一次函数的图象 期末复习专题突破课件-2024-2025学年浙教版（2024）数学八年级上册

一次函数的图象 思维导图 1. 一次函数y=kx+b（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线。它与x轴的交点坐标是；与y轴的交点坐标是（0，b）。直线上任意一点 的坐标都满足函数表达式y=kx+b。 2. 一次函数y=kx+b图象的位置由系数k和b决定。当k>0时，图象一定经 过第一、三象限；当k<0时，图象一定经过第二、四象限。当b>0时，直 线与y轴交于正半轴；当b<0时，直线与y轴交于负半轴。 知识要点： 1. 一次函数的图象的画法：经过两点（0，b），或（1，k+b） 作直线y=kx+b。一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例 函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象。 2. 一次函数图象之间的位置关系：直线y=kx+b，可以看做由直线y=kx平移 | b | 个单位而得到。当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移。注 意：（1）如果两条直线平行，那么其比例系数相等；反之亦然；（2） 将直线平移，其规律是上加下减，左加右减；（3）两条直线相交，其 交点都满足这两条直线的函数表达式。 3. 一次函数图象与系数的关系：（1）k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在第 一、二、三象限；（2）k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在第一、三、四象 限；（3）k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在第一、二、四象限；（4）k<0， b<0⇔y=kx+b的图象在第二、三、四象限。 知识点一：画一次函数的图象 已知一次函数y=kx+4的图象经过点（-3，0）。 （1）求k的值。 （2）请在平面直角坐标系中画出该函数的图象。 （3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连结AP，则AP的最小值 为 　　　　。 （1）根据待定系数法即可求得。（2）利用两点即可画出函 数的图象。（3）线段AP的最小值，就是点A到已知直线的距离，可以根 据所构建的三角形面积相等来求AP的最小值。 （1）∵一次函数y=kx+4的图象经过点（-3，0），∴-3k+4=0， 解得k=。 （2）由函数y=kx+4可知直线与y轴的交点为（0，4），函数图象如图所 示，即图中直线BC。 （3）如图，过点A作AP⊥BC于点P，此时AP最小。∵A（2，0），B（0， 4），C（3，0），∴BC=5，AC=5。∵CA ⋅ OB=BC ⋅ AP，∴5×4=5AP。 ∴AP=4。 ∴AP的最小值是4。故答案为4。 本题考查一次函数图象的画法，一次函数的图象是一条直 线，因此只要在平面直角坐标系中找到图象上的两个点就可以确定函数 的图象。 已知一次函数y1=-2x+a与y2=x+b的图象都经过点A（2，0）， 且与y轴分别交于B，C两点。 （1）求a，b的值。 【答案】（1）将点A（2，0）的坐标分别代入y1=+a与y2=x+b，得 0=-4+a，0=2+b，解得a=4，b=-2。 （2）在同一平面直角坐标系中画出一次函数y1=-2x+a与y2=x+b的图象。 【答案】（2）由（1）得，y1=+4，y2=x-2，函数图 象如图。 （3）求△ABC的面积。 【答案】（3）当x=0时，y1=4，y2=-2，∴B（0，4），C（0，-2）。 ∴BC=4-（-2）=6。∵A（2，0），∴OA=2。∴ 。 知识点二：一次函数的图象与系数的关系 若一次函数y=2（1-k）x+k-1的图象不经过第二象限，则k的取值范 围是 　　　　。 根据一次函数y=2（1-k）x+k-1的图象不经过第二象限，可 知解不等式组即可。 根据题意得解得k<1。故答案为k<1。 本题考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象与系数的 关系是解题的关键，即一次函数的图象不经过第二象限，则一次项系数 k>0，常数项b0。 若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第一、三、四象限，则k 的取值范围是 （　B　） A. k>3 B. 0<k<3 C. k<0 D. k<3 如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2， 6），B（-4，-3），将一次函数图象向下平移5个单位后经过点（m，- 5），则m的值为 ⁠。 B -2　 知识点三：一次函数图象上点的坐标特征 定义：一次函数y=ax+b和一次函数y=-bx-a互为“逆反函数”，如 y=3x+2和y=-2x-3互为“逆反函数”。 （1）若点A（a，3）在y=x+2的“逆反函数”图象上，则a= 　　　　。 （2）若y=4x+3图象上一点B（m，n）也是它的“逆反函数”图象上的点， 求点B的坐标。 （3）若y=-2x+b和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b 的值。 （1）根据定义得到“逆反函数”为y=-2x-1，把A（a，3）代入 即可求得。（2）根据题意得到关于m，n的方程组，解方程组即可求 得。（3）求得两函数图象与y轴的交点以及两函数图象的交点，根据题 意得到 | b-2 | ×1=3，解得b=8或b=-4。 （1）∵y=x+2，∴y=x+2的“逆反函数”为y=-2x-1。∵点A（a， 3）在y=x+2的“逆反函数”图象上，∴3=-2a-1。∴a=-2。故答案为-2。 （2）∵y=4x+3，∴y=4x+3的“逆反函数”为y=-3x-4。∵y=4x+3图象上一点B （m，n）也是它的“逆反函数”图象上的点，∴解得 ∴B（-1，-1）。 （3）∵y=-2x+b，∴它的“逆反函数”为y=-bx+2。∴两函数与y轴的交点分别 为（0，b），（0，2）。由解得∴两函数图象 的交点为（-1，b+2）。 ∵y=-2x+b和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，∴ | b-2 | ×1=3。∴b=8或b=-4。 本题考查一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义、理解 “逆反函数”的含义并能利用点与图象的关系列出方程（组）是解题的关 键。 如图，已知直线l1：y=-x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将直线l1向下平移4个单位后得到直线l2，直线l2与x轴交于点C，与y轴交 于点D。 （1）求△AOB的面积。 【答案】（1）当x=0时，y=-x+6=6，∴点B的坐标为（0，6）。当y=- 。 （2）直线l2的函数表达式为 　　　　　。 【答案】（2）∵将直线l1向下平移4个单位后得到直线l2，∴直线l2的函数 表达式为y=-x+2。 （3）若P是线段AB上一点，且S△PBD=S△AOB，求点P的坐标。 【答案】（3）当x=0时，y=- S△AOB，S△AOB=24，∴S△PBD= 按要求完成下列问题。 （1）根据所学知识，在同一直角坐标系内作出函数y= | 3x-1 | 与 的图象。 （2）求方程的解。 （3）求（1）中两函数图象所围成的图形的面积。 （1）利用绝对值的性质结合分类讨论思想将函数y= | 3x-1 | 转化为一次函数，再利用描点法画图。（2）根据图象求解。（3）利用 割补法求面积。 （1）在同一直角坐标系内作出函数与 的图象如图。 （2）当3x-1≥0即x≥时，3x-1=x+1，解得x=0.8；当3x-1<0即x<时，1- 3x=x+1，解得x=0。∴原方程的解为x=0.8或x=0。 （3）两函数图象所围成的图形为△ABC，过点B作BD⊥x轴于点D，如图。 由（2）知A（0，1），B（0.8，1.4）。当y= | 3x-1 | =0时，x=， ∴∴OA=1，OD=0.8，OC=，CD=，BD=1.4。∴△ABC的面积为 ×（1.4+1）×0.8-×1×-××1.4=。 本题考查函数图象的画法和应用，能通过分类讨论将含绝对 值的函数转化为一次函数，并注意数形结合是解题的关键。 1. 已知点P（m，n）在第三象限，则直线y=nx+m大致是（　B　） A. B. C. D. 2. 将直线y=-2x+7向上平移2个单位后得到的直线的函数表达式为 （　C　） A. y=-2x+5 B. y=-2x-5 C. y=-2x+9 D. y=-2x-9 B C 3. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b1（k1≠0）与 y2=k2x+b2（k2≠0）的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是 （　D　） A. k1 ⋅ k2<0 B. k1+k2<0 C. b1-b2<0 D. b1 ⋅ b2<0 D 4. 若直线y=-4x+m与直线y=nx+2（n≠0）关于y轴对称，则直线y=mx+n与 坐标轴围成的三角形的面积为（　A　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【解析】∵直线y=-4x+m与直线y=nx+2（n≠0）关于y轴对称，∴m=2， n=4。∴直线y=mx+n的函数表达式为y=2x+4。令x=0，则y=4；令y=0，则 x=-2，∴直线y=mx+n与坐标轴的交点为（-2，0）和（0，4）。∴直线 y=mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为×2×4=4。故选A。 A 5. 若一次函数y=（m-2）x+m2-3的图象与y轴交于点M（0，1），则m的 值为 ⁠。 6. 已知y是x的一次函数，下表列出了部分y与x的对应值，则m的值为 ⁠ ⁠。 x -5 -3 0 1 y -10 m 10 14 -2 - 2 7. 定义一种新函数：对于给定的一次函数y=kx+b（k≠0），我们称函数 y为一次函数y=kx+b（k≠0）的“相关函数”。已知一次 函数y=2x-1，若点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图象上，则a的值 为 ⁠。 【解析】由题意得，一次函数y=2x-1的“相关函数”为 y=∵点A（a，3）在函数图象上，∴当a≥0时，2a- 1=3，解得a=2，符合题意；当a<0时，-2a+1=3，解得a=-1，符合题意。 综上所述，a的值为2或-1。故答案为2或-1。 2或-1 8. 如图，直线y=x+1与x轴交于点A，直线y=-2x+4与x轴交于点B，两直线 交于点P。 （1）求A，B，P三点的坐标。 【答案】（1）在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，解得x=-1，∴A（-1，0）。 在y=-2x+4中，当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，∴B（2，0）。由 ∴P（1，2）。 （2）已知Q为直线y=x+1与y轴的交点，求四边形PQOB的面积。 【答案】（2）在y=x+1中，当x=0时，y=1，∴Q（0，1）。∴四边形PQOB 的面积=S△ABP-S△AOQ=。 9. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点坐标分别为A（0， 1），B（2，1），直线l的函数表达式为y=x+b，点C的坐标为（0，- 1），已知直线l经过点C关于线段AB的对称点D。 （1）求直线l的函数表达式。 【答案】（1）∵点C，D关于线段AB对称，C（0，-1），∴D（0，3）。 ∵直线l的函数表达式为，且经过点D，∴b=3。∴直线l的函数表 达式为。 （2）若将直线l向右平移n个单位，且平移后的直线经过线段AB的中点 M，求n的值。 【答案】（2）由（1）知直线l的函数表达式为，∵A（0， 1），B（2，1），∴线段AB的中点为M（1，1）。设平移后的直线l的函 数表达式为。将M（1，1）代入 ，解得n=5。 10. 在同一平面直角坐标系内作一次函数y1=ax+b和y2=-bx+a的图象，可 能是（　D　） A. B. C. D. D 11. 已知直线l1与x轴交于点A（-2，0），且直线l1与两坐标轴围成的三角 形的面积为4，将直线l1向下平移m（m>0）个单位得到直线l2，直线l2交x 轴于点B，若点A与点B关于y轴对称，则m的值为（　A　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 A 【解析】∵直线l1与x轴交于点A（-2，0），∴OA=2。∵直线l1与两坐标轴 围成的三角形的面积为4，∴直线l1与y轴的交点为（0，4）或（0，- 4）。∵将直线l1向下平移m（m>0）个单位得到直线l2，直线l2交x轴于点 B，点A与点B关于y轴对称，∴B（2，0）。∴直线l1与y轴的交点为（0， 4）。∴直线l1为y=2x+4。∴直线l2为y=2x+4-m。代入B（2，0）得， 0=2×2+4-m，解得m=8。故选A。 12. 已知直线y1=x+3上有一点A（-1，2），将直线沿坐标轴平移后得到 y2=x-1，则点A（-1，2）平移后的对应点坐标是 ⁠ ⁠。 【解析】①直线y1=x+3沿y轴向下平移4个单位得到y2=x-1，则A（-1，2） 向下平移4个单位得到（-1，-2），即点A（-1，2）平移后的对应点坐标 是（-1，-2）。②直线y1=x+3沿x轴向右平移4个单位得到y2=x-1，则A（- 1，2）向右平移4个单位得到（3，2），即点A（-1，2）平移后的对应 点坐标是（3，2）。故答案为（-1，-2）或（3，2）。 （-1，-2）或（3， 2） 13. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=3x和y=-x的图象分别为直线l1， l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点 A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4……依 次进行下去，点A2026的坐标为 ⁠。 （-31013，31013） 【解析】当x=1时，y=3，∴点A1的坐标为（1，3）。当y=-x=3时，x=-3， ∴点A2的坐标为（-3，3）。同理可得，A3（-3，-9），A4（9，-9），A5 （9，27），A6（-27，27），A7（-27，-81），A8（81，-81），A9 （81，243），…，∴A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（-32n+1，32n+1），A4n+3（- 32n+1，-32n+2），A4n+4（32n+2，-32n+2）（n为自然数）。 ∵2026=506×4+2，∴点A2026的坐标为（-3506×2+1，3506×2+1），即（-31013， 31013）。故答案为（-31013，31013）。 14. 我们规定：若m，n是正实数，且满足m+n=mn，则称点为 “回归点”。 （1）当m=4时，求此时满足关系m+n=mn的“回归点”。 【答案】 （1）∵m=4，m+n=mn，∴4+n=4n，解得。∴ ，即此时的“回归点”为（4，3）。 （2）判断是否为直线y=x-1上的一个“回归点”。 【答案】（2）∵m+n=mn，且m，n是正实数，∴ 。∴点的坐标可化为（m，m-1）。∵（m，m-1）满足y=x-1， ∴是直线y=x-1上的一个“回归点”。 （3）如图，已知点A（0，5）与点B都在直线y=-x+b上，且点B是“回归 点”，C为直线y=x-1与x轴的交点，求BC的长。 【答案】（3）∵点A（0，5）在直线y=-x+b上，∴b=5。∴直线AB的函数表 达式为y=-x+5。∴“回归点”B既在直线y=x-1上，也在直线AB上。 ∴∴点B的坐标为（3，2）。∵C为直线y=x-1与 x轴的交点，∴当y=0时，x=1，即点C的坐标为（1，0），OC=1。如图， 过点B作BD⊥x轴于点D，则有BD=2，OD=3。∴CD=OD-OC=2。 ∴BC=。 15. 在平面直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与直线x=k，直线y=-k分别 交于点A，B，直线x=k与直线y=-k交于点C。 （1）求直线y=kx+1与y轴的交点坐标。 【答案】（1）令x=0，则y=1，∴直线y=kx+1与y轴的交点坐标为（0， 1）。 （2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点，记线段AB，线段BC，线段CA 围成的区域（不含边界）为W。 ①当k=2时，画出函数图象，结合图象，求区域W内的整点个数。 【答案】（2）由题意得A（k，k2+1），，C（k，-k）。 ①当k=2时，A（2，5），，C（2，-2），画出 函数图象如图，∴在W区域内有6个整点。 ②若区域W内没有整点，求出k的取值范围。 【答案】②由题意知直线AB必过（0，1）。当k>0时，（0，0）必在W 内，不符合题意。当-1<k<0时，1<k2+1<2，-1->0，0<-k<1。∵A（k， k2+1），，C（k，-k），∴W内没有整点。 当k=-1时，A（-1，2），B（0，1），C（-1，1），∴W内没有整点。 当-2<k<-1时，2<k2+1<5，<0，1<-k<2，2<1-k<3。∵当x=-1 时，y=kx+1=-k+1。∴点（-1，2）必在W内，不符合题意。 当k=-2时，A（-2，5），C（-2，2），∵当x=-1时，y=kx+1=- 2x+1=3，∴点（1，3）在W边界上。∴W内没有整点。 当k<-2时，k2+1>5，-1<-1-，-k>2，∵当x=-2时，y=kx+1=-2k+1，∴- 2k+1-（-k）=-k+1。∵k<-2，∴-k>2，-k+1>3，∴W内必有整点。 综上所述，k的取值范围是-1≤k<0或k=-2。 $$