22.1.1 二次函数 课件 2025—2026学年人教版数学九年级上册

22.1.1 二次函数 问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长 为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系式为 . y=6x2 问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y与x之间的关系怎样表示？ y=20(1+x)2 y=20x2+40x+20 观察以上问题中的函数关系式，它们是我们学过的一次函数吗？它们有什么共同特点？ y=6x2 y=20x2+40x+20 探究新知 共同点：它们都是用自变量的二次式表示的函数 形如y=kx+b(k,b 是常数，k≠0)的函数叫一次函数 一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数概念 问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个球队n要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同 一场比赛，所以比赛的场次数为 . (n－1) 解： 此式表示了比赛的场次数m与球队数n之间的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数. 8 问题3 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量 是 t，再经过一年后的产量是 t， 即两年后的产量y=________. 20(1+x) 20(1+x)2 20(1+x)2 答： y=20x2+40x+20； 此式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数. 问题1-3中函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示的 y=6x2 想一想 y=20x2+40x+20 概念： 一般地，形如𝑦=+ 𝑏𝑥+𝑐(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数 二次函数的一般式 ：ax 2 + bx + c = y（a≠0） 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 二次函数 新知探究 你发现二次函数一般式和我们学的哪个函数表达式很像吗？ 两者有什么区别吗？ 11 课堂检测 03 12 二次方程 二次项 二次项 系数 一次项 一次项 系数 常数项 (x+3)(x -1)=y 5-7x2=y 课堂练习 13 3.已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值． 4．如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式； (2)如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长为多少米？ 练习 作业布置 04 1．下列函数是二次函数的是( ) A．y＝2x＋1　　　　　　 　　B．y＝－2x＋1 C．y＝x²＋2 D．y＝0.5x－2 2．下列说法中，正确的是( ) A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数 B．在圆的面积公式S＝πr²中，S是r的二次函数 C．y＝(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在y＝1－2x²中，一次项系数为1 作业布置 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值. 归纳小结 二次函数的值 2．函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A. m, n 是常数,且m≠0 B. m, n 是常数,且n≠0 C. m, n 是常数,且m≠n D. m, n 为任何实数 1．把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 . 3．下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． -3x2 -16 12 C C 当堂练习 4. 已知函数 y=3x2m-1－5 ① 当m=＿＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿＿时，y是关于x的二次函数 . 1 当堂练习 3．正方形的边长为5 cm，若正方形的边长增加x cm时，其面积增加y cm2． （1）写出y与x的函数关系式； （2）当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加多少？ 解：（1）y＝(5＋x)2－52＝x2＋10x．　 （2）当x＝2时，y＝22＋10×2＝24； 当x＝3时，y＝32＋10×3＝39． 所以当正方形的边长分别增加2 cm，3 cm时，正方形的面积分别增加24 cm2，39 cm2．　 随 堂 练 习 4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； 解：（1）设篮球售价为x元，则销量减少了10(x－50)个． 根据题意，得 10(x－50)＜500，即x＜100． 所以y＝[500－10(x－50)](x－40)＝－10x2＋1 400x－40 000（50＜x＜100）．　 随 堂 练 习 4．某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．如果超市将篮球售价定为x元（x＞50），每月销售这种篮球获利y元． （2）超市计划下月销售这种篮球获利8 000元，又要吸引更多的顾客，则这种篮球的售价应定为多少元？ 解： （2）当y＝8 000时， 即－10x2＋1 400x－40 000＝8 000， 解方程，得x＝60或80． 结合题意要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．　 随 堂 练 习 $$