第一章三角形证明章节期中复习　　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

第一章三角形证明章节期中复习北师大版2024—2025学年八年级下册 一、选择题 1．若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．12或9 D．11 2．已知a、b、c分别为△ABC的三条边，下列条件不能判别△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．c2﹣a2＝b2 C．∠C﹣∠B＝∠A D．a：b：c＝2.5：6：6.5 3．如图，是屋顶的剖面图，屋檐AB＝AC＝5米，横梁BC＝8米，在横梁BC上的一点D处要支一根木头顶住屋顶A处，则这根木头需要长度可能是（　　） A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米 4．若一个等腰三角形的一个外角为105°，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　） A．30° B．30°或70° C．30°或70°或75° D．30°或75° 5．如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AD＝4，△AEC的周长为17，则△ABC的周长为（　　） A．20 B．21 C．25 D．30 6．如图，BD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则△ABD的面积是（　　） A．30 B．20 C．15 D．10 第5题图 第6题图 第3题图 7．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（　　） A．△ABC三边中线的交点 B．△ABC三个角的平分线的交点 C．△ABC三边高线的交点 D．△ABC三边垂直平分线的交点 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，点D为BC中点，点P以每秒1个单位的速度从B出发沿B→A→C运动．当△PCD为等腰三角形时，t的值为（　　） A．或18 B．或18或19 C．或18或19或 D．或18或19或20 第9题图 第8题图 第7题图 二、填空题 9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，则S△ABD：S△ACD＝　 　 ． 10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若∠B＝2∠C，△ABD的周长为12，△ACD的面积为16，则AD的长为　 　 ． 11．直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为 　 　 ． 12．等腰三角形腰长为5，腰上的高为4，则这个等腰三角形的底边长为　 　 ． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　 ． 14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P，O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为　 　 ． 15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是 　 　 ． 第15题图 第13题图 第10题图 三、解答题 16．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE＝AB． （1）若∠C＝35°，求∠BAE的度数； （2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求CD的长． 17．为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了∠ABC＝90°． （1）请写出施工人员测量的是哪两点之间的距离，以及确定∠ABC＝90°的依据； （2）若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 18．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F．连结AE，若∠AEF＝∠B． （1）求证：AE⊥AC； （2）求DE的长． 19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在边AC上运动，点D在边AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线，交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）求∠PDE的度数． （2）若AC＝6，BC＝8，EB＝4.5，求线段PA的长． 20．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD，作DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若AB＝7，AC＝5，S△ABC＝24，∠BAC＝60°，求AD的长． 21．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AC⊥BD，AO＝CO，E为AD边上一点，且BE＝BA，∠ABD＝2∠ADB＝2α． （1）求证：BE＝BC； （2）求∠CBE的度数（用含α的代数式表示）； （3）若AC＝2，DE＝2，求OD的长． 22．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：GA平分∠DGB； （2）若S四边形DGBA＝6，AF，求FG的长． 参考答案 一、选择题 1．【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时， ∵2+2＝4＜5， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时， ∴这个等腰三角形的周长＝5+5+2＝12； 综上所述：这个等腰三角形的周长为12， 故选：B． 2．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； B、∵c2﹣a2＝b2， ∴c2＝b2+a2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵∠C﹣∠B＝∠A， ∴， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵a：b：c＝2.5：6：6.5，设a＝2.5x，b＝6x，c＝6.5x， ∴c2＝42.25x2＝b2+a2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意， 故选：A． 3．【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵AB＝AC＝5米，BC＝8米， ∴BHBC＝4（米）， ∴AH3（米）， ∵AH≤AD＜AC， ∴这根木头需要长度可能是4米． 故选：C． 4．【解答】解：当105°的角是等腰三角形顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣105°＝75°； 当105°的角是等腰三角形底角的外角时，底角的度数为180°﹣105°＝75°，则顶角的度数为180°﹣75°﹣75°＝30°； 所以这个三角形的顶角的度数为30°或75°， 故选：D． 5．【解答】解：由作图可知：MN是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB，AB＝2AD＝8， ∵△AEC的周长为17， ∴AC+CE+EA＝17， ∴AC+CE+EB＝17，即AC+BC＝17， ∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17+8＝25， 故选：C． 6．【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥CB， ∴DE＝DC， ∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB10， ∵△ABC的面积＝△BCD的面积+△ABD的面积， ∴AC•BCBC•CDAB•DE， ∴AC•BC＝BC•CD+AB•DE， ∴8×6＝6CD+10DE， 解得：CD＝DE＝3， ∴△ABD的面积AB•DE10×3＝15， 故选：C． 7．【解答】解：设∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，OR⊥AC于R，如图所示： ∴OP＝OQ，OQ＝OR， ∴OP＝OQ＝OR， ∴点O在∠BAC的平分线上，点O就是度假村的位置， ∴度假村应修建在△ABC三个角的平分线的交点上． 故选：B． 8．【解答】解：连接AD，如图1所示， ∵AB＝AC，D为BC中点，BC＝10， ∴AD⊥BC，BD＝CD＝5， ①当点P在BA上时，∠PDC＞∠ADC＝90°， ∴△PCD为等腰三角形时，只有PD＝CD， ∴PD＝BD， 过D作DQ⊥BP于Q，如图2所示， 则有BP＝2BQ， ∵cosB，即， 解得：BQ， ∴BP2， 此时t1； ②当点P在AC边上时， ∵△PCD为等腰三角形， ∴CD＝CP或DP＝CP或CD＝DP， 当CD＝CP＝5时，如图3所示， t＝（12×2﹣5）÷1＝19； 当DP＝CP时，如图4所示，过P作PQ⊥DC于Q， 则CQCD， ∵cosC，即， 解得：CP＝6， 此时t＝（2×12﹣6）÷1＝18； 当CD＝DP时，如图5所示，过D作DQ⊥CP， 则CP＝2CQ， ∵cosC，即， 解得：CQ， ∴CP＝2， 此时t＝（2×12）÷1， 综上所述，t的值为或18或19或． 故选：C． 二、填空题 9．【解答】解：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC， ∴根据角平分线的性质得，DM＝DN， ∵AB＝8，AC＝6， ∴根据三角形的面积公式得，，即S△ABD：S△ACD的值为4：3． 10．【解答】解：如图：在CD上取一点E，使得AE＝CE，连接AE， ∴∠C＝∠CAE， ∴∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C， ∵∠B＝2∠C， ∴∠B＝∠AEB， ∴AB＝AE， 由条件可知BD＝DE， ∵C△ABD＝12， ∴C△AED＝AE+AD+ED＝12， ∵AE＝CE， ∴DC+AD＝12， 设AD＝x，则DC＝12﹣x， ∵△ACD的面积为16， ∴，即，解得：x1＝8或x2＝4， 当x1＝8，即AD＝8时，DC＝12﹣x＝4， ∵AD＜AE，AE＝CE， ∴AD＜CE＜CD， ∴AD＝8不符合题意； 当AD＝4时，DC＝12﹣x＝8， ∵AD＜AE，AE＝CE， ∴AD＜CE＜CD， ∴AD＝4符合题意． 故答案为：4． 11．【解答】解：设斜边上的高为h，直角三角形两直角边长分别为3和， ∴斜边长为， ∴， ∴． 故答案为：． 12．【解答】解：如图1，顶角是钝角时， 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣42＝9， 所以AD＝3， DB＝AB+AD＝5+3＝8． 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2＝DB2+DC2＝82+42＝80， 所以BC＝4； 如图2，顶角是锐角时， 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣42＝9， 所以AD＝3（负值已舍）， ∴DB＝AB﹣AD＝5﹣3＝2， 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2＝DB2+DC2＝22+42＝20， 所以BC＝2（负值已舍）； 综上可知，这个等腰三角形的底的长度为4或2． 故答案为：4或2． 13．【解答】解：如图，连接BP， 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8， ∴BD＝DC， ∴BP＝PC， ∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ， ∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小， ∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小， 令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a， ∵BQ'⊥AC， ∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2， 即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2， 解得a， ∴BQ'， ∴PC+PQ的最小值为， 故答案为：． 14．【解答】解：如图： 如图，当OA＝OP时，可得P1、P2满足条件； 当PA＝PO时，可得P3满足条件； 当AO＝AP时，可得P4满足条件． 满足条件的点P有四个． 故答案为：4． 15．【解答】解：如图，连接AC， ∵S1＝8，S2＝11，S3＝15， ∴AD2＝8，AB2＝11，BC2＝15， 在Rt△ABC与Rt△ADC中，由勾股定理得， AC2＝AB2+BC2＝26， ∴CD2＝AC2﹣AD2， ∴CD2＝26﹣8＝18， ∴S4＝18， 故答案为：18． 三、解答题 16．【解答】解：（1）∵AE＝AB，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE，∠B＝∠AEB， ∵∠C＝35°，∠AED＝∠C+∠CAE， ∴∠AED＝2∠C＝70°， ∴∠BAE＝180°﹣2∠AEB＝180°﹣140°＝40°； （2）∵△ABC周长为20cm，AC＝8cm， ∴AB+BC＝20﹣8＝12（cm）， ∴AB+BE+EC＝12cm， ∵AE＝AB，AD⊥BC， ∴BD＝DE， ∵AB＝AE＝EC， 即2EC+2DE＝12cm， ∴CD＝6cm． 17．【解答】解：（1）施工人员测量的是AC的距离．依据：若AC＝15m，则∠ABC＝90°． 在△ABC中，AB2+BC2＝92+122＝225，AC2＝152＝225， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°． （2）在△ADC中，AD2+AC2＝82+152＝289，DC2＝172＝289， ∴△ADC为直角三角形，且∠DAC＝90°． ∴， ∴114×110＝12540（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元． 18．【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EF⊥BD， ∴∠AEF+∠AED＝90°， ∵∠AEF＝∠B，∠B＝∠C， ∴∠C+∠AED＝90°， ∴∠EAC＝90°， ∴AE⊥AC； （2）解：∵∠EAC＝90°， ∴AE2+AC2＝CE2， ∵CE＝CD+DE＝DE+8， ∴AE2＝CE2﹣AC2＝（DE+8）2﹣102， ∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴BD＝DC16＝8，BC＝16，AD⊥BC， ∴AD6， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2＝62+DE2， ∴（DE+8）2﹣102＝62+DE2， 解得：DE＝4.5． 19．【解答】解：（1）由条件可知∠A+∠B＝90°，∠A＝∠ADP， ∵EF是线段BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠BDE， ∴∠ADP+∠BDE＝∠A+∠B＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣（∠ADP+∠BDE）＝180°﹣90°＝90°； （2）连接PE， ∵BC＝8，EB＝4.5， ∴CE＝BC﹣EB＝8﹣4.5＝3.5，ED＝EB＝4.5， 设PA＝PD＝x，则CP＝6﹣x， ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴（6﹣x）2+3.52＝x2+4.52， 解得， ∴． 20．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠AFD＝90°， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE＝AF，DE＝DF， ∴点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵AB＝7，AC＝5， ∴， 又∵DE＝DF， ∴DE＝4， ∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC60°＝30°， ∴AD＝2DE＝2×4＝8． 21．【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，AO＝CO， ∴BD垂直平分线段AC， ∴AB＝BC， 又∵AB＝BE， ∴BE＝BC； （2）解：∵BD垂直平分线段AC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵∠ABD＝2∠ADB＝2α， ∴∠CBD＝∠ABD＝2α，∠ADB＝α， ∴∠BAO＝90°﹣2α，∠OAD＝90°﹣α， ∴∠AEB＝∠BAE＝180°﹣3α， ∴∠ABE＝180°﹣2（180°﹣3α）＝6α﹣180°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝4α﹣（6α﹣180°）＝180°﹣2α； （3）解：如图，连接CE、过点C作CF⊥AD于点F， ∵BD垂直平分线段AC， ∴CD＝AD，∠CDA＝2α， 设AE＝x，则CD＝AD＝x+2， ∵CB＝BE，∠CBE＝180°﹣2α， ∴∠CBE＝∠BEC＝α， ∴∠CED＝180°﹣（180°﹣3α+α）＝2α＝∠CDA， ∴CE＝CD， 又∵CF⊥DE， ∴DF＝EF＝1， ∴AF＝x+1， ∵AC2﹣AF2＝CD2﹣DF2， ∴（2）2﹣（x+1）2＝（x+2）2﹣12， 解得：x1＝2，x2＝﹣5（舍去）， ∴AE＝2， ∴AD＝4， 又∵OAAC， ∴OD． 22．【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H， ∵△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴S△ABC＝S△AED， 又∵AF⊥DE， 即DE×AFBC×AH， ∴AF＝AH， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG， ∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL）， ∴∠AGF＝∠AGH， 即GA平分∠DGB； （注：由AF＝AH，AF⊥DE，AH⊥BC，也可以直接得到GA平分∠DGB．） （2）∵△ABC≌△ADE， ∴AD＝AB， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH， ∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL）， ∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6， ∵Rt△AFG≌Rt△AHG， ∴Rt△AFG的面积＝3， ∵AF， ∴FG3， 解得FG＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $$