5.1.1任意角 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.1.1 任意角 一、内容和内容解析 1.内容 任意角；象限角；终边相同的角． 2.内容解析 学生过去接触的角都在～范围之内，但在现实生活中有大量的关于角的例子都超出了这个范围，要想描述清楚这些角，就要从动态的角度重新定义角的概念．一是旋转方向，二是旋转量．旋转量的大小可以在角度制的基础上进行推广，而旋转方向需要利用我们已有的“通过符号代表方向”的经验加以解决． 引入象限角概念，使角放在一个统一的标准下进行讨论，可以使角的讨论得到简化． 终边相同的角是具有特殊关系的象限角，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征，用数量关系去表示就是“终边相同的角相差的整数倍”． 基于以上分析，确定本课时教学的重点：将到范围的角扩充到任意角． 二、目标和目标解析 1.目标 (1) 了解任意角以及象限角概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养． (2) 理解角的加减运算以及相反角的概念． (3) 掌握与角终边相同的角的表示方法． 2.目标解析 达成上述目标的标志是： (1)对于给定的一个任意角，能说出旋转方向及旋转量，并能在直角坐标系中作出该角，还能判断它是第几象限角． (2)对于两个角，会判断它们是否相等或为相反角，如果相加、减后，从数量上，知道结果是正角、负角或零角，从图形上，还能解释是通过怎样的旋转得到的． (3)知道终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍，体会数形结合思想及特殊到一般的归纳思想． 三、教学问题诊断分析 对角的概念的推广，就像数系的扩充与推广一样，每一次扩充都与学生以前的认知产生矛盾，打破学生认知的定势难度很大． 另外，学生对任意角的概念还不熟悉的基础上还要认识终边相同的角，从图形上看就是这些角的始边和终边都相同，如何定量的表示终边相同的角并以集合的形式表示出来是学生认知的困难所在． 结合以上分析确定本节课的教学难点：任意角概念的建构，用集合表示终边相同的角． 四、教学过程设计 (一) 章前导入 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时位置变化，物体做简谐运动时的位移变化等等。这些现象都可以用三角函数刻画。 前面我们学习了函数的一般概念，并研究了指数函数、对数函数等，知道了函数的研究内容、过程和方法，以及如何用某类函数刻画相应现实问题的变化规律。本章我们将利用这些经验，学习刻画周期性变化规律的三角函数。 师生活动：第四章我们学习了指数函数和对数函数，三角函数和指数函数、对数函数同作为基本初等函数，它们的研究路径是基本一致的，一起来回顾一下我们是如何对对数函数展开研究的？ 对数函数的研究路径：对数的定义—对数的运算性质—对数函数定义—对数函数的图象与性质—应用。 师生活动：借鉴对数函数的研究路径，我们来思考梳理一下应该如何开展三角函数的研究？ 三角函数的研究路径：角的定义—角的运算性质—三角函数定义—三角函数的图象与性质—应用。 设计意图：引导学生回顾对数函数的研究路径，自主思考梳理三角函数的研究路径，加强学生的类比学习思维，巩固基本初等函数的研究方法和路径。 师生活动：本节我们将先对角展开学习，即本节课题5.1.1任意角。 (二)课前导入 圆周运动是一种常见的周期性变化现象．地球公转就是近似圆周运动，由地球公转为具体实例，对其进行抽象建模，进行本节课的学习研究。 (三)新知探究 师生活动：圆周运动是一种常见的周期性变化现象．如图，上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？ ( P ) ( O A P ) ( O ) ( A ) 师生活动：连接OA，OP，得到角我们发现当点P的位置发生变化时，角也随之变化，反之亦如此，所以可以借助角的大小变化刻画点P的位置变化。 在初中我们就学过关于角的定义，两条有公共端点的射线组成的图形称之为角，这是对于角的静态定义，但角是射线OP由起点位置绕点O旋转得到的，是动态生成的。因此，我们对角重新进行动态定义，角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 设计意图：由具体的实例模型引导学生发现问题和冲突，顺势提出角的新定义。 1.任意角 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角．（高中阶段角的定义） 师生活动：利用GGB展示～的角，此时射线OP正好绕端点旋转一周回到起始位置，正如地球公转一周，但地球公转没有停止还在继续，射线OP要继续旋转，这就意味着我们需要对角的范围进行推广，由～推广到≥ 教具展示OP顺时针转动30°和逆时针转动30°，点P的位置是不一样的，也意味着需要对顺时针转动的角和逆时针转动的角进行区分。 ( O A 正角 负角 )我们规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．（同理持续顺时针转动便将角推广到≤，至此我们就把角由～推广到了任意角）. 说明：决定一个角的要素是旋转方向和旋转量． 记作：角或，在不会混淆的情况下可以简记为． 设计意图：使用信息技术和教具直观展示，引导学生清楚的认识和理解为什么角需要从旋转量和旋转方向两个方面进行确定，自然的将角由～推广到了任意角。 ( O A )练习1：你能分别作出，，吗？ 解：（1）画一条射线作为角的始边； （2） 由角的正负确定旋转方向； （3） 由角的绝对值大小确定教的旋 转量，画出角的终边； （4） 用带箭头的螺旋线加以标注. 2.相反角和相等角 师生活动：接下来我们来学习两个小概念：相反角和相等角，相反角与之前所学的相反数在名称上非常相似，我们一起回顾一下相反数的定义及特点。 相反数在数轴上体现为与原点距离相等，方向相反的数，需要强调距离和方向两个要素，这与角需要强调旋转量和旋转方向是一致的，于是我们这样定义相反角． 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．与实数的相反数是一样，角的相反角记为． ( O A ) ( O A ) 师生活动：类似的，两个相等的数在数轴上体现为与远点距离相等，方向相同的数，于是我们这样定义相等角。 设角由射线OA绕端点O旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． ( O A ) 设计意图：引导学生由相反数的定义及其几何意义发现相反数与相反角的高度相似，从而类比相反数得出相反角的定义。在已知知识往未知知识拓展的过程中，给学生提供了合适的脚手架，契合学生的就近发展区，符合学生习得知识的发展规律，同时锻炼学生的自主学习能力，培养学生的类比推理能力。 3.角的加法运算和减法运算 师生活动：角的相关概念已学习完毕，接下来我们一起研究角的加减运算，同样的我们类比实数的加减运算进行角的加减运算研究。实数的加法运算在数轴上是如何体现的呢？我们一起将2+3和2+（-3）的运算过程在数轴上展示出来。 设计意图：引导学生继续进行类比推理，类比在数轴上的实数加法运算，自主得出角的加法运算及作图表示，同时理解与实数一样，角的减法运算也是加法的逆运算，减去一个角等于加上这个角的相反角。 ( O A B C )设，是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． 例如，作图表示： 我们把射线OA绕端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，得到的角，再把射线OB绕端点O按逆时针方向旋转到终止位置OC，得到的角，那么以OA为始边，以OC为终边的角即为． ( O A B C )类似实数减法中“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减去一个角等于加上这个角的相反角．即． 例如，作图表示： 根据角的减法的定义，相当于． 也就是说我们先把射线OA绕端点O按逆时针方向旋转 到终止位置OB，得到的角，再把射线OB绕端点O按顺时针方向旋转到终止位置OC，得到的角，那么以OA为始边，以OC为终边的角即为． 4.象限角 ( x y O )师生活动：我们通常在直角坐标系内讨论角．在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置如何规定比较方便呢？ ( B ) ( A ) 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合． 师生活动：根据终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？（以教具直观展示，辅助学生进行角的分类，增加记忆点） 根据角的终边所在象限，将角分为第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角． 这样我们得到了象限角的概念：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．若角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 师生活动：在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？ 在直角坐标系内讨论角可以做到简洁统一，也可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．（以教具直观展示，辅助学生进行角的分类，增加记忆点） 设计意图：让学生体会在直角坐标系内研究角是自然和合理的，教具的展示给学生以转圈及周而复始的直观印象，不断为“周而复始”做好铺垫和强化． 5.终边相同的角 ( x y O B ) ( x y O B x y O B )练习2：，是第几象限角？这些角有什么内在联系？ 我们发现，都是第四象限角，而且终边相同．也就是说，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角不唯一． 师生活动：还有没有与角终边相同的角？它们与角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？ 有，且与角终边相同的角有无数个． ，，… 可以用表示． 师生活动：将推广到一般角，结论是什么？ ． 设计意图：通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论，符合学生由特殊到一般的认知规律，并且培养了学生的数学抽象素养． 一般地，我们有： 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ， 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． (四) 典例精讲 例1 在～范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角． 解：方法一：， 所以在～范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角． 方法二：与角终边相同的角可以写成， 当时，，它是第二象限角． 例2 写出终边在y轴上的角的集合． 分析：这些角终边落在几条射线上？终边落在每条射线上的角如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？ ( x y O ) 解：终边落在y轴非负半轴上的角构成集合 ， 终边落在y轴非正半轴上的角构成集合 ， 观察发现，中的角均相差的整数倍，用集合表示是 ． 另外，我们还可以用这种方式求出： ． 例3 写出终边在直线上的角的集合．中满足不等式的元素有哪些？ 分析：在求出角之前，你能判断满足条件的角有几个吗？判断的根据是什么？ 师生活动：6个．所求角的范围包含了三周，每周都有两个符合条件的角． 解：在～范围内，终边在直线上的角有两个：，． ( x y O ) 因此，终边在直线上的角的集合 ． 中适合不等式的元素有 ，，， ，，． (五) 小结与作业 课时小结： 作业：教材课后习题及教辅练习 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$