精品解析：安徽省宣城市2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题

宣城市2023—2024学年度第二学期期末调研测试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 设，向量，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（    ） A. 6寸 B. 4寸 C. 3寸 D. 2寸 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知均为正实数，若直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列叙述错误的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 在空间中，已知直线，满足，则 C 直线与圆相交 D. 抛物线焦点坐标为 10. 中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若为重心，则 C. 若点满足，则 D. 若，则点的轨迹一定通过的内心 11. 已知函数，若，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 中最大是 D. 中最小的是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若二项式的展开式的常数项为160，则实数__________. 13. 如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为_______． 14. 已知偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有四个零点，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知，设，求的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，平面，且，分别为棱的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角正弦值. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取50份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于30分的整数）分成七段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求出频率分布直方分图中的值，并估计这50份样本成绩的中位数； （2）在这50份样本答卷中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取11份，再从这11份中随机抽取3份，记为3份中成绩在的份数，求的分布列和数学期望. 18. 已知椭圆的离心率，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 19. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”. （1）判断点分别是函数的“几度点”，不需要说明理由； （2）证明：点是的“0度点”； （3）当实数满足什么条件时，点是函数“3度点”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宣城市2023—2024学年度第二学期期末调研测试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合A，再求交集即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出，故. 详解】， 故. 故选：C 3. 设，向量，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】和分布求出m范围，再用充分必要条件章节知识判断即可. 【详解】，则；，则. 则推不出，但是可以推出. 故是的必要必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，对已知进行弦化切，即可求出答案. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 故选：D 5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（    ） A. 6寸 B. 4寸 C. 3寸 D. 2寸 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案. 【详解】 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸， 因积水深9寸，所以水面半径为寸， 则盆中水的体积为立方寸， 所以平地降雨量等于寸. 故选：C. 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上存在一点，使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，用双曲线定义和勾股定理构造方程求解即可. 【详解】如图所示，为等腰直角三角形，且， 运用勾股定理，知道根据．由双曲线定义，知道， 即，解得，故离心率为：. 故选：C. 7. 在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，利用面积公式和余弦定理可得，再利用正弦定理求外接圆的半径和面积. 【详解】因为，且，即， 则，整理可得， 且，可得， 所以外接圆的半径，面积为. 故选：A. 8. 已知均为正实数，若直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，根据导数的几何意义可求出，即得，继而根据“1”的巧用，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于直线与曲线相切，设切点为， 而，故，解得， 故，均为正实数， 故， 当且仅当，结合，即得时等号成立， 故的最小值是10， 故选：C 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列叙述错误的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 在空间中，已知直线，满足，则 C. 直线与圆相交 D. 抛物线的焦点坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，举出反例；C选项，求出圆心到直线的距离，与半径比较后得到C正确；D选项，焦点坐标在轴上. 【详解】A选项，命题“”的否定是“”，A错误； B选项，在空间中，已知直线，满足，则，或异面，相交，B错误； C选项，圆的圆心为，半径为， 圆心到平面的距离， 故与圆相交，C正确； D选项，抛物线的焦点坐标为，D错误. 故选：ABD 10. 中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若为重心，则 C. 若点满足，则 D. 若，则点的轨迹一定通过的内心 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据可确定角为钝角，则一定为钝角三角形，可判定A； 根据向量的加法运算可确定B；根据向量的数量积以及向量模的运算可判断C; 根据单位向量、共线向量的概念可判断D． 【详解】选项A：若，则，因此角钝角，但一定为钝角三角形，故A正确； 选项B：若为的重心，设边的中点为， 则，故B正确；    选项C：如图所示，设的中点为，若点满足，则点为外心， 于是有．又， 则 ，故C错误； 选项D：因为分别表示方向上的单位向量， 所以的方向与的角平分线一致． 若，则的方向与的角平分线一致， 所以点的轨迹一定通过的内心，故D正确； 故选：ABD． 11. 已知函数，若，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 中最大的是 D. 中最小的是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间进行判断，对于CD，利用函数的单调性比较大小即可. 【详解】对于AB，的定义域为， 由，得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以， 所以当或时，， 所以在和上递减， 所以A正确，B错误， 对于CD，因为在上递增，且， 所以，所以 因为，所以， 因为在上递减， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以中最大的是，最小的是，所以CD正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是对函数正确求导，由导数的正负求出函数的单调区间，考查计算能力，属于较难题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若二项式的展开式的常数项为160，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，令其中的指数等于0，即可得出，再代入已知求参即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令，解得， 则展开式中常数项为，. 故答案为：1. 13. 如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分类计数原理以及排列数进行计算求解. 【详解】解：由题意得： 若只有2，4区域种的花相同，则有种种法； 若只有3，5区域种的花相同，则有种种法； 若2、4区域种的花相同，3，5种的花也相同，则有种种法，由分类加法计数原理知共有种不同的种法. 故答案为： 14. 已知偶函数满足，当时，，若在区间内，函数有四个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的周期，作出其图象，继而将原问题转化为函数，在内的图象有四个交点问题，列出需满足的不等式，求得答案. 【详解】由题意知偶函数满足，即， 故2为函数的周期； 结合当时，， 可作出时的的图象如图： 在区间内，函数有四个零点， 可转化为函数，在内的图象有四个交点问题， 结合图象可知需满足， 即实数的取值范围是， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知，设，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式求，可得解； （2）错位相减法求和. 【小问1详解】 设数列公差为， 则，解得：， 所以，； 【小问2详解】 由（1）知， ①， ②， ①—② ， 16. 如图，在四棱锥中，平面，且，分别为棱的中点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）方法一：结合（1）可知平面，即可说明即为直线与平面所成的角，解三角形，即可求得答案；方法二，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 平面平面，则， 由，则； 又平面， 平面平面， ， ，且为的中点， ， 平面， 平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 解法一：如图，连结，由（1）知平面， 所以，为直线在平面内的射影，且， 所以，即为直线与平面所成的角. 在直角梯形内，过作于，则四边形为矩形， ，在中，， 所以，， 而，在中，， 所以， 综上，直线与平面所成角的正弦值为. 解法二：在直角梯形内，过作于，则四边形矩形， ，在中，， 所以，， 以点为原点，分别为轴，建系如图， 则. 由（1）知，平面，平面法向量可取为， 设直线与平面所成角为，则， 综上，直线与平面所成角的正弦值为. 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取50份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于30分的整数）分成七段：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求出频率分布直方分图中的值，并估计这50份样本成绩的中位数； （2）在这50份样本答卷中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取11份，再从这11份中随机抽取3份，记为3份中成绩在的份数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）， （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1可得，即可利用中位数的计算公式求解， （2）利用超几何概率公式求解概率，即可得分布列，进而由期望公式求解. 【小问1详解】 由. 又. 所以，估计这50份样本成绩的中位数为：. 【小问2详解】 因为三组的频率之比为，所以从三组中抽取的份数分别为. 由题意可取， 且， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 18. 已知椭圆的离心率，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）把点代入方程得，结合离心率公式可得，可得椭圆方程. （2）应用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离，基本不等式即可求解. 【小问1详解】 椭圆过点，得①， ，，即②， 由①②联立解得，则椭圆方程为 【小问2详解】 当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形， 故直线的斜率存在，则设直线为：， 设， 联立，得， 则，即或， ， 则， 点到直线的距离为， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即，即时等号成立， 故面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”. （1）判断点分别是函数的“几度点”，不需要说明理由； （2）证明：点是的“0度点”； （3）当实数满足什么条件时，点是函数的“3度点”. 【答案】（1）分别是函数的1度点，2度点，0度点 （2）证明见解析 （3）满足或时，点是函数的3度点 【解析】 【分析】（1）根据函数的新定义分别判断即可； （2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕； （3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解. 【小问1详解】 分别是函数的1度点，2度点，0度点. 【小问2详解】 ，则曲线在点处的切线方程为. 要证点是的“0度点”，即证过恰能作的0条切线，即证关于的方程在无解. 设，则当时，在区间上单调递增. 当时，关于的方程在无解，即点是函数的一个0度点 【小问3详解】 ， 对任意，曲线在点处的切线方程为 点为函数的一个3度点当且仅当关于的方程 恰有三个不同的实数解，即恰有三个不同的实数解 设，则点为函数的一个3度点当且仅当恰有三个不同的零点. ①当时，在上单调递增，只有一个零点，不合要求； ②当时，， 令得或，令得在和单调递增，单调递减.在时取得极大值，在时取得极小值，由函数图像可知，要使有三个不同零点，则 ，即； ③当时，同理可得在和单调递增，在单调递减.在时取得极大值，在时取得极小值.由函数图像可知，要使有三个不同零点，则 ，即. 综上，实数满足或时，点是函数的3度点. 【点睛】方法点睛：可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$