两曲线的公切线问题 变式训练——2026届高三数学一轮复习

第1题 两曲线的公切线问题（一题多变） 【湖北省高中名校联盟2025届高三第一次联合测评】已知函数，，其中，当两函数图像对应曲线存在两条公切线时，则的取值范围是______． 【思路分析】 根据反函数的性质，先求解两曲线相切时的临界情况时的值，利用相切和导数可得，构造函数，即可根据函数单调性求解. 令则，令，则， 由于函数互为反函数，故图象关于对称， 因此只需要考虑两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标为， 由 故，即， 所以， 设，则，，故有，两边取对并移项， 记函数，易知在上单调递增， 因为，所以，此时， 所以的取值范围是. 【题后反思】根据两函数在相切的的临界情况，设出切点横坐标为，由切点在曲线上及切线的斜率建立方程组得，求解. 对于此类问题关键是要根据题意利用切点既在曲线上也在切线上，以及两曲线的公切线斜率相等利用导数的几何意义建立方程组求解. 变化函数，仍求参数范围 【变化角度】改变原题中的两函数，仍由存在两条公切线求参数取值范围，如下： 例：已知曲线：，：，若恰好存在两条直线直线、与、都相切，则实数的取值范围是（ ） A．        B．        C．       D． 【思路分析】 设直线，，设与、的切点坐标分别为、，根据题目条件列出方程组，解得，同理可得，然后将问题转化为有两解. 然后构造函数，利用导数讨论的单调性及最值，得出的范围. 设直线，，设与、的切点坐标分别为、， 则有，可得， 故，整理得：， 同理可得，当直线与、都相切时有：， 综上所述，只需有两解， 令，则， 故当时，， 当时，， 所以在上递增，在递减， 故， 所以只需满足即可. 故选：C. 【举一反三】 1．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若总存在两条不同的直线与曲线，均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 切线条数变未知，求参数范围 【变换角度】将“已知公切线条数”问题变为“存在公切线”不知道公切线条数问题，仍求参数范围，如下： 例：已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 首先可判断不为，设出公切线与函数的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，再与曲线联立，利用判别式为，可得与的关系，结合导数工具可得解. 当时，，，不符合题意； 设的图像与公切线的切点为，， 由，则切线斜率， 切线方程为，即， 又切线与， 联立， 可得， 即， 可得， 设，， ，， 又函数在上单调递减，且， 即有当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 所以， 即，的最大值为， 故选：A. 【举一反三】 3．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为 ． 变求参数为求公切线方程 【变换角度】由已知两曲线的方程，求它们的公切线方程，如下： 例：直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知，，直线是与的公切线，则直线的方程为（ ） A．或    B．或 C．或    D．或 【思路分析】 首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方程. 设，的切点分别为，， ，. 所以，即. 又因为， 所以. 整理得，解得：或. 所以的切点为或，或. 切线为或， 即：或. 故选：C 【举一反三】 5．已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．曲线与曲线的公切线方程为 ． 7．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若曲线与曲线：有公切线，则实数的最大值为（    ） A．+ B．- C．+ D． 10．若函数与函数的图象有两条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数.若曲线与曲线有公切线，则实数m的取值范围为 . 12．已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1题 两曲线的公切线问题（一题多变） 【湖北省高中名校联盟2025届高三第一次联合测评】已知函数，，其中，当两函数图像对应曲线存在两条公切线时，则的取值范围是______． 【思路分析】 根据反函数的性质，先求解两曲线相切时的临界情况时的值，利用相切和导数可得，构造函数，即可根据函数单调性求解. 令则，令，则， 由于函数互为反函数，故图象关于对称， 因此只需要考虑两曲线相切时的临界情况，设切点横坐标为， 由 故，即， 所以， 设，则，，故有，两边取对并移项， 记函数，易知在上单调递增， 因为，所以，此时， 所以的取值范围是. 【题后反思】根据两函数在相切的的临界情况，设出切点横坐标为，由切点在曲线上及切线的斜率建立方程组得，求解. 对于此类问题关键是要根据题意利用切点既在曲线上也在切线上，以及两曲线的公切线斜率相等利用导数的几何意义建立方程组求解. 变化函数，仍求参数范围 【变化角度】改变原题中的两函数，仍由存在两条公切线求参数取值范围，如下： 例：已知曲线：，：，若恰好存在两条直线直线、与、都相切，则实数的取值范围是（ ） A．        B．        C．       D． 【思路分析】 设直线，，设与、的切点坐标分别为、，根据题目条件列出方程组，解得，同理可得，然后将问题转化为有两解. 然后构造函数，利用导数讨论的单调性及最值，得出的范围. 设直线，，设与、的切点坐标分别为、， 则有，可得， 故，整理得：， 同理可得，当直线与、都相切时有：， 综上所述，只需有两解， 令，则， 故当时，， 当时，， 所以在上递增，在递减， 故， 所以只需满足即可. 故选：C. 【举一反三】 1．若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线切点为，的切点为，求出切线方程，根据有两条公切线转化为方程具有两个解，构造函数利用导数求解取值范围，判断选项. 【详解】设曲线切点为，的切点为， 则曲线在点处的切线方程为，即， 同理，在点处的切线方程为， 根据与有两条公切线， 则，所以，化简可得 具有两个交点， 转化为有两个解，构造函数，则， 当，，单调递增；当，，单调递减， 故在时有极大值即为最大值，故， 当时，，当时，， 故的取值范围为， 故选：A 2．已知函数，，若总存在两条不同的直线与曲线，均相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，，即该方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数的取值范围. 【详解】设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且， 又，，则公切线的斜率，则，所以， 则公切线方程为，即， 代入得，则， 整理得， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则， 令得， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 所以在处取得极大值即最大值，即， 由可得，又当时，；当时，， 所以，解得，故实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围. 切线条数变未知，求参数范围 【变换角度】将“已知公切线条数”问题变为“存在公切线”不知道公切线条数问题，仍求参数范围，如下： 例：已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ） A．    B．    C．    D． 【思路分析】 首先可判断不为，设出公切线与函数的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，再与曲线联立，利用判别式为，可得与的关系，结合导数工具可得解. 当时，，，不符合题意； 设的图像与公切线的切点为，， 由，则切线斜率， 切线方程为，即， 又切线与， 联立， 可得， 即， 可得， 设，， ，， 又函数在上单调递减，且， 即有当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 所以， 即，的最大值为， 故选：A. 【举一反三】 3．若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果. 【详解】设公切线与函数切于点， 由，得，所以公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 设公切线与函数切于点， 由，得，则公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 所以，消去，得， 由，得， 令，则， 所以在上递减， 所以， 所以由题意得， 即实数的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题. 4．若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】曲线与曲线存在公切线等价于导函数相等有解，求导后列出方程求解即可. 【详解】由，则，设切点为，切线斜率为， 所以，切线为，即， 由，则，设切点为，切线斜率为， 所以，切线为，即， 根据题设，若它们切线为公切线，则有，即， 又，即且，即， 由上关系式并消去并整理得在上有解， 令，则， 当，则，即，此时递增； 当，则或，即或，此时递减； 又，， 所以，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设切点并写出两曲线对应的切线方程，根据公切线列方程组，注意切点横坐标及参数a范围，进而转化为方程在某区内有解问题. 变求参数为求公切线方程 【变换角度】由已知两曲线的方程，求它们的公切线方程，如下： 例：直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知，，直线是与的公切线，则直线的方程为（ ） A．或    B．或 C．或    D．或 【思路分析】 首先设出切点坐标，根据导数的几何意义列出等量关系，解出切点坐标，从而得到切点方程. 设，的切点分别为，， ，. 所以，即. 又因为， 所以. 整理得，解得：或. 所以的切点为或，或. 切线为或， 即：或. 故选：C 【举一反三】 5．已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与相切于点，与相切于点，利用导数的几何意义，得到和，再由，求得，得到，令，利用导数求得函数的单调性与最值，求得，即可求解. 【详解】设与曲线相切于点，与相切于点， 由，可得的斜率，所以①， 又由，可得，所以，即②， 又因为③， 将②③代入①中，可得，由③易知，,则④， 将④代入③，可得，则， 令，则，当时，单调递减； 当时，单调递增．所以，当且仅当时取等号， 故，可得，所以， 所以的方程为，即． 故选：B． 【点睛】方法技巧：对于利用导数解决函数综合问题问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 6．曲线与曲线的公切线方程为 ． 【答案】（或） 【分析】设公切线为，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义得到，，结合，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到，即可求解. 【详解】设，的公切线为， 且与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由，得，则，即①． 由，得，则，即②． 易得，即③，将②③代入①，可得， 令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，则， 所以，， 故曲线与曲线的公切线方程为，即， 故答案为：（或） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出公切线，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的何意义得到，，进则得到，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得到，进而可求出，即可求解. 7．若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可. 【详解】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 则，故.又， 解得，所以直线过点，斜率为1， 即直线的方程为. 故选：A 8．若函数与存在两条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切线与曲线相切于点，利用导数写出曲线在点处的切线方程，将切线方程与函数的解析式联立，由可得出直线与曲线有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设切线与曲线相切于点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 联立可得， 由题意可得且，可得， 令，其中，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，所以，. 且当时，，当时，，如下图所示： 由题意可知，直线与曲线有两个交点，则，解得. 故选：D. 9．若曲线与曲线：有公切线，则实数的最大值为（    ） A．+ B．- C．+ D． 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得，整理得，利用导数研究函数的单调性求出即可得出结果. 【详解】设在曲线上的切点为，则切线斜率为， 在曲线上的切点为，切线斜率为， 所以切线方程分别为、， 即、， 有，整理得， 设，则， 令，令， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上，如图，    由图可知，即k的最大值为. 故选：C. 10．若函数与函数的图象有两条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设公切线与函数的图象切于点，利用导数的几何意义写出在点处的切线方程为，设公切线与函数的图象切于点，同理可得在处的切线方程为，即可得到，再通过消元可得，然后通过导数研究函数在上的单调性，根据题意可知，直线与函数的图象有两个交点，即可求出． 【详解】设公切线与函数的图象切于点， 因为，所以，即在点处斜线的斜率，所以切线方程为，即； 设公切线与函数的图象切于点， 因为，所以，即在处点斜线的斜率，所以切线方程为，即， 所以有， 因为，所以，．又， 令，则，所以， 令，且因为，得；令，且因为，得， 所以在上为减函数，在上为增函数. 所以函数与函数有两条公切线， 满足，即，所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性，以及方程的根与两函数图象的交点个数的关系的应用，意在考查学生的转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题． 11．已知函数.若曲线与曲线有公切线，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值. 【详解】∵，则， 设切点坐标，则切线斜率， 故切线方程为，整理得， 又∵，则， 设切点坐标，则切线斜率， 故切线方程为，整理得， 由题意可得，整理得， 构建，则， ∵，可得， 令，解得；令，解得； ∴在上单调递增，在上单调递减，则， 当x趋近于0时，趋近于正无穷大，当x趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大， 可得的值域为，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法定睛：公切线问题的解决方法： 利用导数的几何意义分别求切线方程，根据切线方程之间的关系构建方程(组)或函数求解． 12．已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解. 【详解】设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即． 设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即， 所以，消去，得． 若存在两条不同的直线与曲线均相切， 则关于的方程有两个不同的实数根． 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由可得， 当且时，，当时，且， 则的大致图象如图所示，    由图可知，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$