精品解析：重庆市铜梁区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

重庆市铜梁区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，将各选项逐个化简，再判断即可． 【详解】因为，所以A不符合题意； 因为不能化简，是最简二次根式，所以B符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D不符合题意． 故选：B． 2. 下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，2，1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，需逐一验证各选项是否符合条件，并排除无法构成三角形的选项 【详解】解： A：，而 ，不满足条件； B： 因为，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），无法构成三角形； C： ，不满足条件； D： ，满足条件； 故选D 3. 一组数据2，5，4的中位数是（ ） A. 2 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的计算，熟练掌握将数据排序后，根据个数奇偶确定中位数（奇数个时取中间位置数 ）是解题的关键．先将数据按从小到大（或从大到小）顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数，若数据个数为奇数，中位数就是中间位置的数 ． 【详解】解：将数据，，按从小到大排列排序后为，，，数据个数是奇数，中间位置是第个， 中位数是． 故选： ． 4. 下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法对每个选项一一判断即可． 【详解】若一个四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形，故A选项可以判定； 若一个四边形两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形，故B选项可以判定； 若一个四边形对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形，故C选项可以判定； 若一个四边形一组对边平行，另一组对边相等，那么这个四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故D选项不能判定． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟记平行四边形的判定方法是解题关键． 5. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据列得等式，熟练掌握勾股定理是解题的关键 【详解】解：设，则， ∵， ∴ ∴， 故选：B 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算、无理数的估算，先根据二次根式的运算法则得到，再估算出的范围即可求解． 【详解】解：， ∵，即， ∴，即， 故选：B． 7. 如图，已知正方形的边长为3，点E，F，G，H分别为正方形各边上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先求得，，推出，求得，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为3，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象经过一、三、四象限 C. 当时， D. 若点均在该函数图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与坐标轴交点求法、图象经过象限规律及函数增减性是解题的关键．依据一次函数的性质（与坐标轴交点求法、图象经过象限规律、函数增减性等 ），对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项A：求与轴交点，令，则， 解得， 交点坐标为，A错误． 选项B：一次函数中，，， 当且时，图象过一、二、三象限 ， B错误． 选项C：当时，， 又 一次函数，随增大而增大，当时， ，C正确． 选项D：把代入得，把代入得， ，即 ， D错误． 故选： ． 9. 如图，在矩形中，点是的中点，交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．延长，交的延长线于点，根据矩形的性质可得，，可证，根据全等三角形的性质可得，可知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵为边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，互不相等，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有2个； ②满足条件的整式中，有7个是二次三项式； ③当时，的值为，则的最小值为； 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了整式的相关概念，包括二次三项式的定义，以及通过代入求值和等式变形来求解问题，解题的关键在于准确找出满足条件的系列组合．根据已知条件确定，，的取值组合，进而对关于整式M的四种说法逐一进行分析判断，即可求得答案． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵为自然数，互不相等， ∴，或，， ∴满足条件的整式共有2个．故①正确； ②∵为自然数，为正整数，互不相等，且． ∴或，，， ，，，，，，，，，， ∴都为非零的有6组， ∴满足条件的整式中，有6个是二次三项式．故②错误； ③当时，， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数，为自然数， ∴当，时，y有最小值，为．故③正确． 综上，①和③正确，共2个． 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式有意义的条件，得到不等式，解出不等式即可. 【详解】要使有意义，则需要，解出得到. 【点睛】本题考查根式有意义的条件，能够得到不等式是解题关键. 12. 甲、乙两名同学在5次数学测验中，平均成绩均为121分，这两名同学成绩的方差分别是，甲、乙两人的成绩更稳定的是____________．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查方差的意义，掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小成为解题的关键．根据方差的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴乙的成绩更稳定． 故答案为：乙． 13. 如图，数轴上点表示的数为3，过点作于点，且，以原点为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴与实数，勾股定理，准确识图，熟练掌握相关内容是解题的关键； 先根据勾股定理求出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 所以点A表示的实数是． 故答案为：． 14. 如图，直线与直线的交点的纵坐标为2，则关于的不等式的解集为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小． 结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵两条直线相交于点， ∴当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得到，，由得到，则有，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 若关于的一次函数的图象不经过第二象限，则所有满足条件的整数的值之和为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式组，对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限． 根据图象不经过第二象限得到，据此得到不等式组，再求不等式组的整数解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴整数为或0或1或2或3或4或5或6， ∴整数的值之和为：， 故答案为：． 17. 如图，在中，平分是的中点，，则的长度为_________________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线，三角形中位线的判定与性质，首先延长、交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得的长，又根据点D是的中点，可证是的中位线，根据中位线的性质可得的长度． 【详解】解：如下图所示，延长、交于点F， 平分， ， ， ， 在和中，， ， ，， 又， ， 点D是的中点， 是的中位线， ． 故答案为：2． 18. 对于任意一个四位正整数，若的各位数字都不为0且均不相等，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“相异数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为，所以．（1）的值为_______________；（2）若“相异数”的千位上的数字是7，百位上的数字是8，且能被15整除，则的最大值是_______________． 【答案】 ①. 207 ②. 7863 【解析】 【分析】本题主要考查了用代数式表示数，二元一次方程的解，弄清题意是解题的关键； 对于（1），根据定义解答即可； 对于（2），先表示这两个四位数，进而得出，再根据能被15整除讨论，然后比较得出答案． 【详解】解：（1）； （2）设的十位上的数字是，个位上的数字是， “相异数”的千位上的数字是7，百位上的数字是8， ， 能被15整除，， 设 ∴， 或30或45或60 ①当时，当时，，此时（舍）； 当时，，此时； ②当时，当时，，此时； 当时，，此时； ③当时，当时，，此时； ④当时，当时，，此时（舍）． ， 的最大值为7863． 故答案为：207，7863． 三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分．）解答时，每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合运算， 对于（1），根据，再计算； 对于（2），根据平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 某校八年级学生小明和同学学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降9米（的长度不变），则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）他应该往回收线7米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出，再利用线段的和差即可求出； （2）设风筝下降到点，连接，在中利用勾股定理求出，再计算即可解答． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， （米）， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． 【小问2详解】 解：设风筝下降到点，连接，如图， 由题意得，米， （米）， 在中，由勾股定理得， （米）， （米）， 答：他应该往回收线7米． 21. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点 作对角线的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）已知：如图，在平行四边形中，连接，于点E，于点F．求证：且． 证明： ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 【答案】（1） 如图： （2）①；②；③；④；⑤平行且相等 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线作图即可； （2）利用平行四边形的性质证明，得到，利用垂线的定义，再根据平行线的性质得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解： 以点为圆心，任意长度半径画弧，与相交于两点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，使两弧在的另一侧相交，最后用直尺连接点与两弧的交点，得到． 【小问2详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①（两直线平行，内错角相等）． ∵ ∴②（垂线的性质）． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③（全等三角形的性质）． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④（角的等量代换）． ∴． ∴在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤平行且相等． 22. 为庆祝中国共产主义青年团成立103周年，某校团委在七、八两个年级同学开展了团知识竞赛，现从两个年级分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行了收集、整理、描述、分析对竞赛成绩（成绩得分用x表示，数据分成5组：，，，，其中85分及以上为优秀）下面给出了部分信息： ①七年级抽取学生成绩的频数分布直方图 ②七年级学生在这一组的成绩数据：83，85，85，85，85，86，87，89 ③八年级20名学生成绩为：55，55，63，84，84，84，85，89，86，90，90，95，95，97，97，98，98，99，100，100． ④七、八年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 七年级 87 85 a 八年级 87 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______________，______________，______________； （2）你认为哪个年级的学生对团知识的掌握较好？请说明理由． （3）该校七年级共有1000名学生，八年级共有1200名学生，全部参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加知识竞赛成绩优秀的学生人数一共有多少？ 【答案】（1）85，65，84 （2） 解：八年级学生对团知识掌握较好， 八年级的中位数90大于七年级的中位数85， 八年级学生对团知识掌握较好； （3）估计七、八年级参加知识竞赛成绩优秀的学生人数一共有1490人 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，求中位数，众数； （1）根据中位数、众数的意义，分别求出七年级的中位数和八年级的众数，用85分及以上人数除以七年级总人数可得的值； （2）比较两个年级的平均数、中位数和众数即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：∵的人数为人， 七年级的优秀率， ∴按照从小到大排列，七年级学生成绩中位数应为第10和第11名成绩的平均数，而第10和第11名落在一组的成绩数据，故； 八年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是84，共出现3次，因此众数是84，即， 故答案为：85，65，84； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级：（人） 八年级：（人）， （人） 答：估计七、八年级参加知识竞赛成绩优秀的学生人数一共有1490人． 23. 2025年6月14日是“文化和自然遗产日”．今年活动主题为“让文物焕发新活力 绽放新光彩”，宣传口号是“守护文化遗产 建设文化强国”．某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进种纪念品16件，种纪念品8件，需要1760元；若购进种纪念品9件，种纪念品3件，需要750元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若每件种纪念品的售价为60元，每件种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进种纪念品的数量不多于种纪念品的数量的7倍，设购进种纪念品件，总利润为元，请写出总利润（元）与（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案． 【答案】（1）购进A种纪念品每件需30元，购进B种纪念品每件需160元 （2），利润最高时的进货方案为：A种262件，B种38件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际运用，一元一次不等式的实际运用，以及一次函数应用，解题的关键在于根据题意找出关系式． （1）设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元，根据“购进种纪念品16件，种纪念品8件，需要1760元；若购进种纪念品9件，种纪念品3件，需要750元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）先根据题意建立不等式得出的取值范围，再找出总利润关于购买种纪念品件的函数关系式，由一次函数的性质确定总利润取最值时的值，从而得出结论． 【小问1详解】 解：设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件需y元， 由题意，得： 解得：． 答：购进A种纪念品每件需30元，购进B种纪念品每件需160元． 【小问2详解】 解：由题意，得：， 解得：， ； ， 随着的增大而减小， ，是整数， 当时，最大，此时， 利润最高时的进货方案为：A种262件，B种38件． 24. 在矩形中，，点是边的中点．动点以每秒1个单位的速度从出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式； （2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）在图中已经画出了直线的图象，结合两函数图象，直接写出时自变量的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1） （2） 画图如图： 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，求一次函数的解析式，画动点问题的函数图象，能运用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）画出函数图象，结合函数图象写出函数y的一条性质即可； （3）结合函数图象，写出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，， ， 点E是边的中点． ， 当点M在上时，此时， 可得，则， ； 当点M在上时，此时， 可得， ， 综上，； 【小问2详解】 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 【小问3详解】 由图像，可知 当时，或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为6． （1）求点C的坐标及直线的表达式： （2）若M为线段BC上一点，且的面积等于的面积，若D、E为y轴上的两个动点（点D在点E的上方），且，求点M的坐标及的最小值； （3）在（2）的条件下，点G为直线上一动点，在x轴上是否存在点H，使以点H、G、B、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的判定和性质，轴对称求最短距离，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据直线解析式求出点的坐标，利用面积求出线段的长度，确定点的坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可； （2）假设，根据面积求出点的坐标，构造平行四边形，利用轴对称求出最短距离和即可； （3）求出直线的解析式，分三种情况进行讨论，根据平行四边形的判定定理求点的坐标即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵点在x轴正半轴， ∴， 假设直线的表达式为， 将和代入解析式得， 解得 ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：假设， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图，作轴，且， 此时， ∴四边形为平行四边形， ∴， 当点共线时，值最小， 由勾股定理得， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或，理由如下： 设直线的解析式为， 将和代入解析式得， 解得 ∴直线的解析式为， 则点， ①当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴， 即； ②当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴， ∴； ③当为平行四边形的对角线时， 结合①得， 即； 综上，点的坐标为或或． 26. 已知菱形． （1）如图1，当时，过点作于点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段、的长度； （2）如图2，当时，过点作于点，连接，过点作，连接MC，且，连接，请探索线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，当时，连接，点是对角线上的一个动点，若，求的最小值． 【答案】（1） ， （2） 解：． 法1：（截长法）证明：如图2，在上截取，连接， 四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， ，即 ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 法2：（补短法）证明：如图2，延长至点G，使，连接， 四边形是菱形， ，， 又， ， 又， ， 又，， ， ，， 又， ， ， ， 又，， ， ， ，， ； （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，含的直角三角形的性质可求出，在中，根据勾股定理可求出，在中，根据勾股定理可求出，然后根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可； （2）法1：（截长法）在上截取，连接，证明，再证即可； 法2：（补短法）延长至点G，使，连接，证明，再证即可 （3）过点C在直线的上方作，分别过点D、Q作于点H， 于点G，交于点，连接，则，根据对称性得出，则可求，故当与重合时，的值最小，最小值为，根据菱形的性质，轴对称的性质等可求出，然后根据等腰直角三角形的性质求出，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ，． ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ， 点是线段的中点， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的最小值为 理由：如图3，过点C在直线的上方作，分别过点D、Q作于点H，于点G，交于点，连接，则， 关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小， 当点与重合时，． 当点与不重合时，． 四边形是菱形，， ， 又， ， ， ， 即的最小值是． 的最小值是． 【点睛】本题是菱形综合题，考查的是轴对称-最短路径问题、点到直线的距离-垂线段最短，菱形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，掌握轴对称-最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市铜梁区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，2，1 C. D. 3. 一组数据2，5，4的中位数是（ ） A. 2 B. 4 C. 4.5 D. 5 4. 下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行，另一组对边相等 5. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正方形的边长为3，点E，F，G，H分别为正方形各边上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 图象经过一、三、四象限 C. 当时， D. 若点均在该函数图象上，则 9. 如图，在矩形中，点是的中点，交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，互不相等，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有2个； ②满足条件的整式中，有7个是二次三项式； ③当时，的值为，则的最小值为； 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________________. 12. 甲、乙两名同学在5次数学测验中，平均成绩均为121分，这两名同学成绩的方差分别是，甲、乙两人的成绩更稳定的是____________．（填“甲”或“乙”） 13. 如图，数轴上点表示的数为3，过点作于点，且，以原点为圆心，为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是____________． 14. 如图，直线与直线的交点的纵坐标为2，则关于的不等式的解集为__________________． 15. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的长为_________________． 16. 若关于的一次函数的图象不经过第二象限，则所有满足条件的整数的值之和为_________________． 17. 如图，在中，平分是的中点，，则的长度为_________________． 18. 对于任意一个四位正整数，若的各位数字都不为0且均不相等，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“相异数”，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234、134、124、123，这四个三位数之和为，所以．（1）的值为_______________；（2）若“相异数”的千位上的数字是7，百位上的数字是8，且能被15整除，则的最大值是_______________． 三、解答题（本大题共8个小题，19题8分，其余每小题10分，共78分．）解答时，每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 某校八年级学生小明和同学学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降9米（的长度不变），则他应该往回收线多少米？ 21. 在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点 作对角线的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） （2）已知：如图，在平行四边形中，连接，于点E，于点F．求证：且． 证明： ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 22. 为庆祝中国共产主义青年团成立103周年，某校团委在七、八两个年级同学开展了团知识竞赛，现从两个年级分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行了收集、整理、描述、分析对竞赛成绩（成绩得分用x表示，数据分成5组：，，，，其中85分及以上为优秀）下面给出了部分信息： ①七年级抽取学生成绩的频数分布直方图 ②七年级学生在这一组的成绩数据：83，85，85，85，85，86，87，89 ③八年级20名学生成绩为：55，55，63，84，84，84，85，89，86，90，90，95，95，97，97，98，98，99，100，100． ④七、八年级学生成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如下： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 七年级 87 85 a 八年级 87 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______________，______________，______________； （2）你认为哪个年级的学生对团知识的掌握较好？请说明理由． （3）该校七年级共有1000名学生，八年级共有1200名学生，全部参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加知识竞赛成绩优秀的学生人数一共有多少？ 23. 2025年6月14日是“文化和自然遗产日”．今年活动主题为“让文物焕发新活力 绽放新光彩”，宣传口号是“守护文化遗产 建设文化强国”．某商店为了抓住此次活动的商机，决定购买一些纪念品进行销售，若购进种纪念品16件，种纪念品8件，需要1760元；若购进种纪念品9件，种纪念品3件，需要750元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若每件种纪念品的售价为60元，每件种纪念品的售价为180元．考虑到市场需求，商店决定购进这两种纪念品共300件，要求购进种纪念品的数量不多于种纪念品的数量的7倍，设购进种纪念品件，总利润为元，请写出总利润（元）与（件）的函数关系式，并根据函数关系式说明利润最高时的进货方案． 24. 在矩形中，，点是边的中点．动点以每秒1个单位的速度从出发，按的顺序在边上运动．设运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式； （2）在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）在图中已经画出了直线的图象，结合两函数图象，直接写出时自变量的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过） 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为6． （1）求点C的坐标及直线的表达式： （2）若M为线段BC上一点，且的面积等于的面积，若D、E为y轴上的两个动点（点D在点E的上方），且，求点M的坐标及的最小值； （3）在（2）的条件下，点G为直线上一动点，在x轴上是否存在点H，使以点H、G、B、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知菱形． （1）如图1，当时，过点作于点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段、的长度； （2）如图2，当时，过点作于点，连接，过点作，连接MC，且，连接，请探索线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，当时，连接，点是对角线上的一个动点，若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $