第二十七章相似三角形单元过关测试卷 2024-2025学年人教版九年级下册

人教版九年级下学期相似三角形单元过关测试卷与参考答案 一、选择题（每小题5分，共25分） 1．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（　　） A． B． C．△ADE∽△ABC D．S△ADE：S△ABC=1：2 2．在△∽△中，有下列条件：①.；②. ；③.;④..如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△∽△共有（ ） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 3．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （第1题） （第3题） （第4题 ） （第5题 ） 4．在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　） A． B． C． D． 5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（　　） A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5 二、填空题（每小题5分，共15分） 6．两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm，25cm，它们的周长差为12cm，则这两个三角形的周长分别是________． 7.如图，一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从点A到点B经过的路径长为　 　． ( 第 8 题图 第 7 题图 ) 8. 如图，在已建立直角坐标系中，Rt△的顶点与原点重合，顶点在轴上，,与反比例函数的图象交于点,且,过点作轴的垂线交轴于点. 若四边形，则的值为　 　． 三、解答题(共60分 第9、10题各10分，第11题12分，第12题13分，第13题15分) 9.如图，已知,且∥,点在同一直线上. 求证：△∽△; 10 .如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F． 若AB=5，AD=8，BE=2，求FC的长． 11．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，试判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由 12．如图，△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE． （1）求证：AD∥BC； （2）过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF=4，求BC的长． 13．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G． （1）求证：△BDG∽△DEG； （2）若EG•BG=4，求BE的长． 单元测试卷与参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．B 4．D 5．C 二、填空题 6．48cm和60cm 7．5 8．16 三、解答题 9.证明： ∵ BD∥AC,点B,A,E在同一条直线上， ∴ ∠DBA=∠CAE, 又∵. ∴. ∴. 10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC. ∴∠B=∠ECF，∠DAE=∠AEB. 又∵∠DAE=∠F，∴∠AEB=∠F.∴△ABE∽△ECF． ∵△ABE∽△ECF，∴. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8.∴EC=BCBE=82=6.∴.∴. 11．解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵∠ADE=∠ECF=90°， ∴△ADE∽△ECF，且相似比为2，∴AE=2EF，AD=2DE，又∵∠ADE=∠AEF，∴△ADE∽△AEF， ∴∠1=∠2． 12．（1）证明：∵AD平分∠CAE，∴∠DAG=∠CAG，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB， ∵∠CAG=∠B+∠ACB，∴∠B=∠CAG，∴∠B=∠CAG，∴AD∥BC； （2）解：∵CG⊥AD，∴∠AFC=∠AFG=90°， 在△AFC和△AFG中， ， ∴△AFC≌△AFG（ASA），∴CF=GF，∵AD∥BC，∴△AGF∽△BGC，∴GF：GC=AF：BC=1：2， ∴BC=2AF=2×4=8． 13．（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，∴∠FDC=∠EBC， ∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC，∴∠FDC=∠EBD，∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG． （2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC， ∴∠BEC=67.5°=∠DEG，∴∠DGE=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG⊥DF， ∵∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠BDF=∠F，∴BD=BF，∴DF=2DG， ∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，∴，∴BG×EG=DG×DG=4， ∴DG2=4， ∴DG=2， ∴BE=DF=2DG=4 人教版九年级下册数学《第27章 相似》单元测试卷（解析版） 一．选择题（共10小题） 1．若a：b＝3：2，且b2＝ac，则b：c＝（　　） A．4：3 B．3：2 C．2：3 D．3：4 2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C．a＝2，b＝，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 3．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（　　） A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝BC D．BC＝AC 4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝3：2，则AE：AC等于（　　） A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5 5．将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 6．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（　　） A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81 7．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（　　） A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27 8．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，已知∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（　　） A． B． C． D．1 cm 二．填空题（共5小题） 11．若，则＝　 　． 12．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是　 　km． 13．若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为　 　cm（结果保留根号）． 14．已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝　 　． 15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　 　倍． 三．解答题（共4小题） 16．已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝10，求a，b，c的值． 17．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题： （1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图； （2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）； （3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）． 18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E， （1）试说明点E为线段AB的黄金分割点； （2）若AB＝4，求BC的长． 19．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5．求BC、BE的长． 2019年人教版九年级下册数学《第27章 相似》单元测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．若a：b＝3：2，且b2＝ac，则b：c＝（　　） A．4：3 B．3：2 C．2：3 D．3：4 【分析】根据比例的基本性质，a：b＝3：2，b2＝ac，则b：c可求． 【解答】解：∵b2＝ac， ∴b：a＝c：b， ∵a：b＝3：2， ∴b：c＝a：b＝3：2． 故选：B． 【点评】利用比例的基本性质，对比例式和等积式进行互相转换即可得出结果． 2．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．a＝，b＝3，c＝2，d＝ B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 C．a＝2，b＝，c＝2，d＝ D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝1 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解答】解：A.×3≠2×，故本选项错误； B.4×10≠5×6，故本选项错误； C.2×＝×2，故本选项正确； D.4×1≠3×2，故本选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念和变形是解题的关键，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 3．已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（　　） A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝BC D．BC＝AC 【分析】根据黄金分割的定义得出＝，从而判断各选项． 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC， ∴＝，即AC2＝BC•AB，故A、B错误； ∴AC＝AB，故C错误； BC＝AC，故D正确； 故选：D． 【点评】本题主要考查黄金分割，掌握黄金分割的定义和性质是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB＝3：2，则AE：AC等于（　　） A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5 【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系． 【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB＝3：2， ∴AE：EC＝3：2， ∴AE：AC＝3：5． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据已知得出AE与EC的关系是解题关键． 5．将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的新的三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 【分析】因为直角三角形三边扩大同样的倍数，而角的度数不会变，所以得到的新的三角形是直角三角形． 【解答】解：因为角的度数和它的两边的长短无关，所以得到的新三角形应该是直角三角形，故选B． 【点评】主要考查“角的度数和它的两边的长短无关”的知识点． 6．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（　　） A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81 【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【解答】解：∵两个相似多边形面积的比为4：9， ∴两个相似多边形周长的比等于2：3， ∴这两个相似多边形周长的比是2：3． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 7．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（　　） A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴其面积之比是4：9， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8．如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定，易得出△ABC的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【解答】解：∵小正方形的边长为1， ∴在△ABC中，EG＝，FG＝2，EF＝， A中，一边＝3，一边＝，一边＝，三边与△ABC中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A错误； B中，一边＝1，一边＝，一边＝， 有，即三边与△ABC中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B正确； C中，一边＝1，一边＝，一边＝2，三边与△ABC中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C错误； D中，一边＝2，一边＝，一边＝，三边与△ABC中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法． 9．如图，在△ABC中，已知∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先证明△AED∽△ACB，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案． 【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠B， ∴△AED∽△ACB， ∴＝． 故选：A． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角形的性质． 10．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是（　　） A． B． C． D．1 cm 【分析】据小孔成像原理可知△AOB∽△COD，利用它们的对应边成比例就可以求出CD之长． 【解答】解：如图过O作直线OE⊥AB，交CD于F， 依题意AB∥CD ∴OF⊥CD ∴OE＝12，OF＝2 而AB∥CD可以得△AOB∽△COD ∵OE，OF分别是它们的高 ∴， ∵AB＝6， ∴CD＝1， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例． 二．填空题（共5小题） 11．若，则＝　　． 【分析】根据合比定理[如果a：b＝c：d，那么（a+b）：b＝（c+d）：d （b、d≠0）]解答即可． 【解答】解：∵， ∴， 即＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了合比定理：在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理． 12．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是　58　km． 【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离． 【解答】解：根据题意，5.8÷＝5800000厘米＝58千米． 即实际距离是58千米． 故答案为：58． 【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 13．若线段AB＝6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为　3（﹣1）　cm（结果保留根号）． 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 【解答】解：根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC＝AB＝3（﹣1）． 故本题答案为：3（﹣1）． 【点评】此题考查了黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值． 14．已知：AM：MD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝　8：5　． 【分析】过点D作DF∥BE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论． 【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于F， ∵DF∥BE， ∴△AME∽△ADF， ∴AM：MD＝AE：EF＝4：1＝8：2 ∵DF∥BE， ∴△CDF∽△CBE， ∴BD：DC＝EF：FC＝2：3 ∴AE：EC＝AE：（EF+FC）＝8：（2+3） ∴AE：EC＝8：5． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，利用中间量EF即可得出结论． 15．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　5　倍． 【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解． 【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍， ∴扩大后的三角形与原三角形相似， ∵相似三角形的周长的比等于相似比， ∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍， 故答案为：5． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比． 三．解答题（共4小题） 16．已知a：b：c＝2：3：4，且2a+3b﹣2c＝10，求a，b，c的值． 【分析】运用设k法，再进一步得到关于k的方程，解得k的值后，即可求得a、b、c的值． 【解答】解：设a＝2k，b＝3k，c＝4k， 又∵2a+3b﹣2c＝10， ∴4k+9k﹣8k＝10， 5k＝10， 解得k＝2． ∴a＝4，b＝6，c＝8． 【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来． 17．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题： （1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图； （2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）； （3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）． 【分析】（1）先画出方向标，再确定方位角、比例尺作图； （2）动手操作利用量角器测量即可； （3）先利用刻度尺测量出图上距离，再根据比例尺换算成实际距离． 【解答】解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分） 注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分） （2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分） （3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米． ∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分） 【点评】主要考查了方位角的作图能力．要会根据比例尺准确的作图，并根据图例测算出实际距离． 18．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E， （1）试说明点E为线段AB的黄金分割点； （2）若AB＝4，求BC的长． 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE＝36°，从而得到∠BCE＝∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证； （2）根据等角对等边的性质可得AE＝CE＝BC，再根据黄金分割求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACB＝×72°＝36°， ∴∠BCE＝∠A＝36°， ∴AE＝BC， 又∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△CBE， ∴＝， ∴BC2＝AB•BE， 即AE2＝AB•BE， ∴E为线段AB的黄金分割点； （2）∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB＝72°， ∴∠BEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴BC＝CE， 由（1）已证AE＝CE， ∴AE＝CE＝BC， ∴BC＝•AB＝×4＝2﹣2． 【点评】本题考查了黄金分割点的定义，相似三角形的判定与性质，理解黄金分割点的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比是解题的关键． 19．如图，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝4，EF＝7.5．求BC、BE的长． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得＝＝，则可计算出BC＝6，BF＝BE，然后利用BE+BE＝7.5求BE． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴＝＝，即＝＝， ∴BC＝6，BF＝BE， ∴BE+BE＝7.5， ∴BE＝5． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 人教版九年级下册《第27章相似》检测试卷含答案 一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分) 1．观察下列每组图形，相似图形是（ ） 2．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（ ） A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 3．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ） A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 4．如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F.若＝，DE＝4，则EF的长是（ ） A. B. C．6 D．10 第4题图 　　第5题图 　　第6题图 5．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则C的坐标为（ ） A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1) 6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ） A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C.＝ D.＝ 7．如图，在6×6的正方形网格中，连接两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M，N，则AM∶MN∶NB为（ ） A．3∶5∶4 B．1∶3∶2 C．1∶4∶2 D．3∶6∶5 第7题图 　第8题图 8．如图，为测量河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一直线上．若测得BE＝15m，EC＝9m，CD＝16m，则河的宽度AB等于（ ） A．35m B.m C.m D.m 9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 　第9题图 　第10题图 10．如图，若∠1＝∠2＝∠3，则图中的相似三角形有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 11．如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的一半．若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是（ ） A.－1 B. C．1 D. 第11题图 　　第12题图 12．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF.其中正确的结论有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 13．在比例尺为1∶4000 000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为 km. 14．若实数a、b、c满足＝＝＝k，则k＝ . 15．如图，身高为1.7m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．已知河BD的宽度为12m，BE＝3m，则树CD的高为 . 　　第15题图 16．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点E的坐标为(，)，则点A的坐标是 ． 第16题图 　　第17题图 　　第18题图 17．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D、E、F在三角形的边上)，则此正方形的面积是 . 18．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则＋＝ . 三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(10分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)． (1)将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； (2)请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1. 20．(10分)如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B，已知AD＝8cm，BD＝4cm，求AC的长． 21．(12分)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠AEB＝∠ADC. (1)求证：△ADE∽△DBC； (2)连接EC，若CD2＝AD·BC，求证：∠DCE＝∠ADB. 22．(12分)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯CD的高． 23．(12分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF. (1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长． 24．(14分)如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝(x>0)的图象经过BC上的点D，与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求点F的坐标． 答案 1．D　2.B　3.B　4.C　5.A　6.D　7.B　8.C　9.C 10．D　11.A 12．A　解析：过D作DM∥BE交AC于点N，交BC于点M.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠EAC＝∠ACB.∵BE⊥AC于点F，∴∠AFE＝∠ABC＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝.∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF.∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，＝＝，∴S△AEF＝S△ABF，∴S△AEF＝S△ABE＝S矩形ABCD.又∵S四边形CDEF＝S△ACD－S△AEF＝S矩形ABCD－S矩形ABCD＝S矩形ABCD＝5S△AEF＝S△ABF，故④正确．故选A. 13．120　14.－1或2　15.5.1m　16.(0，1)　17.25　18.1 19．解：(1)作出△A1B1C1，如图所示；(5分) (2)作出△A2B2C2，如图所示(本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A2B2C2满足条件即可)(10分)． 20．解：∵在△ACD和△ABC中，∴△ACD∽△ABC，∴＝.(5分)∵AD＝8cm，BD＝4cm，∴AB＝12cm，∴＝，(8分)∴AC＝4cm.(10分) 21．证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC，∠ADC＋∠BCD＝180°.(2分)∵∠AEB＝∠ADC，∠AEB＋∠AED＝180°，∴∠AED＝∠BCD，(5分)∴△ADE∽△DBC；(6分) (2)由(1)可知△ADE∽△DBC，∴＝，∴DB·DE＝AD·BC.(7分)∵CD2＝AD·BC，∴CD2＝DB·DE，∴＝.(8分)又∵∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE＝∠DBC.(10分)又∵∠ADB＝∠DBC，∴∠DCE＝∠ADB.(12分) 22．解：设CD＝xm.∵AE＝AM，AM⊥EC，∴∠E＝45°，∴EC＝CD＝xm，AC＝(x－1.75)m.(2分)∵CD⊥EC，BN⊥EC，BN∥CD，∴△ABN∽△ACD，(7分)∴＝，即＝，解得x＝6.125.(11分) 答：路灯CD的高为6.125m.(12分) 23．解：(1)AB是⊙O的切线．(1分)理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠CEA＝90°.(3分)又∵∠CEA＝∠CDF，∠CAE＝∠ADF，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O的切线；(6分) (2)∵∠CPF＝∠APC，连接DE、CF，如图．∵CD是直径，∴∠DEC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＋∠ACE＝180°，∴DE∥AC，∴∠DEA＝∠CAE，又∵∠PCF＝∠DEA，∴∠PCF＝∠PAC.∴△PCF∽△PAC，∴＝，∴PC2＝PF·PA.(9分)设PF＝a，∵PF∶PC＝1∶2，则PC＝2a，PA＝a＋5，∴4a2＝a(a＋5)，∴a＝或a＝0(舍去)，∴PC＝2a＝.(12分) 24．解：(1)∵四边形OABC为矩形，∴AB⊥x轴．∵E为AB的中点，点B的坐标为(2，3)，∴点E的坐标为.∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝.(4分)∵四边形OABC为矩形，∴点D与点B的纵坐标相同，将y＝3代入y＝可得x＝1，∴点D的坐标为(1，3)；(6分) (2)由(1)可得BC＝2，CD＝1，∴BD＝BC－CD＝1.∵E为AB的中点，∴BE＝.(8分)若△FBC∽△DEB，则＝，即＝，∴CF＝，∴OF＝CO－CF＝3－＝，∴点F的坐标为；(11分)若△FBC∽△EDB，则＝，即＝，∴CF＝3，此时点F和点O重合．(13分)综上所述，点F的坐标为或(0，0)．(14分) 学科网（北京）股份有限公司 $$