5.1.1 任意角课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

“月有阴晴月缺” 匀速圆周运动 地球自转及公转 章前导入 第五章 三角函数 函数的应用 对数函数 三角函数 定义 运算性质 对数 角 定义 运算性质 定义 图象、性质 定义 图象、性质 函数的应用 类比研究 5.1.1 任意角 地球 太阳 课前导入 P A O α 问题1 圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图,⊙上的点以为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点的位置变化呢？ 新知探索 初中角的定义： 图2 ②角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形（如图2）. 图1 ①角是由平面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图1）； α α 高中角的定义： 新知探索 7 如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成了一个角α，其中点O，射线OA、OB分别叫什么名称？ 始 边 终 边 顶 点 图2 O A B α 角的定义： 8 应注意画图表示一个大小一定的角的步骤 度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小. 练习 用图形表示下列角：α＝210°，β＝－150°，γ＝－660°. 解：（1）画一条射线作为角的始边； （2）由角的正负确定角的旋转方向； （3）由角的绝对值大小确定角的旋转量， 画出角的终边； （4）用带箭头的螺旋线加以标注. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简单记为“α”。 任意角： β= -1500 γ= -6600 α=2100 O 9 相反角： 把射线OA绕着端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角（β= -α如图所示）。 O α β=-α 相等角： 设角α由射线OA绕着端点O旋转而成，角β由射线O/A/绕着端点O/旋转而成,如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β（如图所示）。 O O/ α β 两角和： 设α、β是任意两个角，规定：把α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β（如图所示）。 两角差： 减去一个角等于加上这个角的相反角， 若α、β是任意两个角，则α-β=α+（-β）。 O α β α+β 11 　　我们在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．例如，图 5.1-5 中的 30° 角、－120°角分别是第一象限角和第三象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． x y O 30° －120° 图 5.1-5 　　 你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？ ？ 象限角： 【思考】：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？ －32° －392° x y o 328° 终边相同的角 给定一个角就有唯一的一条终边 与之对应,但是,反过来,对于直角坐标系内任 意一条射线(例如OB),以它为终边的角是否唯一呢？ 如果不唯一,这些终边相同的角,他们之间有什 么关系呢？ B 不难发现，如果-320的终边是OB，那么3280，-3920，…角的终边都是OB，这些角都是终边相同的角，并且这些角都可以表示成-320的角与k个（k∈Z）周角的和。 3280=-320+（1）3600 -3920=-320+（-1）3600 于是，我们有下列重要结论。 设S={β|β=-320+k•3600,k∈Z}, 则3280，-3920角都是S的元素，-320角也是S的元素(此时k=0)， 因此与-320角终边相同的角，连同-320在内都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与-320角的终边相同。 13 －32° －392° x y o 328° 终边相同的角 B 所有与角α终边相同的角，连同 α在内，可构成一个集合： S={β|β =α +k•3600,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成α与整数个周角的和。 重要结论： 在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转3600后回到原来的位置，因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。 例1　在 0°～360° 范围内，找出与 －950°12′ 角终边相同的角，并判定它是第几象限角． 典例精讲 解：－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在 0°～360° 范围内，与 －950°12′ 角终边相同的角是 129°48′，它是第二象限角． 旋转方向 旋转量 推 广 终边相同角 化 归 0°到360°角 β =α +k•3600,k∈Z 解：在 0°～360° 范围内，终边在 y 轴上的角有两个，即 90°，270° 角（图 5.1-7）．因此，所有与 90° 角终边相同的角构成集合 　　S1＝{β | β＝90°＋k · 360°，k∈Z}， 而所有与 270° 角终边相同的角构成集合 　　S2＝{β | β＝270°＋k · 360°，k∈Z}， 于是，终边在 y 轴上的角的集合 S＝S1∪S2＝{β | β＝90°＋2k · 180°，k∈Z}∪{β | β＝90°＋180°＋2k · 180°，k∈Z} ＝{β | β＝90°＋2k · 180°，k∈Z}∪{β | β＝90°＋(2k＋1)180°，k∈Z} ＝{β | β＝90°＋n · 180°，n∈Z}． x y O 90° 图 5.1-7 270° 例2　写出终边在 y 轴上的角的集合． 典例精讲 解：如图 ，在直角坐标系中画出直线 y＝x，可以发现它与 x 轴的夹角是 45°，在 0°～360° 范围内，终边在直线 y＝x 上的角有两个：45°，225°．因此，终边在直线 y＝x 上的角的集合 S＝{β | β＝45°＋k · 360°，k∈Z}∪ {β | β＝225°＋k · 360°，k∈Z} ＝{β | β＝45°＋n · 180°，n∈Z}． 例3　写出终边在直线 y＝x 上的角的集合S，S 中满足不等式 －360°≤β＜720° 的元素 β 有哪些？ 　　S 中适合不等式－360°≤β＜720° 的元素 β 有 45°－2×180°＝－315°， 45°－1×180°＝－135°， 45°＋0×180°＝45°， 45°＋1×180°＝225°， 45°＋2×180°＝405°， 45°＋3×180°＝585°． 典例精讲 周而复始规律 质点圆周运动 提出研究内容 回顾角的定义 现实世界需要 任意角 简洁统一 刻画周而复始 象限角 轴线角 终边相同的角 观察、归纳 特殊到一般 旋转方向、旋转量 抽象模型 用数学眼光观察世界 用数学思维思考世界 用数学语言表达世界 小结 $$