2.2函数的单调性与最值考点训练-2026届高三数学一轮复习

《2026届高考一轮复习 数学考点训练》2-2 函数的单调性与最值 目录 题组1 基础练习 举一反三 1 一、单项选择题 1 二、多项选择题 2 三、填空题 4 四、解答题 4 题组2 考点突破 思维拓展 5 一、单项选择题 5 二、多项选择题 7 三、填空题 8 四、解答题 9 题组1 基础练习 举一反三 一、单项选择题 1．函数的单调增区间为( ) A．(0，+∞) B．(﹣∞，0) C．(﹣∞，0)∪(0，+∞) D．(﹣∞，0)，(0，+∞) 【答案】D【解】∵函数1，定义域为{x|x≠0}，且y的单调递减区间为(﹣∞，0)，(0，+∞)， 故函数的单调增区间为(﹣∞，0)，(0，+∞)，故选：D． 2．函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( ) A. B. C．[1，＋∞) D. 【答案】B【解】，画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为. 3．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是( ) A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数 C．y＝－在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数 【答案】D【解】设f(x)＝x，则y＝＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，A错误； 则y＝|f(x)|＝|x|在R上无单调性，B错误； 则y＝－＝－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，C错误； y＝－f(x)＝－x在R上为减函数，所以选项D正确． 4.记函数在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M和m，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】将函数分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解. 【解】因为，所以f(x)在[3，4]上是减函数. 所以m=f(4)=4，M=f(3)=6；所以.故选：D. 5.设，则“”是“函数在上单调递增”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由二次函数对称轴和函数单调性的关系以及充要条件的应用，即可得到结果. 【解】函数的对称轴为， 由函数在上单调递增可得，即， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A 6.已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【解】函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增， 则函数在上单调递减，且在上恒成立， 则有解得．所以a的取值范围是；故选：C 7.已知函数在上单调递减且关于直线对称，则不等式解集是( ) A. B. C. D. 【答案】D【解】因为关于直线对称，又在上单调递减，所以在上单调递增， 所以，解得，故选：D． 8.函数的单调递减区间为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【解】由得，；所以定义域为 令，则单调递减；又在上单调递增，在上单调递减 由复合函数单调性得函数的单调递减区间为；故选：B. 二、多项选择题 9.奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有(    ) A．当时， B．函数在上递减 C． D．函数在上递增 【答案】ABD【解】图像可知：时，，在递减，在上递增， 所以根据奇函数性质，当时，，A正确； 当时，在递减，在上递增，故BD正确. 由于在上递增，所以，故C错误；故选：ABD 10．下列命题中真命题的有(    ) A．函数在上是减函数，最小值是 B．函数在上是增函数，最大值为 C．函数在上先增后减，最小值为0 D．函数的定义域是，值域是 【答案】ABD【解】对于A：函数在上是减函数，最小值是，正确； 对于B：函数在上是增函数，最大值为，正确； 对于C：函数在上递减，在上递增，最小值为，错误； 对于D：定义域是，当时，，当时，，即值域是，正确. 故选：ABD. 11．已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD【解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确；故选：AD. 三、填空题 12．设函数g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________． 【答案】[0,1) 【解】由题意知该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)． 13．已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】【分析】先由解析式的和式结构判断函数的单调性，再利用函数单调性解抽象不等式. 【解】的定义域为， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得，解得，故答案为：. 14.函数的增区间为 【答案】【解】函数的定义域为，解得或 设在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的增区间为，故答案为： 四、解答题 15．已知函数. (1)若，求实数的值，并求此时函数的最小值； (2)若在上是减函数，求实数的取值范围. 【分析】(1)由求出的值，再利用二次函数的性质可求出其最小值； (2)先求出的减区间，再根据在上是减函数，可求出实数的取值范围. 【解】(1)由题可知，，即， 此时函数， 故当时，函数. (3)函数的单调减区间是， 而在上是减函数， ，即， 故实数的取值范围为. 16.已知函数． (1)求的定义域；(2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)求函数在区间上的最大值． 【分析】(1)利用函数式有意义求出定义域即得.(2)利用函数单调性定义推理即得. (3)利用函数单调性求出最大值. 【解】(1)函数有意义，， 所以函数的定义域为. (2)，， 因为，则，即，， 所以函数在上是减函数. (3)由(2)知，函数在上是减函数， 所以 题组2 考点突破 思维拓展 一、单项选择题 1.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    )． A． B． C． D． 【答案】A【解】的对称轴是，因为函数在区间上是增函数， 所以，解得，所以，故选：A． 2．函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】C【解】当时，在R上递减， 故在上递减，故成立． 当时，二次函数的对称轴为， ∴要使在区间上是减函数，则必有且对称轴，即， 解得，综上，，即a的取值范围是．故选：C． 3.函数在上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】由分段函数单调性列不等式组求解 【解】，故在上单调递减， 由题意得解得，故选：B 4.已知的值域为，则的最小值为(    ) A．0 B．2 C． D．1 【答案】D【分析】首先判断，再分和两种情况讨论，求出的取值范围，即可得解. 【解】因为的值域为， 当时，显然值域不为，故舍去； 当时函数 单调递减，即， 又，函数的值域不为，故舍去； 所以，此时当时，函数单调递增， 又函数在上单调递减，在上单调递增，且时， 当时，只需满足，解得， 当时，只需满足，解得， 综上可得，即的最小值为.故选：D 5.若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【解】由已知得，解之得，即的定义域为， 又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得：，解得．故选：D 6.已知函数，则不等式的解集为(       ) A． B． C． D． 【答案】D【解】易知函数在R上单调递减(减+减)， 而，所以.故选：D. 7.关于y轴对称的函数在上是增函数，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】D【解】当时，可化为， 又关于y轴对称且，所以不等式可化为， 因为在上是增函数，所以，解得； 当时，可化为， 又关于y轴对称且，所以不等式可化为， 因为在上增函数，所以，解得； 综上所述：不等式的解集为.故选：D 8.函数若不存在最小值，则实数m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【解】(1)当时，若，则在上递增，所以； 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值，所以，所以， (2)当时，若，则在上单调递增，所以； 若，则，当且仅当时取等号， 因为不存在最小值，所以，所以，所以，故选：C. 二、多项选择题 9．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且f(x)关于直线x＝4对称，则( ) A.f(2)>f(3) B.f(2)＝f(6) C.f(3)＝f(5) D.f(3)>f(6) 【答案】BCD【解】∵y＝f(x)关于直线x＝4对称，∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5). 又y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6). 10．已知函数，则下列叙述正确的是(    ) A．的值域为 B．在区间上单调递增 C． D．若，则的最小值为-3 【答案】BCD【解】函数， A. 的值域为，故错误； B. 在区间上单调递增，故正确； C. ，故正确； D. 因为，则的最小值为，故正确；故选：BCD 11.已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值可以是(    ) A． B．2 C．3 D．4 【答案】ABC【分析】结合函数单调性求得的最小值，由题意可推出，故得到相应不等式，求出a的范围，即可求得答案. 【解】由题意时，，即； 而，故在上单调递减， 在上单调递增， 所以， 由于对任意，存在，使， 所以，即， 结合选项，故实数的取值可以是，故选：ABC 三、填空题 12．已知函数，则的最大值为______． 【解】解：时，单调递增，； 时，单调递减，. 所以的最大值为．故答案为：． 13．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】【解】令，则. 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为在R上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为在上单调递减，所以有，解得；故答案为： 14．函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是______. 【答案】【解】由可知：为单调递减函数， 故，，且，解得：， 则的取值范围是.故答案为：. 四、解答题 15．如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求的解析式；(2)指出的单调区间；(3)直接写出的值域． 【解】(1)当时，设解析式为，由图象有解得， ∴，当时，设解析式为． ∵图象过点，∴，解得，∴， 综上，函数在上的解析式为 (2)由图知单调增区间为：，；单调减区间为：． (3)由图可知，其值域为． 16．已知函数. (1)若的定义域和值域均是，求实数的值； (2)若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解】(1)因为，可知的开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，且，所以在上单调递减， 可得，解得； (2)因为， 又因为在上单调递增，可知在上单调递增， 且，所以当时，， 又因为在上单调递减，且， 所以当时，， 因为对任意的，都存在，使得成立， 则可得，解得，所以实数的取值范围为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《2026届高考一轮复习 数学考点训练》2-2 函数的单调性与最值 目录 题组1 基础练习 举一反三 1 一、单项选择题 1 二、多项选择题 2 三、填空题 2 四、解答题 2 题组2 考点突破 思维拓展 3 一、单项选择题 3 二、多项选择题 4 三、填空题 4 四、解答题 5 题组1 基础练习 举一反三 一、单项选择题 1．函数的单调增区间为( ) A．(0，+∞) B．(﹣∞，0) C．(﹣∞，0)∪(0，+∞) D．(﹣∞，0)，(0，+∞) 2．函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为( ) A. B. C．[1，＋∞) D. 3．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是( ) A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数 C．y＝－在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数 4.记函数在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M和m，则等于(    ) A． B． C． D． 5.设，则“”是“函数在上单调递增”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是(    ) A． B． C． D． 7.已知函数在上单调递减且关于直线对称，则不等式解集是( ) A. B. C. D. 8.函数的单调递减区间为(    ) A． B． C． D． 二、多项选择题 9.奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有(    ) A．当时， B．函数在上递减 C． D．函数在上递增 10．下列命题中真命题的有(    ) A．函数在上是减函数，最小值是 B．函数在上是增函数，最大值为 C．函数在上先增后减，最小值为0 D．函数的定义域是，值域是 11．已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 12．设函数g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________． 13．已知函数，若，则实数的取值范围是 . 14.函数的增区间为 四、解答题 15．已知函数. (1)若，求实数的值，并求此时函数的最小值； (2)若在上是减函数，求实数的取值范围. 16.已知函数． (1)求的定义域；(2)用定义法证明：函数在上是减函数； (3)求函数在区间上的最大值． 题组2 考点突破 思维拓展 一、单项选择题 1.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    )． A． B． C． D． 2．函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 3.函数在上单调递减，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.已知的值域为，则的最小值为(    ) A．0 B．2 C． D．1 5.若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为(    ) A． B． C． D． 6.已知函数，则不等式的解集为(       ) A． B． C． D． 7.关于y轴对称的函数在上是增函数，且，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 8.函数若不存在最小值，则实数m的取值范围是(    ) A． B． C． D． 二、多项选择题 9．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且f(x)关于直线x＝4对称，则( ) A.f(2)>f(3) B.f(2)＝f(6) C.f(3)＝f(5) D.f(3)>f(6) 10．已知函数，则下列叙述正确的是(    ) A．的值域为 B．在区间上单调递增 C． D．若，则的最小值为-3 11.已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值可以是(    ) A． B．2 C．3 D．4 三、填空题 12．已知函数，则的最大值为______． 13．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 14．函数满足对任意，都有成立，则的取值范围是______. 四、解答题 15．如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求的解析式；(2)指出的单调区间；(3)直接写出的值域． 16．已知函数. (1)若的定义域和值域均是，求实数的值； (2)若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$《2026届高考一轮复习数学考点训练》2-2函数的单调性与最值 目录 题组1基础练习举一反三………… 一、单项选择题.…。1 二、多项选择题 三、填空题………… 四、解答题. 题组2考点突破思维拓展 3 一、单项选择题 …,3 二、多项选择题 三、填空题 四、解答题………………………… 题组1基础练习举一反三 一、单项选择题 1,函数/(=：的单调增区间为() A,(0,teo)B.(-0,0) C.(-0,0)U(0,+o) D.(-o,0),(0,to） 2.函数g(x)=xr一1川十1的单调递减区间为() A（-, B..1 C.l,+o)D.（-∞，u[1,+o) 3.设函数x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是() A.=高在R上为减函数 B,y=次x在R上为增函数 C.y=一高在R上为增函数 D.y=一x)在R上为减函数 4.记函数y)=在区间3,4上的最大值和最小值分别为M和m,则四等于() M A. B D.3 5.设aeR,则“a>-2”是“函数f(x)=2x2+4a+1在(2，+∞)上单调递增的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知函数y=√x2-ar+10在区间[1,3]上单调递减，则a的取值范围是() A.[6,+∞) B.(-∞， c.[6, D.(-.6]u[+) 7.已知函数f(x)在[1，+0)上单调递减且关于直线x=1对称，则不等式f(2x-3)>f(x)解集是() 第1页共5页 A（-m,3)U(3,+∞) B3,+o)C.(-m,) D.(3,3) 8.函数fx)=1og(-x2+x+6)的单调递减区间为() A.（-∞，2) B.(-2,) C.(+) D.(3) 二、多项选择题 9.奇函数寸(x)在x∈[「4,0]的图像如图所示，则下列结论正确的有() A.当xe[04时，f(x)e[-2,2] B.函数f(x)在[24]上递减 c.側 D.函数f9在(2)2上递增 10.下列命题中真命题的有() A.函数f(x)=-2x-3在[13上是减函数，最小值是-9 B.函数了x)=-2在L上是增函数，最大值为- 1 C.函数f(x)=x2-2x在[0,2]上先增后减，最小值为0 [x,x>0 D.函数f(x)= x2,x≤0 的定义域是R,值域是[0，+o) 11.已知定义域为D的函数f()=x2-4x+3其值域为[-1,3]，则定义域D可能是() A.0,4] B.(0,2] c.l3] D.[0,3] 三、填空题 1,x>0, 12.设函数f(x) 0,x=0,g)=xr一1)，则函数g(x)的单调递减区间是 -1.x<0, 13.已知函数f(x)=3x2+√x,若f(3a+1)<f(16-2a),则实数a的取值范围是 14函数f)=-+2x-3的增区间为 四、解答题 15.已知函数f(x)=x2+2-1. 第2页共5页 (1)若fI)=2,求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值： (2)若f(x)在(-o,4]上是减函数，求实数a的取值范围. 16.已知函数f)=1-2. a)求/的定义城：(2)用定义法证明：函数f)=2在Q+)上是减函数： 3)求函数)=2在区间10上的最大值. b 题组2考点突破思维拓展 一、单项选择题 1.己知函数fx)=2x2-x+1在区间[-1，+∞)上单调递增，则(1)的取值范围是() A.[7,+m) B.(7,+) C.(m,7] D.（-0,7) 2.函数f(x)=ar2-(a+1)x+2在区间(-o,1)上是减函数，那么实数a的取值范围是() A.[0,1) B.[1,+w) c.[o,] D.(0,1] 3.函数f(x) 2-a+10r+2a,x>0@ '在R上单调递减，则实数a的取值范围是() 第3页共5页 A.（-1,0) B.1,0 C.(-1,+∞) D.[-1,+) 4.己知f(x)= ax-1,(x<a) 的值域为R,则a的最小值为) (x-2)2,(x≥a) A.0 B.2 c.月 D.1 5,若函数J(x)=1og:(x+6x-5)在区间(31-2，m+2)内单调递增，则实数m的取值范围为() A.B.C.D.+) 6.已知函数f)=n2x-x子，则不等式f(3-x)>(2x-5)的解集为() A.(-4,2)B.(-m,2)C.(-,-2)U(2,+) D.(-m,-4)U(2,+m） 7.关于y轴对称的函数fx)在[0，+∞)上是增函数，且f(2)=0,则不等式但>0的解集为() A（-2,0)u(0,2)B.(-m,-2)U(2,+m) C(-m,-2)U(0,2）D.(-2,0)U(2,+o) 8.函数f(x)= C+m,×<m,若fK)不存在最小值，则实数m的取值范围是() x2+2mx,x≥m, A.(1,0) B.(导，+∞) C.(-10)U(绿+∞)D.(-0)u(1,+o) 二、多项选择题 9.若定义域为R的函数x)在(4，十∞)上单调递减，且x)关于直线x=4对称，则() A2)P3) B2)=6 C3)=5)D3)>6) 10.已知函数)=，则下列叙述正确的是() A.fx)的值域为(-n,-4)儿U(4,+o) B.fx)在区间(-n,4)上单调递增 C.f(x+f(-8-x)=4 D.若xe{xx>-4,xeZ},则fx)的最小值为-3 11.己知f(x)=x+1,g(x)=2+4+a,若对任意e[3,4,存在x∈[-3，，使f()≥g(),则实数a的取 值可以是() A.-1 B.2 C.3 D.4 三、填空题 e*-1,x≤1 12.已知函数f四=-x+1,x>1则f的最大值为 第4页共5页 13.已知函数fs)=(分x+a在L2]上单调递减，则实数a的取值范围是 [a-3)x+5,x≤1 14.函数)= 满足对任意，X,都有[fx)fx)]小：-x)<0成立，则a的取值范围是 四、解答题 15.如图，定义在[-1，+∞)上的函数∫(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成. (I)求f(x)的解析式；(2)指出f(x)的单调区间：(3)直接写出∫()的值域。 16.已知函数f(x)=x2-2ar+5(a>1) (1)若f()的定义域和值域均是[1，ad,求实数a的值： (2若g)=+x二，且对任意的x∈[0,1，都存在x∈[0，，使得f(x)=g(x)成立，求实数a的取值范围 x+1 b 第5页共5页第 1 页 共 10 页 《2026 届高考一轮复习 数学考点训练》2-2 函数的单调性与最值 目录 题组 1 基础练习 举一反三 .................................................................... 1 一、单项选择题 .......................................................................... 1 二、多项选择题 .......................................................................... 2 三、填空题 .............................................................................. 4 四、解答题 .............................................................................. 4 题组 2 考点突破 思维拓展 .................................................................... 5 一、单项选择题 .......................................................................... 5 二、多项选择题 .......................................................................... 7 三、填空题 .............................................................................. 8 四、解答题 .............................................................................. 9 题组 1 基础练习 举一反三 一、单项选择题 1．函数   1xf x x   的单调增区间为( ) A．(0，+∞) B．(﹣∞，0) C．(﹣∞，0)∪(0，+∞) D．(﹣∞，0)，(0，+∞) 【答案】D【解】∵函数   1xf x x    1 1 x  ，定义域为{x|x≠0}，且 y 1 x  的单调递减区间为(﹣∞，0)，(0，+∞)， 故函数   1xf x x   的单调增区间为(﹣∞，0)，(0，+∞)，故选：D． 2．函数 g(x)＝x·|x－1|＋1 的单调递减区间为( ) A. −∞, 1 2 B. 1 2 , 1 C．[1，＋∞) D. −∞, 1 2 ∪ [1, + ∞) 【答案】B【解】�(�) = � ⋅ |� − 1| + 1 = � 2 − � + 1, �⩾1, − �2 + � + 1, � < 1 ，画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为 1 2 , 1 . 3．设函数 f(x)在 R 上为增函数，则下列结论一定正确的是( ) A．y＝ 1 �(�) 在 R 上为减函数 B．y＝|f(x)|在 R 上为增函数 C．y＝－ 1 �(�) 在 R 上为增函数 D．y＝－f(x)在 R上为减函数 【答案】D【解】设 f(x)＝x，则 y＝ 1 �(�) ＝ 1 � 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，A 错误； 则 y＝|f(x)|＝|x|在 R 上无单调性，B 错误； 则 y＝－ 1 �(�) ＝－ 1 � 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域上无单调性，C 错误； 第 2 页 共 10 页 y＝－f(x)＝－x在 R 上为减函数，所以选项 D 正确． 4.记函数 f(x) = 2x x−2 在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为 M和 m，则� 2 � 等于( ) A． 23 B． 3 8 C． 3 2 D． 8 3 【答案】D【分析】将函数 ( )f x 分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解. 【解】因为 f(x) = 2x x−2 = 2 + 4 x−2 ，所以 f(x)在[3，4]上是减函数. 所以 m=f(4)=4，M=f(3)=6；所以� 2 � = 16 6 = 8 3 .故选：D. 5.设 aR ，则“ 2a   ”是“函数   22 4 1f x x ax   在  2, 上单调递增”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由二次函数对称轴和函数单调性的关系以及充要条件的应用，即可得到结果. 【解】函数   22 4 1f x x ax   的对称轴为 x a  ， 由函数   22 4 1f x x ax   在  2, 上单调递增可得 2a  ，即 2a   ， 所以“ 2a   ”是“函数   22 4 1f x x ax   在  2, 上单调递增”的充分不必要条件.故选：A 6.已知函数 2 10y x ax   在区间  1,3 上单调递减，则 a的取值范围是( ) A． 6,  B．( − ∞, 19 3 C． 6, 19 3 D．( − ∞, 6 ∪ 19 3 , + ∞) 【答案】C【解】函数 2 10y x ax   在区间 1,3 上单调递减，由函数 y t 在定义域内单调递增， 则函数 2 10t x ax   在 1,3 上单调递减，且 2 10 0t x ax    在 1,3 上恒成立， 则有 � 2 ≥ 3, 9 − 3� + 10 ≥ 0, 解得 196 3 a≤ ≤ ．所以 a的取值范围是 6, 19 3 ；故选：C 7.已知函数 ( )f x 在[1, ) 上单调递减且关于直线 x = 1 对称，则不等式    2 3f x f x  解集是( ) A. ( − ∞, 5 3 ) ∪ (3, + ∞) B. (3, + ∞) C. ( − ∞, 5 3 ) D.( 5 3 , 3) 【答案】D【解】因为 ( )f x 关于直线 x = 1 对称，又在[1, ) 上单调递减，所以在  ,1 上单调递增， 所以        2 22 3 2 3 1 1f x f x x x       ，解得 x ∈ ( 53 , 3)，故选：D． 8.函数 f(x) = log1 3 ( − x2 + x + 6)的单调递减区间为( ) A．( − ∞, 1 2 ) B．( − 2, 1 2 ) C．( 1 2 , + ∞) D．( 1 2 , 3) 【答案】B【解】由− x2 + x + 6 > 0得，−2 < x < 3；所以 f(x) = log1 3 ( − x2 + x + 6)定义域为  2,3 令 t =− x2 + x + 6，则 y = log1 3 t单调递减；又 t =− x2 + x + 6在( − 2, 1 2 )上单调递增，在( 1 2 , 3)上单调递减 由复合函数单调性得函数 f(x) = log1 3 ( − x2 + x + 6)的单调递减区间为( − 2, 1 2 )；故选：B. 二、多项选择题 9.奇函数  =y f x 在  4 0x  ， 的图像如图所示，则下列结论正确的有( ) 第 3 页 共 10 页 A．当  0 4x ， 时，    2 2f x   ， B．函数  f x 在  2 4， 上递减 C． 1 32 2f f            D．函数  f x 在 1 12 22 2             ， ， ， 上递增 【答案】ABD【解】图像可知：  4,0x  时，    2,2f x   ，  f x 在   14, 2 , ,02       递减，在 12, 2     上递增， 所以根据奇函数性质，当  0 4x ， 时，    2 2f x   ， ，A 正确； 当 0x  时，  f x 在   12,4 , 0, 2      递减，在 1 ,2 2      上递增，故 BD 正确. 由于  f x 在 1 , 22      上递增，所以 1 3 2 2 f f           ，故 C 错误；故选：ABD 10．下列命题中真命题的有( ) A．函数   2 3f x x   在 1,3 上是减函数，最小值是 9 B．函数   2f x x   在  1,2 上是增函数，最大值为 1 C．函数   2 2f x x x  在 0,2 上先增后减，最小值为 0 D．函数   2 , 0 , 0 x x f x x x     的定义域是R ，值域是  0,  【答案】ABD【解】对于 A：函数   2 3f x x   在 1,3 上是减函数，最小值是  3 9f   ，正确； 对于 B：函数   2f x x   在  1,2 上是增函数，最大值为  2 1f   ，正确； 对于 C：函数   2 2f x x x  在 0,1 上递减，在  1,2 上递增，最小值为  1 1f   ，错误； 对于 D：   2 , 0 , 0 x x f x x x     定义域是R ，当 0x  时，   0f x  ，当 0x  时，   0f x  ，即值域是 0,  ，正确. 故选：ABD. 11．已知定义域为 D的函数 2( ) 4 3f x x x   其值域为 −1,3 ，则定义域 D可能是( ) A． (1,4] B． (0, 2] C．[1,3] D．[0,3] 【答案】AD【解】先作出函数 2( ) 4 3f x x x   在 R 上的图象，如图所示： 结合函数图象可知当函数值域为 −1,3 时，选项 A、D 正确；故选：AD. 第 4 页 共 10 页 三、填空题 12．设函数 f(x) = 1, x > 0, 0, x = 0, −1, x < 0, g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的单调递减区间是__________． 【答案】[0,1) 【解】由题意知 g(x) = x2, x > 1, 0, x = 1, − x2, x < 1, 该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)． 13．已知函数   23f x x x  ，若    3 1 16 2f a f a   ，则实数 a的取值范围是 . 【答案】 − 1 3 , 3)【分析】先由解析式的和式结构判断函数的单调性，再利用函数单调性解抽象不等式. 【解】   23f x x x  的定义域为 0,  ， 又 23 ,y x y x  在  0,  上单调递增，所以  f x 在 0,  上单调递增， 由    3 1 16 2f a f a   ，得0 3 1 16 2a a    ，解得 1 3 3 a   ，故答案为： − 1 3 , 3). 14.函数   21 2 3 2 f x x x    的增区间为 【答案】  , 3  【解】函数  f x 的定义域为 2 2 3 0x x   ，解得 3x x   或 1x 设 1 2 y u  在定义域内单调递减， 2 2 3u x x   在  1, 上单调递增，在  , 3  上单调递减， 所以函数   21 2 3 2 f x x x    的增区间为  , 3  ，故答案为：  , 3  四、解答题 15．已知函数 2( ) 2 1f x x ax   . (1)若 (1) 2f  ，求实数 a的值，并求此时函数  f x 的最小值； (2)若  f x 在 ( ,4] 上是减函数，求实数 a的取值范围. 【分析】(1)由 (1) 2f  求出 a的值，再利用二次函数的性质可求出其最小值； (2)先求出  f x 的减区间，再根据  f x 在 ( , 4) 上是减函数，可求出实数 a的取值范围. 【解】(1)由题可知， (1) 1 2 1 2f a    ，即 1a  ， 此时函数 2 2( ) 2 1 ( 1) 2 2f x x x x        ， 故当 = 1x  时，函数 min ( ) 2f x   . (3)函数 2( ) 2 1f x x ax   的单调减区间是 ( , ]a  ， 而 ( )f x 在 ( ,4] 上是减函数， 4 a   ，即 4a   ， 第 5 页 共 10 页 故实数 a的取值范围为 ( , 4]  . 16.已知函数 1( ) 2f x x   ． (1)求 ( )f x 的定义域；(2)用定义法证明：函数 1( ) 2f x x   在 (0, ) 上是减函数； (3)求函数 1( ) 2f x x   在区间 1[ 2 ,10]上的最大值． 【分析】(1)利用函数式有意义求出定义域即得.(2)利用函数单调性定义推理即得. (3)利用函数单调性求出最大值. 【解】(1)函数 1( ) 2f x x   有意义， 0x  ， 所以函数 1( ) 2f x x   的定义域为 ( ,0) (0, )  . (2) 1 2 1 2, (0, ),x x x x    ， 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1( ) ( ) 2 ( 2) x xf x f x x x x x        ， 因为 1 20 x x  ，则 2 1 0x x  ，即 1 2( ) ) 0(f x f x  ， 1 2( ) ( )f x f x ， 所以函数 1( ) 2f x x   在 (0, ) 上是减函数. (3)由(2)知，函数 1( ) 2f x x   在 1[ 2 ,10]上是减函数， 所以 max 1( ) ( ) 0 2 f x f  题组 2 考点突破 思维拓展 一、单项选择题 1.已知函数 f(x) = 2x2 − tx + 1 在区间 1,  上单调递增，则  1f 的取值范围是( )． A． 7, B．  7, C．  ,7 D．  ,7 【答案】A【解】f(x) = 2x2 − tx + 1 的对称轴是 x = t4，因为函数在区间 1,  上是增函数， 所以 t 4 ≤− 1，解得 t ≤− 4，所以 f(1) = 3 − t ≥ 3 + 4 = 7，故选：A． 2．函数    2 1 2f x ax a x    在区间  ,1 上是减函数，那么实数 a的取值范围是( ) A． 0,1 B． 1, C．[ ]0,1 D．  0,1 【答案】C【解】当 0a  时，    2 1 2 2f x ax a x x       在 R上递减， 故在  ,1 上递减，故 0a  成立． 第 6 页 共 10 页 当 0a  时，二次函数    2 1 2f x ax a x    的对称轴为  1 1 2 2 a ax a a       ， ∴要使    2 1 2f x ax a x    在区间  ,1 上是减函数，则必有 0a  且对称轴 1 1 2 a a   ，即 1 2a a  ， 解得0 1a  ，综上，0 1a  ，即 a的取值范围是[0,1]．故选：C． 3.函数� � = � �−1 ，� ≤ 0, , − �2 − (� + 1)� + 2�，� > 0, 在 R 上单调递减，则实数�的取值范围是( ) A． −1，0 B． −1，0 C． −1， +∞ D． −1， +∞ 【答案】B【分析】由分段函数单调性列不等式组求解 【解】 � �−1 = 1 + 1 �−1 ，故�(�)在( − ∞，0]上单调递减， 由题意得 −(�+1) 2 ≤ 0 0 0−1 ≥ 2� 解得−1 ≤ � ≤ 0，故选：B 4.已知� � = �� − 1，(� < �) (� − 2)2， � ≥ � 的值域为�，则�的最小值为( ) A．0 B．2 C．5 4 D．1 【答案】D【分析】首先判断� > 0，再分 0 < � ≤ 2和� > 2 两种情况讨论，求出�的取值范围，即可得解. 【解】因为� � = �� − 1，(� < �) (� − 2)2， � ≥ � 的值域为�， 当� = 0 时� � = −1，(� < 0) (� − 2)2， � ≥ 0 ，显然值域不为 R，故舍去； 当� < 0 时函数� = �� − 1 � < � 单调递减，即�� − 1 > �2 − 1， 又� = � − 2 2 ≥ 0，函数� � 的值域不为 R，故舍去； 所以� > 0，此时当� < �时� � = �� − 1，函数单调递增， 又函数� = � − 2 2在 −∞，2 上单调递减，在 2， +∞ 上单调递增，且� = 2 时� = 0， 当 0 < � ≤ 2时，只需满足 � 2 − 1 ≥ 0 0 < � ≤ 2 ，解得 1 ≤ � ≤ 2， 当� > 2 时，只需满足 � 2 − 1 ≥ � − 2 2 � > 2 ，解得� > 2， 综上可得� ≥ 1，即�的最小值为 1.故选：D 5.若函数    21 2 log 6 5f xx x    在区间  3 2, 2m m  内单调递增，则实数 m的取值范围为( ) A． 5 3 , 2) B． 5 3 , 2 C． 5 3 , 3 D． 5 3 , + ∞) 【答案】D【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【解】由已知得 2 6 5 0x x    ，解之得  1,5x ，即  f x 的定义域为  1,5 ， 又  f x 在区间  3 2, 2m m  内单调递增，根据复合函数的单调性， 可得： 3 2 3 3 2 2 5 m m m        ，解得 5 2 3 m  ．故选：D 第 7 页 共 10 页 6.已知函数�(�) = ln 2−� − �3，则不等式    23 2 5f x f x   的解集为( ) A．  4, 2 B．  , 2 C．    , 2 2,     D．    , 4 2,     【答案】D【解】易知函数� � = ln 2−� − �3 =− �ln 2 − �3在 R 上单调递减(减+减)， 而    23 2 5f x f x   ，所以       23 2 5 2 4 0 , 4 2,x x x x x             .故选：D. 7.关于 y 轴对称的函数 f(x)在  0,  上是增函数，且  2 0f  ，则不等式�(�) � > 0的解集为( ) A.    2,0 0,2  B.    , 2 2,   C.    , 2 0,2   D.    2,0 2,  【答案】D【解】当 0x  时，�(�) � > 0可化为 ( ) 0f x  ， 又 ( )f x 关于 y 轴对称且 (2) 0f  ，所以不等式 ( ) 0f x  可化为 (| |) (2)f x f ， 因为  f x 在  0,  上是增函数，所以 | | 2x  ，解得 2x  ； 当 0x  时，�(�) � > 0可化为 ( ) 0f x  ， 又 ( )f x 关于 y 轴对称且 (2) 0f  ，所以不等式 ( ) 0f x  可化为 (| |) (2)f x f ， 因为  f x 在  0,  上是增函数，所以 | | 2x  ，解得 2 0x   ； 综上所述：不等式 �(�) � > 0的解集为    2,0 2,  .故选：D 8.函数 f(x) = ex +m, x < m, x2 + 2mx, x ≥ m,若 f(x)不存在最小值，则实数 m 的取值范围是( ) A． ( 1,0) B．( 1 3 , + ∞) C．( − 1,0) ∪ ( 1 3 , + ∞) D．( − 1 3 , 0) ∪ (1, + ∞) 【答案】C【解】(1)当 m < 0 时，若 x < m，则 f(x) = ex +m在( − ∞,m)上递增，所以 m < f(x) < em +m； 若 x ≥ m，则 f(x) = x2 + 2mx = (x + m)2 −m2 ≥−m2，当且仅当 x =− m时取等号， 因为  f x 不存在最小值，所以−m2 > m，所以−1 < m < 0， (2)当 m ≥ 0时，若 x < m，则 f(x) = ex +m在( − ∞,m)上单调递增，所以 m < f(x) < em +m； 若 x ≥ m，则 f(x) = x2 + 2mx = (x + m)2 −m2 ≥ f(m) = 3m2，当且仅当 x =− m时取等号， 因为 f(x)不存在最小值，所以 3m2 > m，所以 m > 1 3 ，所以 m ∈ ( − 1,0) ∪ ( 1 3 , + ∞)，故选：C. 二、多项选择题 9．若定义域为 R 的函数 f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且 f(x)关于直线 x＝4 对称，则( ) A.f(2)>f(3) B.f(2)＝f(6) C.f(3)＝f(5) D.f(3)>f(6) 【答案】BCD【解】∵y＝f(x)关于直线 x＝4 对称，∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5). 又 y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6). 10．已知函数 2 3( ) 4 xf x x    ，则下列叙述正确的是( ) A． ( )f x 的值域为    , 4 4,    B． ( )f x 在区间  , 4  上单调递增 C．  ( ) 8 4f x f x    D．若  4,x x x x Z    ，则 ( )f x 的最小值为-3 【答案】BCD【解】函数  2 4 52 3 5( ) 2 4 4 4 xxf x x x x          ， 第 8 页 共 10 页 A. ( )f x 的值域为    , 2 2,  ，故错误； B. ( )f x 在区间  , 4  上单调递增，故正确； C.   2 3( ) 8 134 4 4 2x x x f x f x x          ，故正确； D. 因为  4,x x x x Z    ，则 ( )f x 的最小值为 ( 3) 3f    ，故正确；故选：BCD 11.已知   1f x x  ，   22 xg x a  ，若对任意  1 3, 4x  ，存在  2 3,1x   ，使    1 2f x g x ，则实数 a的取 值可以是( ) A． 1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC【分析】结合函数单调性求得    ,f x g x 的最小值，由题意可推出   minmin ( )f x g x ，故得到相 应不等式，求出 a的范围，即可求得答案. 【解】由题意  3,4x 时，   1 [4,5]f x x   ，即  min 4f x  ； 而   2 2 2 2 , 22 2 , 2 x x x a xg x a a x                ，故  g x 在 3, 2  上单调递减， 在 2,1 上单调递增， 所以  min ( 2) 1g x g a    ， 由于对任意  1 3, 4x  ，存在  2 3,1x   ，使    1 2f x g x ， 所以   minmin ( )f x g x ，即 4 1 , 3a a    ， 结合选项，故实数 a的取值可以是 1,2,3 ，故选：ABC 三、填空题 12．已知函数�(�) = e�−1, � ≤ 1 1 � − � + 1, � > 1，则�(�)的最大值为______． 【解】解：  ,1x   时，   1xf x e  单调递增，     1 1 11f x f e   ；  1,x  时，   1 +1f x x x   单调递减，   1 1+1 1 1 f x    . 所以  f x 的最大值为1．故答案为：1． 13．已知函数 f(x) = ( 1 2 )x2+��−1在  1,2 上单调递减，则实数 a的取值范围是 . 【答案】  2,  【解】令 2 1t x ax   ，则 y = ( 12 ) t. 因为 2 1t x ax   在 , 2 a      上单调递减，在 ,2 a    上单调递增， 又因为 y = ( 1 2 )t在 R 上单调递减， 所以  f x 在 , 2 a      上单调递增，在 ,2 a    上单调递减. 因为  f x 在 1,2 上单调递减，所以有 1 2 a   ，解得 2a   ；故答案为： 2,  14．函数 ( 3) 5, 1 ( ) 2 , 1 a x x f x a x x       满足对任意 1 2x x， ，都有  1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0f x f x x x   成立，则a的取值范围是______. 【答案】  0,2 【解】由 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0f x f x x x   可知：  f x 为单调递减函数， 第 9 页 共 10 页 故 3 0a   ，2 0a  ，且   23 1 5 1 aa     ，解得：0 2a  ， 则 a的取值范围是  0,2 .故答案为：  0,2 . 四、解答题 15．如图，定义在  1,  上的函数  f x 的图象由一条线段及抛物线的一部分组成． (1)求  f x 的解析式；(2)指出  f x 的单调区间；(3)直接写出  f x 的值域． 【解】(1)当 1 0x ≤ ≤ 时，设解析式为 y kx b  ，由图象有 −� + � = 0,� =− 1, 解得 k = b = 1， ∴ 1y x  ，当 0x  时，设解析式为  22 1y a x   ． ∵图象过点  4,0 ，∴  20 4 2 1a   ，解得 1 4 a  ，∴  21 2 1 4 y x   ， 综上，函数  f x 在  1,  上的解析式为 f(x) = x + 1, − 1 ≤ x ≤ 0, 1 4 (x − 2)2 − 1, x > 0 (2)由图知单调增区间为：  1,0 ， 2, ；单调减区间为：  0, 2 ． (3)由图可知，其值域为 1,  ． 16．已知函数    2 2 5 1f x x ax a    . (1)若  f x 的定义域和值域均是 1,a ，求实数 a的值； (2)若   2 1 1 x xg x x     ，且对任意的  0,1x ，都存在  0 0,1x  ，使得    0f x g x 成立，求实数 a的取值范围. 【解】(1)因为    22 22 5 5f x x ax x a a       ，可知  f x 的开口向上，对称轴为 x a ， 则  f x 在  ,a 上单调递减，且 1a  ，所以  f x 在 1,a 上单调递减， 可得     2 2 1 1 2 5 2 5 1 f a a f a a a           ，解得 2a  ； (2)因为   2 1 1 1 1 x xg x x x x        ， 又因为 1, 1     y x y x 在 0,1 上单调递增，可知  y g x 在 0,1 上单调递增， 且     10 1, 1 2   g g ，所以当  0,1x 时，   11, 2 g x      ， 又因为  f x 在  0,1 上单调递减，且    0 5, 6 2  f f a a， 所以当  0,1x 时，    6 2 ,5f x a  ， 第 10 页 共 10 页 因为对任意的  0,1x ，都存在  0 0,1x  ，使得    0f x g x 成立， 则  11, 6 2 ,5 2 a      可得6 2 1a ≤ ，解得 7 2 a  ，所以实数 a的取值范围为 7 , 2    .