一次函数的性质 期末复习专题突破课件-2024-2025学年浙教版（2024）数学八年级上册

一次函数的性质 思维导图 知识要点： 1. 一次函数的性质：当k>0时，y随x的增大而增大，函数图象从左到右 上升；当k<0时，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降。 2. 一次函数y=kx+b（k≠0）中的系数k表示直线的斜率，若两条直线平 行，则k相同；系数b表示直线在y轴上的截距，当b>0时，直线与y轴交 于正半轴；当b<0时，直线与y轴交于负半轴。 1. 一次函数的性质包括图象的位置特征和函数的增减性，影响性质的关 键因素就是表达式中的k和b，具体为：（1）当k>0时，直线一定过第 一、三象限，并且y随x的增大而增大，当b>0时，直线还过第二象限， 当b<0时，直线还过第四象限。（2）当k<0时，直线一定过第二、四象限，并且y随x的增大而减小，当b>0时，直线还过第一象限，当b<0时，直线还过第三象限。 2. 直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移 | b | 个单位而得到。当b>0 时，向上平移；当b<0时，向下平移。若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，则k1=k2；若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2垂直，则k1k2=-1。 3. 一次函数与一次方程、一次不等式有深刻的内在联系，一次方程或不 等式分别着眼于数量之间的相等或不等关系，而一次函数则从研究数量 的变化规律方面将两者统一起来，并实现在一定条件下的相互转化。 知识点一：一次函数的增减性 已知一次函数y=3kx+2b（k≠0）的图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2）且x1≠x2，t=2（x1-x2）（y1-y2），当k<0时，t的取值范围是 （　　） A. t>0 B. t<0 C. t≥0 D. t=0 由k<0可得出3k<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大 而减小，结合点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y=3kx+2b上且x1≠x2，即可得出<0，进而可得出t<0。 当k<0时，3k<0，∴y随x的增大而减小。又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线y=3kx+2b上，且x1≠x2，∴（x1-x2）（y1-y2）<0。∴2（x1-x2）（y1-y2）<0，即t<0。故选B。 本题考查一次函数的性质，首先要掌握“当k>0时，y随x的增 大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小”，同时注意“y随x的增大而减 小”转化为数学语言为“对于直线上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），有 （x1-x2）（y1-y2）<0”。 已知点，（1，y2），（-2，y3）都在直线上，则y1，y2，y3的大小关系是（　A　） A. y2<y3<y1 B. y2<y1<y3 C. y1<y3<y2 D. y3<y2<y1 A 知识点二：函数值的大小比较或取值范围的确定 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是由函数y=x的图象平移得到，且经过点（-2，0）。 （1）求这个一次函数的表达式。 （2）当x>m时，对于x的每一个值，函数y=3x-4的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围。 （1）先根据直线平移时k的值不变得出k=，再将点（-2， 0）代入y=x+b，求出b的值，即可得到一次函数的表达式。（2）画出 图象，根据交点坐标结合图象即可求得。 （1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=x的图象平移得到，∴k=。又∵一次函数y=x+b的图象经过点（-2，0），∴-1+b=0。∴b=1。∴这个一次函数的表达式为y=x+1。 （2）解方程组得∴直线y=3x-4与直线y=x+1的交点为（2，2）。如图，由图象可知，当x>2时，对于x的每一个值，函数y=3x-4的值大于一次函数y=kx+b的值，∴m的取值范围是m≥2。 本题考查一次函数图象与几何变换及一次函数与方程、不等 式之间的关系，数形结合是解题的关键。 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y=（a+1）x-2（a≠-1）图象上不同的两点。 （1）若y1-y2=2（x1-x2），则a= ⁠。 【解析】（1）∵A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数图象上不同的两点，∴y1-y2=（a+1）x1-2-[（a+1）x2-2]=（a+1）（x1-x2）=2（x1-x2）。∵x1≠x2，∴a+1=2。∴a=1。故答案为1。 （2）若（x1-x2）（y1-y2）<0，则a的取值范围是 ⁠。 【解析】（2）∵（x1-x2）（y1-y2）=（a+1）（x1-x2）2<0，∴a+1<0。∴a<-1。故答案为a<-1。 1 a<-1 已知函数y其中m为常数，该函数的图象记 为G。 （1）当m=-2时，若点D（3，n）在图象G上，求n的值。 （2）当3-m≤x≤4-m时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值。 （3）已知点A（0，1），B（0，-2），C（2，1），当图象G与△ABC有两个公共点时，直接写出m的取值范围。 （1）根据已知条件代入求n的值。（2）分三种情况：①当 4-m<m时；②当m≤3-m时；③当3-m<m≤4-m时，根据函数的增减性求最大值和最小值，最后求出结果。（3）找出四个临界点：①当y=- x+m+1过点B时；②当图象G的最高点为A时；③当y=-x+m+1过点C时；④当y=x-+1过点B时。 （1）当m=-2时，函数y=∵点D（3，n）在图象G上，∴当x=3时，n=-5。 （2）①当4-m<m，即m>2时，对于函数y=x-+1，随着x的增大y也增大。 ∴当x=3-m时，函数有最小值y1=3-m-+1=-+4； 当x=4-m时，函数有最大值y2=4-m-+1=-+5。∴y2-y1=1， 不合题意。 ②当m≤3-m，即m≤时，对于函数y=-x+m+1，随着x的增大y反而减小， ∴当x=4-m时，函数有最小值y1=-（4-m）+m+1=-3； 当x=3-m时，函数有最大值y2=-（3-m）+m+1=-2。∴y2-y1=1，不合题意。 ③当3-m<m≤4-m，即<m≤2时，图象G从左到右先上升，再下降，即随着x的增大y值先增大，再减小。 当x=m时，y最大值=+1；当x=3-m时，y1=-+4；当x=4-m时， y2=-3。 当+1-=时，解得m=，此时-+4=，-3=，符合题意。 当+1-=时，解得m=，符合题意。 综上所述，m的值为。 （3）由题意得，图象G的最高点为，且其在直线y=x+1上运动。 如图，①当y=-x++1过点B时，图象G与△ABC有一个公共点，将（0，-2）代入，得+1=-2，解得m=-2。 ②当图象G的最高点为A时，图象G与△ABC有两个公共点，此时m=0。 ③当y=-x++1过点C时，图象G与△ABC有三个公共点， 将（2，1）代入，得-2++1=1，解得m=。 ④当y=x-+1过点B时，图象G与△ABC有一个公共点， 将（0，-2）代入，得-+1=-2，解得m=6。 综上所述，m的取值范围是-2<m≤0或<m<6。 本题考查一次函数性质、代入求值法，掌握解题时分情况讨 论，根据一次函数的增减性求最大值和最小值是解题的关键，其中合理 有效地分类讨论是本题难点。 1. 若一次函数y=-4x+3的图象过点（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），则（　C　） A. y1<y2<y3 B. y2<y1<y3 C. y3<y2<y1 D. y3<y1<y2 2. 已知在一次函数y=（2m-1）x+1中，y随x的增大而增大，则它的图象 不经过（　D　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C D 3. 已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y=（m-1）x图象上的两点，当x1<x2时，y1<y2，则m的取值范围是（　C　） A. m>0 B. m<0 C. m>1 D. m<1 4. 定义新运算：m⊗n=-mn+n，则对于函数y=x⊗2，下列说法正确的是（　A　） A. y随x的增大而减小 B. 该函数图象经过点（-2，-4） C. 当0<x<2时，0<y<4 D. 该函数图象不经过第四象限 C A 5. 若直线y=3x+4过点P（a，b），则-6a+2b+2022的值为 ⁠。 6. 规定：[k，b]是一次函数y=kx+b（k，b为实数，且k≠0）的“特征数”。若“特征数”为[m+1，m2-4]的一次函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则点（3+2m，1-m）所在的象限是第 ⁠象限。 2030 二 7. 若一次函数y=x+5的图象经过（a，b），（c，d）两点，则a（c-d）-b（c-d）= ⁠。 【解析】将（a，b），（c，d）分别代入y=x+5，得a+5=b，c+5=d，整理得a-b=-5，c-d=-5，∴a（c-d）-b（c-d）=（a-b）（c-d）=-5×（-5）=25。故答案为25。 25 8. 已知一次函数的图象经过点A（-8，0），B（0，6）。 （1）求一次函数的表达式。 【答案】（1）设一次函数的表达式为y=kx+b。将A（-8，0）和B（0，6）代入，得x+6。 （2）若点C（2a，y1），D（1-a，y2）在一次函数的图象上，y1<y2，求a的取值范围。 【答案】（2）∵y=>0，∴y随x的增大而增大。∵点C （2a，y1），D（1-a，y2）在一次函数的图象上，且y1<y2，∴2a<1-a，解得a<。 9. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=ax（a≠0）过点A（-2，1），直线l2：y=mx+n过点B（-1，3）。 （1）求直线l1的函数表达式。 【答案】（1）∵直线l1：y=ax（a≠0）过点A（-2，1）， ∴1=x。 （2）用含m的代数式表示n。 【答案】（2）∵直线l2：y=mx+n过点B（-1，3），∴3=-m+n。 ∴n=m+3。 （3）当x<2时，对于x的每一个值，函数y=ax的值都小于函数y=mx+n的值，求m的取值范围。 【答案】（3）由题意可知，当x=2时，2m+n≥-。 10. 已知过点（1，2）的直线y=mx+n（m≠0）不经过第四象限，设 t=m+3n，则t的取值范围是（　B　） A. 2<t<6 B. 2≤t<6 C. 2<t≤6 D. 2≤t≤6 【解析】∵过点（1，2）的直线y=mx+n（m≠0）不经过第四象限， ∴m>0，n≥0，m+n=2。∴m=2-n。∴解得0≤n<2。∴t=m+3n=2-n+3n=2+2n。∴2≤2n+2<6。∴t的取值范围是2≤t<6。故选B。 B 11. 对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时， max{a，b}=a；当a<b时，=b。如：max{5，5}=5，max{-3，2}=2。若关于x的函数为y=max{x+3，-x+1}，则该函数的最小值为 ⁠。 【解析】当x+3≥-x+1时，解得x≥-1，此时y=x+3。∵1>0，∴y随x的增大而增大。∴当x=-1时，y的最小值为2。当x+3≤-x+1时，解得x≤-1，此时y=-x+1。∵-1<0，∴y随x的增大而减小。∴当x=-1时，y的最小值为2。综上所述，当x=-1时，y的最小值为2。故答案为2。 2 12. 已知一次函数y=kx+4-2k（k为常数且k≠0）。 （1）若该一次函数的图象恒过点P，则点P的坐标为 ⁠。 【解析】（1）∵y=kx+4-2k=k（x-2）+4，且该一次函数的图象恒过点P，∴点P的坐标为（2，4）。故答案为（2，4）。 （2）若当-1≤x≤4时，函数y有最大值8，则k的值为 　 ⁠。 【解析】（2）由题意可知，当k<0时，图象过（-1，8），∴-k+4-2k=8，解得k=-；当k>0时，图象过（4，8），∴4k+4-2k=8，解得k=2。∴k的值为或2。 （2，4） 或2 13. 已知一次函数y=k（x-1）-1（k≠0）。 （1）求证：该函数图象过点（1，-1）。 【答案】（1）在y=k（x-1）-1（k≠0）中，令x=1，得y=-1，∴该函数图象过点（1，-1）。 （2）若点P（x1，y1），Q（x2，y2）在函数图象上，当（x1-x2）（y1-y2）<0时，求k的取值范围。 【答案】（2）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在一次函数y=k（x-1）-1（k≠0）的图象上，且（x1-x2）（y1-y2）<0，∴y随x的增大而减小。∴k<0。 （3）若当0≤x≤3时，-3≤y≤3，求k的值。 【答案】（3）由题意可知，当k>0时，点（0，-3），（3，3）在一次 函数y=k（x-1）-1（k≠0）的图象上，则有-k-1=-3，2k-1=3，解得k=2。当k<0时，点（0，3），（3，-3）在一次函数y=k（x-1）-1（k≠0）的图象上，则有-k-1=3，2k-1=-3，无解。∴k的值为2。 14. 设两个不同的一次函数y1=ax+b，y2=bx+a（a，b是常数，且ab≠0）。 （1）若函数y1的图象经过点（2，1），且函数y2的图象经过点（1， 2），求a，b的值。 【答案】（1）由题意得 （2）写出一组a，b的值，使函数y1，y2图象的交点在第四象限，并说明 理由。 【答案】（2）a=-4，b=1（答案不唯一）。理由如下：由题意得 ∴函数y1，y2图象的交点为（1，a+b）。若 交点在第四象限，则需要a+b<0，取a=-4，b=1。 （3）已知a=1，b=-1，点A（p，m）在函数y1的图象上，点B（q，n）在函数y2的图象上，若p+q=2，判断m和n的大小关系。 【答案】（3）若a=1，b=-1，则y1=x-1，y2=-x+1。∵点A（p，m）在函数y1的图象上，点B（q，n）在函数y2的图象上，∴p-1=m，-q+1=n。∴m-n=p-1-（-q+1）=p+q-2。∵p+q=2，∴m-n=0，即m=n。 15. 定义：我们将函数y叫作关于直线l：x=m的对称 函数。 （1）如图，关于直线l：x=1的对称函数y与x轴负半轴的交点为A，与x轴正半轴的交点为B，与直线l交于点C。 ①直接写出点A，B，C的坐标。 【答案】（1）①当y=-2x+4=0时，x=2。∴点B（2，0）。当y=2x+4=0时，x=-2。∴点A（-2，0）。当x=1时，y=-2x+4=2，∴点C（1，2）。 ②P为关于直线l的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当 S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标。 【答案】②∵A（-2，0），B（2，0），C（1，2），∴AB=4。∴S△ABC==4。∵S△ABP=，解得h=3。当点P在x轴上方时，点P的纵坐标为3， 把y=3代入y=2x+4，得3=2x+4，解得x=-当点P在x轴下方时，点P的纵坐标为-3，把y=-3代入y=2x+4，得-3=2x+4，解得x=- （2）当直线y=x与关于直线x=m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围。 【答案】（2）如图，由∴P（-4，-4）。由 。 $$