第一章《三角形的证明》章节测试卷2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第一章《三角形的证明》章节测试卷 2024-2025学年北师大版数学八年级下册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，AB∥CD，AD⊥CD于D，AE⊥BC于E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于(    ) A．50° B．60° C．70° D．80° 2．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（　　） A．cm2 B．2cm C．3cm2 D．4cm2 3．如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝55°，则∠C的度数是(    ) A．55° B．45° C．35° D．65° 4．已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是(    ) A．22cm和16cm B．16cm和22cm C．20cm和16cm D．24cm和12cm 5．在平图直角坐标系中，点，，，若是等腰直角三角形，且，当时，点C的横坐标m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②长方形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是(    ) A．①②④ B．②④ C．①④ D．②③ 7．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于点D，若AC=12，则BD=（    ） A．6 B．16 C．18 D．20 8．已知点在线段上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接与相交于点，连接与相交于点，连接、，则①；②≌；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；以上结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 9．在直角三角形中，其中一个锐角是22°，则另外一个锐角是 ． 10．如图，在△ABC中，，，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF//AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ． 11．已知，P是射线上一动点（即P点可在射线上运动），．设．则x满足条件 时，为钝角三角形． 12．如图，已知∠AOB=90°, ∠COD=90°,OE为∠BOD的角平分线，∠BOE=25°,则∠AOC=     13．如图，△ACE中，AC＝AE，延长EC至点B，BD⊥AE交EA的延长线于点D，若∠BAD＝∠CAE，AB＝6，AE＝2，则AD的长为 . 三、解答题 14．已知：是线段的垂直平分线，C，D是上的两点．求证： （1）是等腰三角形； （2）． 15．如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，求作⊙P，使它经过O、C两点，且圆心P恰好在∠AOB的角平分线上（尺规作图，保留痕迹，不需要写出作法）. 16．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．    17．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．求证：． 18．已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分线． （1）如图1，当∠COE＝40°时，求∠AOB的度数； （2）当OE⊥OA时，请在图中画出射线OE，OB，并直接写出∠AOB的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章《三角形的证明》章节测试卷 2024-2025学年北师大版数学八年级下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A A D A C D 1．C 【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可以判定AC平分∠BCD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，然后得到∠BCD的度数，然后根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】∵AD⊥DC，AE⊥BC于，AD=AE， ∴AC平分∠BCD， ∵∠DAC=35°， ∴∠ACD=90°-35°=55°， ∴∠BCD=2∠ACD=2×55°=110°， ∵AB∥CD， ∴∠B=180°-∠ACD=180°-110°=70°． 故选C． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与平行线的性质，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”判定出AC平分∠BCD是解题的关键． 2．A 【分析】根据等边三角形面积公式S=,即可解题. 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，边长=2, ∴S==, 故选A 【点睛】本题考查求等边三角形的面积,属于简单题，熟悉等边三角形面积公式是解题关键. 3．A 【分析】根据DE∥BC，得到∠1=∠B，由AB=AC，可得∠B=∠C，即可判断出∠C的度数是多少． 【详解】∵DE∥BC，∠1＝55°， ∴∠B =∠1＝55°，， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠C=55°， 故选A． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，还考查了平行线的性质，熟练掌握相应性质是解答此题的关键． 4．A 【分析】根据已知条件作出图像，连接BD，根据垂直平分线的性质可得BD=AD，可知两三角形的周长差为AB，结合条件可求出腰长，再由周长可求出BC，即可得出答案． 【详解】如图，连接BD， ∵D在线段AB的垂直平分线上， ∴BD=AD， ∴BD+DC+BC=AC+BC=38cm， 且AB+AC+BC=60cm， ∴AB=60-38=22cm， ∴AC=22cm， ∴BC=38-AC=38-22=16cm， 即等腰三角形的腰为22cm，底为16cm． 故选A． 【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线再来解答． 5．D 【分析】过点C作轴于D，可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∵点， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 6．A 【分析】此题着重考查全等全等三角形拼接问题，两个全等三角形拼接一定可得平行四边形，又有直角可得矩形，两条直角边放一块则为等腰三角形，但不一定可得正方形．可找两个全等的直角三角形拼接一下，验证便知． 【详解】两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）； 若为等腰直角三角形，则可拼成正方形； 所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成． 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的拼接问题；理解全等三角形的性质，会解决一些简单的拼接计算问题，可用三角板动手操作． 7．C 【分析】求出∠ACD=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD、AB，然后根据BD=AB-AD计算即可得解． 【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD=∠B=30°， ∵AC=12， ∴AD=AC=×12=6，AB=2AC=2×12=24， ∴BD=AB-AD=24-6=18． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，掌握性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 8．D 【分析】依据等边三角形的性质，判定△BCD≌△ACE，△ACN≌△BCM，△BCF≌△ACO，再分别依据全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高相等，即可得到正确的结论． 【详解】解：∵三角形ABC和三角形DCE都是等边三角形， ∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=∠ACE=120°， ∴△BCD≌△ACE(SAS)， ∴AE=BD，故①正确； ∴∠CBM=∠CAN， 又∵∠BMC=∠AMO， ∴∠AOB=∠ACB=60°， ∴∠BOE=180°−60°=120°，故③正确； ∵∠CBM=∠CAN，∠BCM=∠ACN=60°，BC=AC， ∴△ACN≌△BCM(ASA)，故②正确； ∴CM=CN， 又∵∠MCN=60°， ∴△MCN是等边三角形，故④正确； 如图，过C作CG⊥BD，CH⊥AE， ∵△BCD≌△ACE， ∴△BCD中BD边上的高与△ACE中AE边上的高对应相等， 即CG=CH， ∴点C在∠BOE的角平分线上， 即CO平分∠BOE，故⑤正确； 如图，在BO上截取OF=OC，则△COF是等边三角形， ∴CO=CF=OF，∠BFC=120°=∠AOC， 又∵∠CAO=∠CBF，AC=BC， ∴△BCF≌△ACO(AAS)， ∴BF=AO， ∴BO=BF+OF=AO+CO，故⑥正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判断的综合运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 9．68° 【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】∵直角三角形一个锐角为22°， ∴另一个锐角的度数=90°-22°=68°． 故答案为68°． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 10．5 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，根据等角对等边求出AD=DF，求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°， ∵DF∥AB， ∴∠F=∠BAE=30°， ∴∠DAE=∠F=30°， ∴AD=DF， ∵∠B=90°-60°=30°， ∴AD=AB=×10=5， ∴DF=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键． 11．或 【分析】分两种情况，当和时，根据直角三角形的性质分别求得的长，再根据钝角三角形的定义解答． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴当或时，为钝角三角形， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 12．130° 【分析】直接利用角平分线的定义结合度分秒换算方法分析得出答案． 【详解】解：∵OE为∠BOD的平分线， ∴2∠BOE=∠BOD， ∵∠BOE=25°， ∴∠BOD=50°， ∵∠AOB=∠COD=90°，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°， ∴∠AOC=360°-∠AOB-∠COD-∠BOD， =360°-90°-90°-50°， =130°． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及度分秒的换算，正确理解相关定义是解题关键． 13．2 【分析】延长AD至点G，使得AD=DG，连接BG，即有BD垂直平分AG，则有AB=BG，∠BAD=∠BGD；再证明，则有∠GBE=∠ACE，根据AC=AE，有∠ACE=∠AEC，进而有∠GBE=∠AEC，则BG=GE，即可求解． 【详解】延长AD至点G，使得AD=DG，连接BG，如图， ∵BD⊥AG，AD=DG， ∴BD垂直平分AG， ∴AB=BG， ∵AB=6， ∴BG=6， ∴∠BAD=∠BGD， ∵∠BAD=∠CAE， ∴∠CAE=∠BGD， ∴， ∴∠GBE=∠ACE， ∵AC=AE， ∴∠ACE=∠AEC， ∴∠GBE=∠AEC， ∴在△GBE中，有BG=GE， ∵BG=6， ∴GE=6， ∵AE=2，AD=DG，GD+AD+AE=GE， ∴AD=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、平行的判定与性质、等角对等边以及等边对等角的知识，构造辅助线BG，证明BG=GE是解答本题的关键． 14．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上的两点，根据线段垂直平分线的性质，即可证得△ABC，△ABD是等腰三角形； （2）由△ABC，△ABD是等腰三角形，根据等等边对等角的性质，即可证得结论． 【详解】 】解：（1）∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上的两点． ∴AC=BC，AD=BD， 即△ABC，△ABD是等腰三角形； （2）∵AC=BC，AD=BD， ∴∠CAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA， ∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA， 即∠CAD=∠CBD． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 15．见解析 【答题空17-1】见解析 【详解】首先作出∠AOB的角平分线，再作出OC的垂直平分线，两线的交点就是圆心P，再以P为圆心，PC长为半径画圆即可． 解：如图所示： ． 16．证明见解析 【详解】试题分析：首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D． 试题解析：∵AB=AC=AD， ∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD. ∴∠ABC=∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC， ∴∠CBD=∠D.∴∠ABC=2∠D. 又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D. 17．证明见解析 【分析】如图，连接证明 再求解 可得 从而可得答案. 【详解】证明：如图，连接 的垂直平分线分别交于点D，E， 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半”是解本题的关键. 18．(1) 110°;(2)作图见解析, ∠AOB＝150°． 【详解】试题分析：(1)由OE为角平分线,得到∠COB＝2∠COE,由的度数求出∠COB的度数,再由∠AOB＝∠AOC＋∠COB即可求出∠AOB的度数; (2)作出相应的图形,如图所示,由OE垂直于OA,根据∠AOC度数求出∠EOC 的度数,同理可得出∠AOB的度数. 解：（1）∵OE是∠COB的平分线（已知）， ∴∠COB＝2∠COE（角平分线定义）． ∵∠COE＝40°， ∴∠COB＝80°．             ∵∠AOC＝30°， ∴∠AOB＝∠AOC＋∠COB＝110°． （2）如右图：     ∵∠AOC=30°,OE⊥OA, ∴∠COE=60°. ∵OE是∠COB的平分线, ∴∠COB=2∠COE=120°. ∵∠AOC=30°, ∴∠AOB=∠AOC+∠COB=30°+120°=150°. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$