第5章 一次函数 期末复习专题突破课件-2025—2026学年浙教版数学八年级上册

一次函数 思维导图 1. 一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k，b是常数）的函 数，叫作一次函数。当b=0时，函数y=kx（k是常数，k≠0）叫作正比例 函数。 2. 待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：（1）设出函数的一般形 式。（2）将自变量x的值及与它对应的函数y的值代入所设的表达式， 得到关于待定系数的方程或方程组。（3）解方程或方程组，求出待定 系数的值，进而写出函数表达式。 知识要点： 1. 由一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其表达式为y=kx+b （k≠0，k，b是常数）的形式。一次函数表达式的结构特征：k≠0；自变 量的次数为1；常数项b可以为任意实数。一般情况下自变量的取值范围 是任意实数。 2. 确定一次函数的表达式一般有两种方法：（1）根据实际问题确定一 次函数表达式，即根据实际问题中两个变量之间的关系建立一次函数的 数学模型来解决问题。（2）待定系数法求表达式，即将两组变量值或 图象上的两个点代入一般式，求出k，b的值从而确定表达式。 3. 由函数图象的定义可知：（1）一次函数图象上的点（x，y）都满足 表达式y=kx+b。（2）满足表达式y=kx+b的任意一对x，y的值，所对应的点一定在函数图象上。一次函数、正比例函数的图象都是一条直线，由两点即可确定一条直线的函数表达式。 知识点一：一次函数的定义 下列函数：①y=4x；②；③；④y=-4x+1。其中一次函数的个数是 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 根据一次函数的定义逐一分析即可。 y=4x，，y=-4x+1都符合一次函数的定义，属于一次函数；不是一次函数。综上所述，其中y是x的一次函数的有3个。故选C。 本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的表达式为 y=kx+b（k≠0），即只要函数的表达式符合条件即可。 已知关于x的函数y=（n-2）x | n | -1-6是一次函数，求n的值。 【答案】根据一次函数的定义，得解得n=-2，∴当n=-2时，这个函数是一次函数。 知识点二：从实际问题中抽象出一次函数 某生产厂家经授权每天生产“冰墩墩”和“雪容融”两种吉祥物挂件共 600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所 示。设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元。 吉祥物 原料成本（元/ 件） 生产提成（元/ 件） 销售单价（元/ 件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 （1）求出y与x之间的函数表达式。 （2）若该厂每天生产“雪容融”挂件200件，该厂一天所获得的总利润是 多少？ （1）根据总利润=销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式 子即可解决问题。（2）根据该厂每天生产“雪容融”挂件200件，得 x=400，代入（1）中表达式求值即可。 （1）由题意得y=（45-32-5）x+（40-28-6）（600-x）=2x+3600，∴y与x之间的函数表达式为y=2x+3600。 （2）由题意得x=600-200=400，∴y=2x+3600=2×400+3600=4400。 ∴该厂一天所获得的总利润是4400元。 本题考查一次函数的应用、从实际问题中抽象出一次函数表 达式，解题的关键是像列方程那样找出变量之间的等量关系。 为了加强公民的节水意识，某市规定用水收费标准如下：每 户每月用水量不超过12 m3时，按照每立方米3.5元收费；超过12 m3时， 超出部分每立方米按4.5元收费。设每月用水量为x m3，应缴水费为y 元。 （1）当月用水量不超过12 m3时，y（元）与x（m3）之间的函数表达式 为 　　　　　　　　；当月用水量超过12 m3时，y（元）与x（m3）之 间的函数表达式为 　　　　　　　　。 【答案】（1）由题意可得，当0≤x≤12时，y=3.5x；当x>12时， y=3.5×12+（x-12）×4.5=4.5x-12。故答案为y=3.5x；y=4.5x-12。 （2）若某户某月缴纳水费55.5元，则该户这个月的用水量为多少？ 【答案】（2）∵3.5×12=42，42<55.5，∴缴纳水费为55.5元的用户该月用水量超过12 m3。将y=55.5代入y=4.5x-12，得4.5x-12=55.5，解得x=15，∴该户这个月的用水量为15 m3。 知识点三：待定系数法求一次函数表达式 已知y关于x的一次函数y=kx+b（k≠0）。 （1）若当x=8时，y=12；当x=4时，y=4，求k，b的值。 （2）若A（m，y1），B（m+1，y2）是该一次函数图象上的两点，求 证：y2-y1=k。 （1）把相应的x，y的值代入函数表达式列出关于k，b的方 程组，通过解该方程组可以求得它们的值。（2）把点A（m，y1），B （m+1，y2）分别代入y=kx+b即可得到结论。 （1）∵当x=8时，y=12；当x=4时，y=4，∴解得 （2）把点A（m，y1），B（m+1，y2）分别代入y=kx+b，得y1=mk+b，y2=k（m+1）+b，∴y2-y1=k（m+1）+b-（mk+b）=k。 利用待定系数法求一次函数的表达式为确定一次函数最常用 的方法。关键在于掌握解题的一般步骤，正确代入条件得出方程组，解 方程组求解即可。 在平面直角坐标系内，一次函数y=kx+b的图象经过A（4，0），B（0，2），C（m，-3）三点。求： （1）一次函数的表达式。 【答案】（1）把点A（4，0），B（0，2）代入y=kx+b，得∴一次函数的表达式为y=-x+2。 （2）m的值。 【答案】（2）把点C（m，-3）代入y=-m+2，解得m=10。 （3）一次函数y=kx+b的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。 【答案】（3）∵A（4，0），B（0，2），∴OA=4，OB=2。 ∴一次函数y=kx+b的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为×4×2=4。 在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，-2），B（1，-1），C（0，-4）。 （1）求直线AB的函数表达式。 （2）已知一次函数y=ax+3a-2（a为常数）。 ①求证：一次函数y=ax+3a-2的图象一定经过点A。 ②若一次函数y=ax+3a-2的图象与线段BC有交点，直接写出a的取值范围。 （1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），再把A，B两点的坐标代入求出k，b的值即可。（2）①把x=-3代入一次函数 y=ax+3a-2，求出y的值即可得出结论。②分别把B，C两点的坐标代入一次函数y=ax+3a-2，求出a的值，再由一次函数的定义得出a≠0，据此可直接得出结论。 （1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0）。∵A（-3，-2），B（1，-1），∴解得∴直线AB的函数表达式为y=x-。 （2）①把x=-3代入y=ax+3a-2，得y=-2。 ∴图象必经过点A（-3，-2）。 ②∵一次函数y=ax+3a-2的图象与线段BC有交点，∴把B（1，-1）代入直线，得-1=a+3a-2，解得a=；把C（0，-4）代入直线，得-4=3a-2，解得。 ∵y=ax+3a-2是一次函数，∴a≠0。综上所述，a的取值范围是且a≠0。 本题考查用待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图象 上点的坐标特征，熟知直线上点的坐标与直线的函数表达式之间的关系 是解题的关键。 1. 已知下列函数：①y=8x；②；③y=8x2；④s=8t+1。其中是一次函数的有（　C　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 若函数y=-7x+m-2是正比例函数，则m的值为（　D　） A. 0 B. 1 C. -2 D. 2 C D 3. 已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值： x … -2 1 3 … y … 7 -2 -8 … 则y关于x的函数表达式为（　D　） A. y=-2x+1 B. y=2x-3 C. y=3x-1 D. y=-3x+1 D 4. 如图，一长为5 m、宽为2 m的长方形木板，现要在长边上截去长为x m的一部分，则剩余木板的面积（空白部分）y（m2）与x（m）的函数 表达式为（0≤x<5）（　D　） A. y=10-x B. y=5x C. y=2x D. y=-2x+10 5. 已知y+1与x成正比例，当x=3时，y=2，则当x=-1时，y的值是 ⁠。 D -2 6. 定义[p，q]为一次函数y=px+q的特征数，若特征数为[t，t+3]的一次函 数为正比例函数，则这个正比例函数为 ⁠。 7. 已知等腰三角形的周长为16 cm，底边长为y cm，腰长为x cm，则y与x 之间的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ⁠。 y=-3x y=16-2x 4<x<8 8. 已知y-1与x成正比例，且x=-2时，y=4。 （1）求y与x之间的函数表达式。 【答案】（1）∵y-1与x成正比例，∴设y-1=kx（k≠0）。将x=-2，y=4代入，得-2k=4-1=3，解得k=-， ∴y-1=-x+1。 （2）设点（a，-2）在这个函数的图象上，求a的值。 【答案】（2）把点（a，-2）代入y=-a+1，解得 a=2。 9. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点（0，2），（-1，-4）。 （1）求这个函数的表达式。 【答案】（1）把点（0，2），（-1，-4）代入y=kx+b，得 ∴一次函数的表达式为y=6x+2。 （2）若点M（2m，m+3）关于x轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求m的值。 【答案】（2）M（2m，m+3）关于x轴对称的点是（2m，-m-3）。∵该对称点在函数的图象上，∴-m-3=12m+2，解得。 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点 B，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则直线BC 的函数表达式为（　A　） A. y=3x+3 B. y=4x+3 C. y=4x+4 D. y=-4x+4 A 【解析】在直线y=-x+3中，令y=0，求得x=4；令x=0，求得y=3，∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）。∴BO=3，AO=4。∴。∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴CO=5-4=1。∴点C的坐标为（-1，0）。设直线BC的函数表达式为y=kx+b。把B（0，3），C（-1，0）代入得∴直线BC的函数表达式为y=3x+3。故选A。 11. 已知一次函数图象上任意一点（x，y）满足x=1+2a，y=1-a，则该函数的表达式为 　　。若点（m，n）在该函数图象上，且m-2n<-1，则m的取值范围是 ⁠。 ⁠ m<1 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6， 0）。若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的 两部分，则直线l的函数表达式为 　​ 　。 ​ 【解析】如图，延长BC交x轴于点F，连结OB，AF，连结CE，DF，且相 交于点N。由题意得M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为长方形ABFO的中心，∴直线l把长方形ABFO分成面积相等的两部分。又∵点N（5，2）是长方形CDEF的中心，∴过点N（5，2）的直线把长方形CDEF分成面积相等的两部分。∴直线MN即为所求的直线l。设直线l的函数表达式为y=kx+b，则 。 13. 若y=y1+y2且y1与x成正比例，y2与x-3成正比例，当x=1时，y=3；当x=-1时，y=9，求当x=3时，y的值。 【答案】设y1=ax，y2=k（x-3），则y=ax+k（x-3）。∵当x=1时，y=3；当x=-1时，y=9，∴∴y与x之间的函数表达式为y=-x-2（x-3），即y=-3x+6。∴当x=3时，y=-3×3+6=-3。 14. 如图所示为一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数。下面表格 中是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值。 输入x … -6 -4 -2 0 2 … 输出y … 22 18 14 10 16 … 根据以上信息，解答下列问题： （1）当输入的x值为3时，输出的y值为 　　　　。 【答案】（1）当输入的x值为3时，输出的y值为y=8x=8×3=24。故答案为24。 （2）求k，b的值。 【答案】（2）将（-2，14），（0，10）代入y=kx+b，得∴当x<1时，该函数的表达式为y=-2x+10。∴k，b的值分别为-2和10。 （3）当输出的y值为20时，求输入的x值。 【答案】（3）把y=20代入y=-2x+10，得-2x+10=20，解得x=-5。把y=20代入y=8x，得8x=20，解得x=2.5。∴当输出的y值为20时，输入的x值为-5或2.5。 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，a），B（6，b），O（0， 0）在同一条直线上，且a<b。 （1）用等式表示a，b之间的关系，并说明理由。 【答案】（1）设直线AB的函数表达式为y=cx+d。将点A（2，a），B （6，b），O（0，0）代入，得∴b=3a。 （2）若AB=5。 ①求直线AB的函数表达式。 【答案】（2）①由（1）知b=3a，∴A（2，a），B（6，3a）。 ∴AB2=25=（6-2）2+（3a-a）2=16+4a2。∴。∵b=3a，a<b，∴a<3a，即a>0。∴。 ②若过点的直线l：y=mx+n与线段AB有公共点，求m+n的取值范围。 【答案】②将点 m。将点。 $$