第一章 有理数课件(一)- 2025-2026学年人教版数学七年级上册

第一章 有理数 1.1 正数和负数 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.了解正数和负数的产生过程. 2.理解正数、负数和0的意义，会判断一个数是正数还 是负数.(重点) 3.会用正数和负数表示具有相反意义的量.(重点) 学习目标 新课导入 先观察下列图片，体会数的产生和发展过程. 结绳计数 由记数、排序，产生数1，2，3，... 由表示“没有”“空位”产生数字0 新课导入 再观察下面图片中使用的数字. 这些数与我们已学过的数有什么不同？圈起来的数你知道是什么数吗？你还能举出类似的实例吗？ 思考 新课导入 1.天气预报2019年11月某天北京的温度为-3~ 3°C，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？ 解：这天的最高温度是零上3 ℃， 最低温度是零下3 ℃(-3 表示零下3摄氏度). 温差是6 ℃． 合作探究 新课导入 2.某机器零件的长度设计为100 mm，加工图纸标注的尺寸为(100±0.5)mm，这里的0.5代表什么意思？合格产品的长度范围是多少 ？ 解：+0.5 表示大于设计尺寸0.5 mm， -0.5 表示小于设计尺寸0.5 mm. 合格产品的范围是 99.5(mm)~ 100.5(mm). 新课讲解 知识点1 正数和负数的概念 正数 ( > 0 ) 10 20 30 40 正号 “+” 负数 ( < 0 ) 10 20 30 负号 “‒” + + + - - - 0 + 既不是正数也不是负数 新课讲解 像3，0.5，8%这样大于0的数叫做正数. 像-3，-0.5，-8%，-5这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数. 1.正数和负数的概念 一个数前面的+﹣叫做它的符号，其中+号可以省略不写，而﹣号不能省略. 2.数的符号 新课讲解 观察下图，试着说明它们的海拔. 珠穆朗玛峰的海拔为8 848米， 吐鲁番盆地的海拔为-155米. 新课讲解 讨论 1.负数有什么特点？ 2.如果一个数不是正数就是负数，对吗？ 答：从定义中我们发现负数的前面必须有符号“﹣”， 且不能省略不写. 答：不对.0既不是正数，也不是负数. 0是正数与负数的分界. 新课讲解 1.0既不是正数，也不是负数. 2.不是所有的带符号- 的数都为负数，只有再正数前 加符号﹣的数才是负数，如-7，以后我们学到-(-7) 就不是负数. 3.符号+﹣作为数的性质符号是正负号，作为运算符 号是加减号. 小提醒 新课讲解 典例分析 例 1 下列各数，那些是正数？那些是负数？ -15，-0.02，4，1.3，0，3.14，π， ， ， . 分析：(1)从符合上判断，即只含有+或省略符号的数(0除外) 是正数，正数前面有﹣的数是负数； (2)从数的性质上判断，即所有大于0的数都是正数， 所有小于0的数都是负数.0既不是正数，也不是负数. 新课讲解 典例分析 例 1 下列各数，那些是正数？那些是负数？ -15，-0.02，4，1.3，0，3.14，π， ， ， . 解：正数：4，1.3，3.14，π， . 负数：-15，-0.02， ， . 新课讲解 知识点2 用正负数表示具有相反意义的量 汽车先向东行驶3 km， 然后又向西行驶1 km. 超市早上购进苹果1100 kg， 中午售出苹果20 kg. 你会用正负数来表示它们吗？ 它们表示相反的意义 新课讲解 例 典例分析 2 下列各组量中，表示具有相反意义的量是( ) A.向西走5米和向北走3米 B.扩大10倍和增加10% C.胜2局和负2局 D.盈利3万元和支出3万元 C 增加 减少 扩大 缩小 盈利 亏损 收入 支出 浪费 节约 上升 下降 新课讲解 练一练 1 2 如果零上5 °C记作+5 °C，那么零下3 °C记作什么？ 某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨, 那么运出3.8吨应记作什么? 解：零下3 °C记作﹣3 °C. 解：运出3.8吨应记作﹣3.8吨. 新课讲解 (1)如果汽车向东行驶4 km记作+4 km，那么向西行驶5 km记作 . ﹣5 km (2)如果-7 m表示一物体向西运动7 m，那么+6 m表明物体____________. 向东运动6 m 3 解答下列问题： 新课讲解 1.具有相反意义的量的正负是相对的，都是根据实际问 题规定的. 2.具有相反意义的量中两个量表示的意义相反，且必须 是同类量. 3.具有相反意义的量是成对出现的. 注意 新课讲解 知识点03 对0的再认识 在小学阶段，0表示没有，学习了负数后，它不再简简单单的只表示没有，0的意义变得丰富起来. 1.表示没有 2.某种量的基准 3.分界点 0个学生. 举例 举例 (1)海平面的高度. (2)温度中的0℃. (3)标准水位 0是正数与负数的分界. 课堂小结 正数和负数 用正负数表示具有相反意义的量 大于0的数叫做正数. 在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数. 对0的再认识 当堂小练 1.在下列各对关系中，不是具有相反意义的量的是( ) A.运进货物3 t与运出货物2 t B.增加100 t与减少200 t C. 升温与降温 D.胜3局与负4局 C 2.水位升高了-4 m，实际是水位下降了( ) A.0 m B.4 m C.-4 m D.1 m B 当堂小练 3.填一填 (1)如果零上5℃记作+5℃，那么零下3℃记作 . (2)东、西为两个相反方向，如果-4米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示 .物体原地不动记为 . (3)月球表面的白天平均温度零上126 ℃. 记作+126℃,夜间平均温度零下150 ℃, 记作 ℃. －3℃ 向东运动2米 0米 －150 拓展与延伸 如果水位升高6 m时水位变化记作＋6 m，那么水位下降6 m时水位变化记作(　　) A．－3 m B．3 m C．6 m D．－6 m D 第一章 有理数 1.2.2 数轴 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解数轴的定义，掌握数轴的三要素，能准确的画出 数轴. （重点） 2.能由数轴上的已知点说出它所表示的数.（重点） 3.能将有理数用数轴上的点表示出来，并能利用数轴解 决实际问题.（重点） 学习目标 负数 新课导入 问题：在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境． 7.5 4.8 汽车站 柳 树 杨 树 槐 树 电线杆 3 3 0 西 东 新课导入 怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系 (方向、距离)? 为了更清楚的来表达问题，我们规定向东为正，则向西为负，把汽车站牌所在的位置作为 “基准点”，用数字0来表示，这样我们就可以把汽车站牌左右两边的数分别用负数和正数表示. 东 西 汽车站 柳 树 杨 树 槐 树 电线杆 0 3 7.5 -3 -4.8 新课讲解 知识点1 数轴 数轴的定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，缺一不可. 原点 单位长度 正方向 新课讲解 数轴的画法 原点 0 1.画：画一条水平直线 2.取：在直线上任取一点为原点 3.定：确定正方向并用箭头表示 4.标：在原点右边向右依次标1，2，3，…； 从原点向左，用类似方法依次标－1，－2，-3，…. 新课讲解 画数轴注意事项 (1)原点、单位长度和正方向三要素，缺一不可； (2)直线一般画水平； (3)正方向用箭头表示，一般取向右； (4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。 新课讲解 知识点2 数轴上的点与有理数的关系 数轴上的点表示的数并不都是有理数 任何有理数都可以用数轴上的一个点表示 1.正有理数可以用数轴上原点右边的点表示； 2.负有理数可以用数轴上原点左边的点表示； 3.0用原点表示. 新课讲解 自己动手画一画 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点右侧，与原点的距离是a个单位长度，表示数-a的点在原点左侧，与原点的距离是a个单位长度. 0 1 -1 a -a -a到原点的距离 a到原点的距离 -a是负数在原点的左边 a是正数在原点的右边 新课讲解 例 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，-3.5，0,5，-4， 解： -3.5 5 0 -4 练一练 课堂小结 1.数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线. 2.数轴的画法 3.用数轴上的点表示数. 当堂小练 1.下列说法中正确的是（ ） A. 在数轴上的点表示的数不是正数就是负数 B.数轴的长度是有限的 C. 一个有理数总可以在数轴上找到一个表示它的点 D. 所有整数都可以用数轴上的点表示，但分数就不一定能 找到表示它的点 C 当堂小练 2.与原点距离是4.5个单位长度的点所表示的有理数是（ ） A．4.5 B．-4.5 C．±4.5 D．这个数无法确定 C 3.在数轴上表示数5的点在原点_____侧，到原点的距离是_____个单位长度，表示数-7的点在原点的_____侧，到原点的距离是_____个单位长度．表示数5的点到表示数-7的点的距离是______个单位长度． 右 5 左 7 12 拓展与延伸 在数轴上表示数－1和2 014的两点分别为A和B，则A，B两点之间的距离为(　　) A．2 013 B．2 014 C．2 015 D．2 016 C 第一章 有理数 1.2.3 相反数 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解相反数的有关概念，掌握求一个数的相反数的方法. 2.会根据相反数的意义化简多重符号.（重点） 3.能解决与相反数有关的问题. 学习目标 负数 新课导入 请观察下面两个数，请说出它们的相同点和不同点？ + 5 - 5 符号不同 数字相同 你还能列举两个这样的数吗？ 探究 新课讲解 知识点1 相反数 1.相反数的概念 像2和-2,5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 一般地， a和-a互为相反数. 特别地，0的相反数是0. 这里， a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0. 新课讲解 1.“只有符号不同”不要错误理解为“只要符号不同”.”只有符合不同“包含两层意思：符号相反；所含数字相同. 2.相反数是成对存在的，一个数是另一个数的相反数.反过来，另一个数也是这个数的相反数，不能说某个数是相反数.例如”-1是相反数“是不对的. 小提醒 新课讲解 相反数的几何意义 互为相反数的两个数表示的点在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等. 如图3和-3,4和-4互为相反数. 3 3 4 4 新课讲解 1.分别写出下列各数的相反数 4,-3,8.3，-7,0 典例分析 例 解： 4的相反数是-4 -3的相反数是3 8.3的相反数是-8.3 -7的相反数是7 0的相反数是0 新课讲解 相反数的特征 1.若a与b互为相反数，则a+b=0（或a=-b）. 2.若a+b=0（或a=-b），则a与b互为相反数. 新课讲解 知识点2 多重符号的化简 尝试着自己去化简 1.多重符号化简的依据 化简多重符号的主要依据是相反数的概念.例如-（-2）表示-2的相反数，所以-（-2）=2. 2.化简多重符号的方法 方法一：由相反数的求法逐步由内向外化简. 方法二：看一个数前面有多少个”-“若有偶数个，则结果符号为正；若有奇数个，则结果符号为负.简称”奇负偶正“.结果为正时正号一般不用写. 新课讲解 2. 化简 1.-（-5）； 2.+（-5）； 3. ； 4. 典例分析 例 解：1. 5 2. -5 3. 4. 课堂小结 1.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 2.相反数的求法：数前添加“-”号 3.多重符号的化简. 4.相反数的特征. 当堂小练 练一练 1．如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，则点B表示的数为(　) A．－1　　 B．1　　 C．－2　　 D．2 C 2．已知a是有理数，则下列判断：①a是正数；②－a是负数；③a与－a必然有一个负数；④a与－a互为相反数．其中正确的有(　　) A．1个　　B．2个　 C．3个　 D．4个 A 当堂小练 练一练 3．化简：－[－(＋5)]＝ ； －(－5)＝ . 5 5 4．已知数轴上A、B两点表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点A在点B的左边，则点A、B表示的数分别是 . -3和3 拓展与延伸 下列说法：①m与－m互为相反数，因此它们一定不相等；②相反数等于它本身的数只有0；③正数和负数互为相反数；④负数的相反数是正数；⑤a的相反 数一定是负数．其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 第一章 有理数 1.2 有理数 1.2.4 绝对值 课时1 绝对值 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 1.理解绝对值的概念及性质.(难点) 2.会求一个有理数的绝对值 （重点） 学习目标 新课导入 两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，（记向东行驶的里程数为正）. 车向东行驶10km到达A 处，记作 km，车向西行驶10km到达B 处，记做 km. －10 10 0 O B A 10 10 思考： 1.两车的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相等吗？ 2.A、B两点与原点距离分别是多少？ +10 -10 新课讲解 知识点1 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 上面例子中，A、B两点分别表示10和-10，它们与原点的距离都是10，所以10和-10的绝对值都是10.即|10|=10，|-10|=10 注意: 因为0与原点的距离是0.所以|0|=0. 这里数a可以是正数、负数和0. 新课讲解 例1. 求下列各组相反数的绝对值。 (1)9,-9; (2)0.6,-0.6; (3) 解： （1）|9|=9 | -9 |= 9 （2）|0.6|=0.6 |-0.6|=0.6 | |= |- |= （3） 新课讲解 知识点2 绝对值的性质 观察下面等式 |6|=6 |-10|=10 |0.5|=0.5 |-3|=3 |0.1|=0.1 |-1.5|=1.5 |100|=100 |-2000|=2000 |0|=0 结论 一个正数的绝对值是它本身. 一个负数的绝对值是它的相反数 一个正数的绝对值是什么？ 一个负数的绝对值是什么？ 0的绝对值是什么？ 字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗? 新课讲解 思考 结论 (1)当a是正数时，｜a｜＝___； (2)当a是负数时，｜a｜＝ ； (3)当a=0时，｜a｜＝ . a -a 0 正数的绝对值是它本身 负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 |a|≥0 任何一个有理数的绝对值都是非负数. 新课讲解 例 解： 典例分析 1 求下列各数的绝对值. +15 ， -2.5. |+15|=15； |-2.5|=2.5； 正数的绝对值等于它本身 负数的绝对值等于它的相反数 新课讲解 例 典例分析 2 填一填. (1)绝对值等于0的是_____, (2)绝对值等于7的正数是_____, (3)绝对值等于7的负数是______, (4) 3的绝对值数是___，-3的绝对值数是___. 0 7 -7 3 3 结论 1.绝对值相等的两个数相等或互为相反数， 2.互为相反数的两个数的绝对值相等. 新课讲解 例 典例分析 3 已知|x-3|+|y-2|=0，求x+y的值. 结论 几个非负数的和为0，则这几个数都为0. 分析：一个数的绝对值总是大于或等于0，即为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个数同时为0. 解：根据题意可知x－3＝0，y－2＝0，所以x＝3，y＝2，故x＋y＝5. 课堂小结 绝对值 绝对值的概念 绝对值的性质 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值. 一个正数的绝对值是它本身. 一个负数的绝对值是它的相反数. 0的绝对值是0. 当堂小练 1.判断： (1)一个数的绝对值是9 ，则这个数是9 ( ) (2)|5|＝|－5| ( ) 　　　　　　　　　　　 (3)|－0.5|＝|0.5| ( ) 　　　　　　　　　　 (4)|3|＞0 ( ) 　　　　　　 (5)|－1.2|＞0 ( ) (6)有理数的绝对值一定是正数 ( ) 　 (7)若a＝-b，则|a|＝|b| ( ) 　　　　　　　　 (8)若|a|＝|b|，则a＝b ( ) (9)若|a|＝－a，则a必为负数 ( ) 　　　　 　 (10)互为相反数的两个数的绝对值相等 ( ) × × × × √ √ √ √ √ √ 当堂小练 2. 如果a与1互为相反数，则︱a︱等于（ ）． A．2 B．-2 C．1 D．-1 C 3. -|-4|＝（ ） A．-4 B．- C． D．4 A 4.填空： | m|=_______ (m＜0) | a – b | =_______ （a＞b） -m a-b 拓展与延伸 （1）若a＞0，则 = 1，若 =_____，则a是_______. （2）若|x| = 3，则x =______；若|－x| = 4，则 x =______. 1 正数 ±3 ±4 第一章 有理数 1.2 有理数 1.2.4绝对值 课时2 有理数的大小比较 目 录 CONTENTS 1 学习目标 2 新课导入 3 新课讲解 4 课堂小结 5 当堂小练 6 拓展与延伸 7 布置作业 掌握有理数大小的比较方法. (重点) 能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小. （难点） 学习目标 新课导入 珠穆朗玛峰的海拔高度为8 844.43米 吐鲁番盆地的海拔高度为-155米 根据海拔高低， 可以得出 8844.43>-155 哪个高呢？ 新课导入 -10℃、0℃、 6℃哪个温度高？ 根据温度的高低，可以得出 -10＜0,0＜6. 新课讲解 知识点1 借助数轴比较有理数的大小 合作探究 下表给出了某地未来一周中每天的最高和最低气温 星期 一 二 三 四 五 六 日 最低气温(℃) 8 7 6 5 3 4 9 最高气温(℃) 0 1 -1 -2 -4 -3 2 其中最低的是________℃,最高的是_______℃. 你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗? -4 9 新课讲解 这七天中每天的最低温度按照由低到高的顺序排列为: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2. 思考：你能把上面的数按照这个顺序表示在数轴上吗？ -4 -3 -2 -1 0 1 2 把这些数表示在数轴上,表示它们各点的顺序是 从______到______的. 按照这个顺序排列的温度在温度计上所对应的点是 从_____到______的. 下 上 左 右 新课讲解 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 小 大 适用于多个数的大小比较. 有没有最大的有理数?有没有最小的有理数?为什么? 数学中规定: 在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数. 思考 新课讲解 例 1.在数轴上表示数-4,-2,-5,2,3,0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”号连接. 典例分析 解： -4,-2,-5,2,3,0在数轴上表示如下图： -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ● ● ● ● ● ● 将它们按从小到大的顺序排列为： －5 <－4 <－2 <0 < 2<3 新课讲解 知识点2 运用法则比较有理数的大小 对于正数、0、负数这三类数，它们之间有什么大小关系？ 用“＞”或“＜”号填空. (1)3 0　 (2)－2.3 0 (3) 0 0.5 (4)0 －5 (5) －1.5 1.5 (6)4 －6 法则 正数大于0，负数小于0,正数大于负数. 适用于一个数和0的大小比较，以及异号两数的大小比较. > > > < < < 问题 新课讲解 思考 结论 同号两数怎样比较大小呢? 用“＞”或“＜”号填空,并说明理由. (1) 2 5 (2) －1.4 －2.5　　　 (3) (4) . 同正？同负？ < > > < 两个正数，绝对值大的大; 两个负数，绝对值大的反而小. 新课讲解 例 2 比较下列各数的大小. 典例分析 解： 先化简，－（－7）＝7， －（＋4）＝－4， 因为正数大于负数，所以7＞－4，即 －（－7）＞－（＋4） （1）－（－7）和－（＋4）； 新课讲解 典例分析 解： 两个负数做比较，先求它们的绝对值. 同号两数比较要考虑它们的绝对值. 两个负数，绝对值大的反而小 两个负数比较大小的一般步骤： ①求绝对值； ②比较绝对值的大小； ③比较负数的大小. 课堂小结 有理数大小的比较法 正数大于0，0大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小. 在数轴上表示的数左边的数小于右边的数． 利用数轴 利用法则 异号两数比较大小，要考虑它们的正负； 同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值. 当堂小练 1.比较下列各组数的大小 (1) 2___0 , 0___-8.3 , 2.5___-90 (2)-5__-3 , -3.14__ - , -7.8__-7.7 (3)-(-9)_ _-(+9) ， - [-(-0.3)] __ -|-0.29| > > > < > < > < 2. 下面四个不等式中，正确的是（ ） A. |－2|＞|－3| B. | 2 |＞| 3 | C. 2＞|－3| D. |－2|＜|－3| D 当堂小练 3.(成都中考）下列各数中，最大的数是（ ） （A）-2 （B）0 （C） （D）3 D 4.将下列这些数用“＜”连接. 0，－3，|8|，－（－1），－|－8|. 解：－|－8|＜－3 ＜ 0＜ －（－1）＜|8|. 当堂小练 5．如果a是有理数，试比较|a|与－3a的大小． 分析：由于不能确定a的正负，所以需分类讨论 解：当a＞0时，|a|>0，－3a＜0，所以|a|>－3a； 当a=0时，|a|=0，－3a=0，所以|a|=－3a； 当a＜0时，|a|=－a ＞0 ，－3a＞0， 因为－3a＞－a，所以|a|＜－3a. D 拓展与延伸 已知a、b为有理数，且a<0，b>0，|a|>|b|，则（ ） A.a <－b < b <－a B.－b < a < b <－a C.－a < b <－b < a D.－b < b <－a < a A $$