等边三角形 期末复习专题突破课件-2024-2025学年浙教版（2024）数学八年级上册

等边三角形 思维导图 知识要点： 1. 等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫作等边三角形。 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都等于 60°，每一条边上都满足“三线合一”。 3. 等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形。 1. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线 都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴。 2. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它有一些特殊的性质：如三边相 等、有三条对称轴、一边上的高线可以把等边三角形分成两个含有30° 角的直角三角形、连结三边的中点可以把等边三角形分成四个全等的小 等边三角形等，若等边三角形的边长为a，则它的高线长为，面积为 。 3. 等边三角形角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为 证明线段、角相等提供了便利条件。同时等边三角形又是特殊的等腰三 角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件 广泛应用。 4. 等边三角形的判定比较复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取 恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发，则可以通过三条边相 等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则通过获取一个 60°的角判定。 知识点一：等边三角形的性质 如图，△ABC和△BDE均为等边三角形，B，D，C三点在一条直线上，AC⊥CE，判断线段DE与AC的数量关系，并加以证明。 根据等边三角形的性质，由△ABC为等边三角形得到AC=BC，∠ACB=60°，则由AC⊥CE可计算出∠BCE=30°，再利用△BDE为等边三角形得到DE=BE，∠DBE=60°，根据三角形内角和定理可计算出∠BEC=90°，最后在Rt△BEC中利用含30°角的直角三角形三边的关系可得BE=BC，即可得到DE=AC。 DE=AC。证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°。 ∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°。∴∠BCE=90°-60°=30°。 ∵△BDE为等边三角形，∴DE=BE，∠DBE=60°。 ∴∠BEC=180°-60°-30°=90°。 在Rt△BEC中，∵∠BCE=30°，∴BE=BC。∴DE=AC。 本题考查等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相 等，且都等于60°。也考查了含30°角的直角三角形三边的关系，注意等 边三角形与特殊直角三角形之间的关系。 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP。 【答案】∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠ACP=∠CBQ=60°。 ∵∠ACB=90°，∴∠BCP=∠ACB-∠ACP=30°。在△BCH中， ∠BHC=180°-∠BCH-∠CBH=180°-30°-60°=90°，∴BQ⊥CP。 知识点二：等边三角形的判定 如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O，M，N分别是线段AD，BE的中点。 （1）求证：AD=BE。 （2）求∠DOE的度数。 （3）求证：△MNC是等边三角形。 （1）由等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE， ∠ACB=∠DCE=60°，从而有∠ACD=∠BCE，证明△ACD≌△BCE即可。（2）由△ACD≌△BCE得到∠ADC=∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，由三角形的内角和定理即可得到答案。（3）由SAS证明△ACM≌△BCN，推出CM=CN，再求出∠MCN=60°即可。 （1）∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°。∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD。∴∠ACD=∠BCE。 在△ACD和△BCE中，∵∴△ACD≌△BCE。∴AD=BE。 （2）∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC。∵△DCE是等边三角形， ∴∠CED=∠CDE=60°。 ∴∠ADE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60° =60°+60°=120°。 ∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°。∴∠DOE的度数为60°。 （3）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE。又∵M，N分别是线段AD，BE的中点，∴AM=AD，BN=BE。∵AD=BE，∴AM=BN。在△ACM和△BCN中，∵∴△ACM≌△BCN。∴CM=CN，∠ACM=∠BCN。又∵∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°。∴∠BCN+∠MCB=60°。∴∠MCN=60°。∴△MNC是等边三角形。 本题考查全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理、 等边三角形的性质和判定等知识点的应用，涉及的知识点较多，解题的 关键是理解图形结构特点，从中找出全等三角形和特殊三角形。 已知等边三角形ABC。 （1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数。 【答案】（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°。 ∴∠APC=∠BAP+∠B=80°。 ∵AP=AQ，∴∠AQB=∠APC=80°。 （2）P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左 侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连结AM，PM。 ①依题意将图2补全。 【答案】（2）①补全图形如图所示。 ②求证：PA=PM。 【答案】②∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°。∵AP=AQ， ∴∠APQ=∠AQP。∴∠APQ-∠B=∠AQP-∠C，即∠PAB=∠QAC。∵点Q，M关于直 线AC对称，∴∠QAC=∠MAC，AQ=AM。∴∠MAC+∠PAC=∠PAB+∠PAC=60°。 ∵AP=AM，∴△APM为等边三角形。∴PA=PM。 如图，O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α。以OC为一边作等边三角形OCD，连结AD。 （1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由。 （2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ （1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状。（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解。 （1）△ADO是直角三角形。理由如下： ∵△OCD是等边三角形，∴OC=CD。∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC。 ∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD。在△BOC和△ADC中， ∵∴△BOC≌△ADC。∴∠BOC=∠ADC。∵∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°-60°=90°。∴△ADO是直角三角形。 （2）由（1）得∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-110°-α-60° =190°-α。 ∴∠OAD=180°-∠ADO-∠AOD=50°。 ①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∴190°-α=α-60°，解得α=125°。 ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∴50°=α-60°，解得α=110°。 ③要使DO=DA，需∠OAD=∠AOD，∴50°=190°-α，解得α=140°。 ∴当α为110°，125°或140°时，△AOD是等腰三角形。 本题考查等边三角形的性质与判定，利用等边三角形的性质 找出图形有旋转变换关系的全等三角形，并理解图形变化过程中边、角 之间的数量和位置关系是解题的关键。 1. 如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1=45°，则∠2的度数为 （　C　） A. 75° B. 95° C. 105° D. 120° C 2. 如图，△ABC是等边三角形，CB=CD，∠ABD=12°，则∠ACD的度数为（　B　） A. 36° B. 24° C. 34° D. 48° B 3. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且 CG=CD，DF=DE，则∠E的度数为（　C　） A. 25° B. 20° C. 15° D. 7.5° C 4. 如图，从等边三角形内一点P向三边作垂线，垂足分别是Q，R，S， PQ=3，PR=4，PS=5，则△ABC的面积是（　B　） A. 48 B. C. 96 D. B 【解析】如图，连结AP，BP，CP，过点A作AD⊥BC于点D。∵S△ABC= BC ⋅ AD，∴PQ+PR+PS=AD。∴AD=3+4+5=12。 ∵∠ABC=60°，∴AB=12×。故选B。 5. 如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点。分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ⁠。 6 6. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连结A′C，若BB′=2，则线段A′C的长为 ⁠。 4 7. 如图，等边三角形ABC的边长为4，D是BC边上的任意一点（不与点 B，C重合），过点D分别作DE∥AC，DF∥AB，交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF的周长是 ⁠。 8 8. 如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°。 （1）延长ED交BC于点F，△EBF的形状为 （填“等腰三角形”“等边三角形”或“直角三角形”）。 【解析】（1）如图1。∵∠EBC=∠E=60°，∴∠EFB=60°。∴∠EBC=∠E=∠EFB=60°。∴△EBF为等边三角形。故答案为等边三角形。 等边三角形 （2）若BE=6 cm，DE=2 cm，则BC= cm。 【解析】（2）如图2，延长AD交BC于点N。∵△EFB为等边三角形，∴BE=EF=BF=6。∵DE=2，∴DF=4。∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BC=2BN。∴∠DNF=90°。∵∠DFN=60°，∴∠FDN=30°。∴FN=DF=2。∴BN=BF-FN=6-2=4。∴BC=2BN=8 cm。故答案为8。 8 9. 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连结AE，与BD相交于点O，连结OC，DE，且OB=OC。 （1）求证：AE垂直平分BC。 【答案】（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC。∵OB=OC，点A，O在AE上，∴AE垂直平分BC。 （2）若∠OED=∠ODE，求证：CO平分∠ACB。 【答案】（2）∵∠OED=∠ODE，∴OD=OE。又∵BD⊥AC，AE⊥BC，∴CO平分∠ACB。 （3）若∠BAC=60°，求证：△CDE是等边三角形。 【答案】（3）由（1）知AB=AC。∵∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形。∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°。由（1）知AE垂直平分BC，∴E是BC的中点。∴EC=。∴EC=CD。∴△CDE是等边三角形。 10. 已知在△ABC中，∠A=60°，若要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件。现有下列三种说法： ①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC是等边三角形； ②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形； ③如果添加条件“边AB，BC上的高线长相等”，那么△ABC是等边三角形。其中正确的有（　A　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 A 11. 如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且 BD=CD。点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF=90°，M为边EF的中点，连结CM交DF于点N。若DF∥AB，则CN的长为（　A　） A. B. C. D. A 【解析】如图，连结DM。∵等边三角形ABC的边长为2，BD= 。∵在Rt△DEF中，M为EF的中点，∴DM=。故选A。 12. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，P是BA延长线上一点，O是线段AD上一点，OP=OC，有下列结论：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形。其中正确的是 ⁠。（填序号） ①③ 13. 在等边三角形ABC中，E是AB上的动点，点E与点A，B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED。 （1）如图1，若E是AB的中点，求证：BD=AE。 【答案】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°。∵E是AB的中点，∴CE平分∠ACB，AE=BE。 ∴∠BCE=30°。∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°。∵∠ABC=∠D+∠BED，∴∠BED=30°。 ∴∠D=∠BED。∴BD=BE。∴BD=AE。 （2）如图2，若E不是AB的中点，（1）中的结论“BD=AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明。 【答案】（2）BD=AE成立。证明如下：如图，过点E作 EF∥BC交AC于点F。∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB。 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC。∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°。∴△AEF是 等边三角形。∴AE=EF，∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°。 ∵DE=EC，∴∠D=∠ECD。∴∠BED=∠ECF。在△DEB和△ECF中，∵∴△DEB≌△ECF（AAS）。∴DB=EF。∴BD=AE。 14. 如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的度数之比为5∶6∶7，则以PA，PB，PC为边的三角形中，最大内角的度数 为 ⁠。 80° 【解析】如图，将△APB绕点A逆时针旋转60°得△AP′C，则△AP′C≌△APB，连结PP′。∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形。 ∴PP′=AP，∠APP′=∠AP′P=60°。∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC。∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7， ∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°。 ∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°。∴以PA，PB，PC为边的三角形中，最大内角为80°。故答案为80°。 15. 如图1，在凸四边形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC。 （1）如图2，若连结AC，则△ADC的形状是 　　　　三角形。依据的判 定定理是 　　　　　　　　　　　　　　。（请写出定理的具体内容） 【答案】（1）等边 一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形 （2）如图3，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边三角形BCE，并连结AE，请问：BD与AE相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由。 【答案】（2）BD=AE。证明如下：连结AC。 ∵由（1）知，△ADC是等边三角形，∴DC=AC，∠DCA=60°。又∵△BCE是等边三角形，∴CB=CE，∠BCE=60°。∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，即 ∠DCB=∠ACE。∴△BDC≌△EAC（SAS）。∴BD=EA。 （3）在（2）的条件下，请说明BD2=AB2+BC2成立的理由。 【答案】（3）∵△BCE是等边三角形，∴BC=BE，∠CBE=60°。 ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°。在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2=AB2+BE2。又∵BD=AE，∴BD2=AB2+BC2。 $$