＋3＝. 【解析】 22.为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD与通道BC平行)，通道水平宽度BC为8米，∠BCD＝135°，通道斜面CD 的长为6米，通道斜面AB的坡度i＝1∶. (1)求通道斜面AB的长为________米； (2)为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．(结果保留根号) 【答案】解　(1)过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，∵∠BCD＝135°，∴∠DCM＝45°.∵在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，CD＝6，∴DM＝CM＝CD＝3，∴AN＝DM＝3，∵通道斜面AB的坡度i＝1∶，∴tan ∠ABN＝＝，∴BN＝AN＝6，∴AB＝＝3.即通道斜面AB的长约为3米；故答案为3； (2)∵在Rt△MED中，∠EMD＝90°，∠DEM＝30°，DM＝3，∴EM＝DM＝3，∴EC＝EM－CM＝3－3，∴BE＝BC－EC＝8－(3－3)＝8＋3－3.即此时BE的长约为(8＋3－3)米． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$