立体几何中的动态问题 讲义-2025届高三数学二轮复习

立体几何中的动态问题 这类问题的特征是空间几何体上的动点在运动过程中始终保持与某一固定的几何结构如固定的线段或者固定的平面垂直或者平行，或者动点到某个定点的距离为定值. 在这样的约束条件下，看似毫无规律的动点运动将会有迹可循，从而为我们后续进一步的讨论打下基础.需要注意的是，在上述约束条件的翻译过程中，几何法和坐标法均可适用，所以不必拘泥于哪种方法，重要的是将约束条件准确翻译，从而找到动点实际的运动踪迹. 一．常见两个模型 1.圆锥模型：在处理空间立体几何问题中，有些旋转问题我们可以看成是某些固定几何题产生的，这样就可通过实际的几何题来找到这些动态问题的切入点.比如： （1）.某个动直线绕着定直线转动过程即可看做是动直线以定直线为轴的圆锥； （2）.某个动直线与已知平面所成角为定值亦可看做动直线以平面的法向量为轴的圆锥. 2.三余弦定理： 三余弦定理：如图所示，斜线在平面内的射影为，则线面角的大小为，平面内任一点，则，这样就有：. 在立体几何中，一旦涉及到图形翻折最值问题，很多学生往往不知所措.所以，很有必要对一些常见的翻折最值问题在通性通法上加以总结，这样既可以提升学生对这类问题的解题能力，更能帮助他们提升空间想象能力，提高解题兴趣.下面的这类翻折最值问题就是一类可以总结出通性通法的题型，解决它的关键就是上面的三余弦定理. 二.立体几何中的动点轨迹问题常用的五种方法总结： 1、定义法 2、交轨法 3、几何法 4、坐标法 5、向量法 三．例题 例1．直线a与平面所成的角为15°，点P为空间一定点，过点P作与成45°、与a成60°的直线l可以作（       ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 解析：设直线与平面相交于点，在内的射影直线为，设圆锥的顶点为点，圆锥的轴平面，圆锥的轴截面为等腰，如图所示． 可得图中圆锥的任意一条母线与平面所成角都等于，设直线为圆锥的一条母线所在直线，直线、确定的平面为，由直线与平面所成角的性质，可得当落在平面内时， 直线与直线所成角等于或，当与所在直线重合时，与所成角为；当与所在直线重合时，与所成角为．当直线从的位置按顺时针方向旋转到位置时，、所成角从增大到，再减小到，这个过程中必定有一个位置满足与所成角为；同理当直线从的位置按逆时针方向旋转到位置时，这个过程中也存在一个位置满足与所成角为．综上所述，经过点的直线共有3条满足与所成角为． 例2．正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是 A． B． C． D． 解析：过点做的平行，故当四面体绕着旋转时，就以为轴转成一个圆锥，于是如图所示的即与平面所成角的最大值，即与所成角. 经计算，设与所成角为，则，故选. 例3．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（       ） A． B． C． D． 解析：由题意，取的中点，的中点，连接，，，，， 作图如下： 在正方体中，易知，，，则共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，当平面时，平面，正方体的棱长为，在中，，解得，同理，在中，，解得， 则中边上的高，即，故选：D. 例4．若点是棱长为2的正方体表面上的动点，点是棱的中点，，则线段长度的最大值为（     ） A． B． C．3 D． 解析：分别取，中点，，连接，，，首先与平行且相等，与平行且相等，因此与平行且相等， 四边形是平行四边形，在同一平面内，易得，，所以，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面. 而，则平面，所以点轨迹是矩形（除点）.四边形是矩形，当与重合时，最大，且最大值为.故选：C. 例5.已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 . 解析:如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，则，， 由面，面，则面， 同理可证面，，面， 所以面面， 所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部，又， 所以点在侧面，故的轨迹为线段， 因为，，所以. 故答案为： 例6（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正方体的棱长为2，棱的中点为，过点作正方体的截面，且，若点在截面内运动（包含边界），则（    ） A．当最大时，与所成的角为 B．三棱锥的体积为定值 C．若，则点的轨迹长度为 D．若平面，则的最小值为 解析:记的中点分别为， 连接，连接， 因为，又 所以，，所以四边形为平行四边形， 连接，记其交点为， 根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，,，，，，，，， 因为，，，， ，，， 所以，，， ，， 所以六点共面， 因为，，， 所以，， 所以，， 所以，又平面， 所以平面，故平面即为平面， 对于A，与重合时，最大，且， 所以MN与BC所成的角的平面角为， 又， 所以，故MN与BC所成的角为，所以A错误； 对于B，因为所以，，， 所以，， 所以，， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， 所以， 向量为平面的一个法向量，又， 所以到面的距离， 又为等边三角形，则， 所以三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C：若，点在截面内， 所以点N的轨迹是以为球心， 半径为的球体被面所截的圆（或其一部分）， 因为，，所以， 所以平面，所以截面圆的圆心为， 因为是面的法向量，而， 所以到面的距离为， 故轨迹圆的半径，又， 故点N的轨迹长度为，C正确. 对于D，平面，平面， 又平面与平面的交线为， 所以点的轨迹为线段， 翻折，使得其与矩形共面，如图， 所以当三点共线时，取最小值，最小值为， 由已知，，， 过作，垂足为，则， 所以 所以， 所以的最小值为，D正确； 故选：BCD 4． 练习 1.在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 解析 设，因为，所以由棱柱的性质可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 点P在四边形内（含边界）运动，当时， ，这意味着点是在以为圆心为半径的圆弧上运动， 该圆弧弧长是圆周周长，由题意，解得， 所以该三棱柱的表面积为. 故选：C. 2.（2024·四川南充·二模）三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 解析 如图所示， 由，， 可知三棱锥为正三棱锥， 设中点为， 则，，， 设点在底面上的射影为， 则平面，， 又为内部及边界上的动点，， 所以， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内部及边界上的部分， 如图所示，   ， ， 即，， 所以点的轨迹长度为， 故选：B. 3.（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点， ，分别为的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ．    解析:如图，连接，因为M，N分别为的中点， 所以，（三角形中位线定理的应用） 因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与所成的角， 在正方体中，可得， 因为平面，平面，可得， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为，且平面，所以平面，故． 设与平面的交点为G，连接PG， 所以，因此在中，， 因为，所以， 又三棱锥 ， 所以，则， 所以点P的轨迹是以G为圆心，为半径的圆，其面积． 故答案为：. 4.（多选题）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ） A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为 解析:对A：当P在平面上运动时，点到平面的距离为2， ，所以，故A正确； 对B：如图： 取中点，连接，则. 当P在线段AC上运动时，因为，且， 所以为异面直线与所成角. 当与重合时，异面直线与所成角为. 当与不重合时，因为,，所以，所以，所以异面直线与所成角的范围为，故B正确； 对C：如图： 根据正方体的结构特点，平面，为中点， 因为，所以点轨迹是过点且平行于平面的平面，即为平面，其中分别为所在棱上的中点. 故当P在底面ABCD上运动，且满足时，P点的运动轨迹为线段. 其中分别为，中点.易知六边形为正六边形， 所以当与重合时，， 此时为点到直线的垂线段，取得最小值，为，故C错误； 对D：如图： 当直线与平面ABCD所成的角为时， 因为，所以不可能在四边形内（除外）； 同理不可能在四边形内（除外）. 在平面与平面的运动轨迹为线段和，且； 当在平面时，作平面，垂足为，连接， 因为，所以， 所以在四边形上的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆的， 所以点的轨迹长度为：，故D正确. 故选：ABD 5.（多选题）（2024·广东梅州·二模）如图，平面，，M为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为30°，点P为平面内的动点，则（    ） A．以为球心，半径为2的球面在平面上的截痕长为 B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线 C．若P到直线MN的距离为1，则的最大值为 D．满足的点P的轨迹是椭圆 解析:对于A，由于MN与平面的所成角大小为30°，所以点到平面的距离， 故半径为的球面在平面上截面圆的半径为,故截痕长为，A错误， 对于B,由于平面，所以以为，在平面内过作,平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 设，则， 化简得，故P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，B正确， ,所以P到直线MN的距离为，化简可得， 所以点的轨迹是平面内的椭圆上一点，如图， 当在短轴的端点时，此时最大，由于,故，因此,C正确， 对于D, ，, 若，则， 化简得且，故满足的点P的轨迹是双曲线的一部分，D错误， 故选：BC 6.（2024·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）如图，在中，，，.过的中点的动直线与线段交于点.将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的投影落在线段上.则点的轨迹长度为 . 解析 因为翻折前后长度不变，所以点可以在空间中看做以为球心，AC为直径的球面上，又因为的投影始终在上，所以点所在的面垂直于底面， 故点轨迹为垂直于底面ABC的竖直面去截球所得圆面的圆弧，这个圆弧的直径为时，的长度（由余弦定理可得，所以此时）， 如图，以底面点B为空间原点建系，根据底面几何关系， 得点，点， 设点，翻折后点的投影在轴上， 所以点纵坐标为0，即由，， 根据空间两点之间距离公式可得轨迹：， 又因为动点要符合空间面翻折结论：， 即，其中， 又动点N在线段AB上动，设， 故， 且，由，可计算得横坐标范围为， 且点在上方，由，计算可得圆弧所在扇形圆心角为， 所以弧长为. 故答案为：. 7.如图，在矩形中，，，为线段上一动点，现将沿折起得到，当二面角的平面角为，点在平面上的投影为，当从运动到，则点所形成轨迹的长度为 . 解析:根据折叠关系找出与有关的几何关系，得出点的轨迹为圆的一部分，再考虑在运动过程中扫过的弧长即可求解. 在折叠后的图中，作垂足为，连接，根据三垂线定理，， 所以就是二面角的平面角为，， 根据折叠关系，与全等，对应边上的高位置相同，即在线段上， 且是线段的中点，取的中点，连接，则， 所以点的轨迹为以为直径的圆的一部分，当从运动到，点在圆周上从点运动到 ，这段弧所对圆心角为，这段弧长为. 故答案为： 8（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（    ） A．无论M，N在何位置，为异面直线 B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP与平面所成角的正弦最大值为 解析:由于相交，而，因此为异面直线，A正确， 当M是棱中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设, 故， 且， 由于，故，化简得， 由于，所以点P的轨迹长度为半径为的圆的，故长度为，B正确， 设,则，且， ，, 设平面的法向量为，则 ，令，则, ，故， 由于，故，化简得， 联立，故解不唯一，比如取，则或取，故C错误， 由于平面，平面，故, 又四边形为正方形，所以, 平面， 所以平面， 故平面的法向量为 ， 设AP与平面所成角为，则， 则，当且仅当时取等号， ， 时，令，则， 故， 由于，当且仅当，即时等号成立，此时， 由且可得 因此， 由于，，故的最大值为，故D正确，、 故选：ABD 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何中的动态问题 这类问题的特征是空间几何体上的动点在运动过程中始终保持与某一固定的几何结构如固定的线段或者固定的平面垂直或者平行，或者动点到某个定点的距离为定值. 在这样的约束条件下，看似毫无规律的动点运动将会有迹可循，从而为我们后续进一步的讨论打下基础.需要注意的是，在上述约束条件的翻译过程中，几何法和坐标法均可适用，所以不必拘泥于哪种方法，重要的是将约束条件准确翻译，从而找到动点实际的运动踪迹. 一．常见两个模型 1.圆锥模型：在处理空间立体几何问题中，有些旋转问题我们可以看成是某些固定几何题产生的，这样就可通过实际的几何题来找到这些动态问题的切入点.比如： （1）.某个动直线绕着定直线转动过程即可看做是动直线以定直线为轴的圆锥； （2）.某个动直线与已知平面所成角为定值亦可看做动直线以平面的法向量为轴的圆锥. 2.三余弦定理： 三余弦定理：如图所示，斜线在平面内的射影为，则线面角的大小为，平面内任一点，则，这样就有：. 在立体几何中，一旦涉及到图形翻折最值问题，很多学生往往不知所措.所以，很有必要对一些常见的翻折最值问题在通性通法上加以总结，这样既可以提升学生对这类问题的解题能力，更能帮助他们提升空间想象能力，提高解题兴趣.下面的这类翻折最值问题就是一类可以总结出通性通法的题型，解决它的关键就是上面的三余弦定理. 二.立体几何中的动点轨迹问题常用的五种方法总结： 1、定义法 2、交轨法 3、几何法 4、坐标法 5、向量法 三．例题 例1．直线a与平面所成的角为15°，点P为空间一定点，过点P作与成45°、与a成60°的直线l可以作（       ） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 例2．正四面体中，在平面内，点是线段的中点，在该四面体绕旋转的过程中，直线与平面所成角不可能是 A． B． C． D． 例3．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（       ） A． B． C． D． 例4．若点是棱长为2的正方体表面上的动点，点是棱的中点，，则线段长度的最大值为（     ） A． B． C．3 D． 例5.已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 . 例6（多选题）（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知正方体的棱长为2，棱的中点为，过点作正方体的截面，且，若点在截面内运动（包含边界），则（    ） A．当最大时，与所成的角为 B．三棱锥的体积为定值 C．若，则点的轨迹长度为 D．若平面，则的最小值为 4． 练习 1.在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（    ） A．4 B． C． D． 2.（2024·四川南充·二模）三棱锥中，，，为内部及边界上的动点，，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·全国·模拟预测）如图，正方体的棱长为，点是平面内的动点， ，分别为的中点，若直线与直线所成的角为，且，则动点的轨迹所围成的图形的面积为 ．    4.（多选题）（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（    ） A．当P在平面上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足时，长度的最小值是 D．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点P的轨迹长度为 5.（多选题）（2024·广东梅州·二模）如图，平面，，M为线段AB的中点，直线MN与平面的所成角大小为30°，点P为平面内的动点，则（    ） A．以为球心，半径为2的球面在平面上的截痕长为 B．若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线 C．若P到直线MN的距离为1，则的最大值为 D．满足的点P的轨迹是椭圆 6.（2024·浙江嘉兴·高三嘉兴一中校考期中）如图，在中，，，.过的中点的动直线与线段交于点.将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的投影落在线段上.则点的轨迹长度为 . 7.如图，在矩形中，，，为线段上一动点，现将沿折起得到，当二面角的平面角为，点在平面上的投影为，当从运动到，则点所形成轨迹的长度为 . 8（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（    ） A． 无论M，N在何位置，为异面直线 B． 若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C． M，N存在唯一的位置，使平面 D． AP与平面所成角的正弦最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$