等腰直角三角形 期末复习专题突破课件-2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

等腰直角三角形 思维导图 知识要点： 1. 两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。 2. 等腰直角三角形的两个锐角都等于45°，三边之比为1∶1∶。 3. 等腰直角三角形是轴对称图形，斜边上的中线所在的直线是对称轴， 并且将其分成两个等腰直角三角形。 1. 等腰直角三角形既是特殊的等腰三角形又是特殊的直角三角形，它除 了有等腰三角形或直角三角形的性质外还有自己特有的性质，是研究其 他复杂平面几何图形的基本图形。 2. 从角的角度看，等腰直角三角形三个内角分别为90°，45°和45°；从 边的角度看，等腰直角三角形两条直角边相等，斜边长是直角边长的 倍；从重要线段角度看，等腰直角三角形斜边上的中线、斜边上的高线 和直角的角平分线“三线合一”；从图形结构上看，等腰直角三角形斜边 上的中线将其分成两个小的等腰直角三角形。 知识点一：等腰直角三角形的性质 将两把大小不同的等腰直角三角形三角尺按图1所示的方式放置，图 2是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连结DC。 （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有 未标识的字母）。 （2）求证：DC⊥BE。 （1）根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD。（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠ACD=∠B=45°，进而得出∠DCB=90°，即可 得出结论。 （1）△ABE≌△ACD。证明如下： ∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD， ∠BAC=∠EAD=90°。∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD。在△ABE和△ACD中，∵∴△ABE≌△ACD（SAS）。 （2）∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD=∠ABE=45°。又∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°。∴DC⊥BE。 本题考查等腰直角三角形的性质的运用、全等三角形的判定 及性质的运用、垂直的判定，解答时利用等腰直角三角形结合图形的旋 转变换找出全等三角形是关键。 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD，BE是△ABC的高线，F是BC的中点，BE与DF，DC分别交于点G，H。 （1）求证：BH=AC。 【答案】（1）∵CD，BE是△ABC的高线，∴∠BEA=90°， ∠BDC=∠CDA=90°。又∵∠ABC=45°，∴∠BCD=∠ABC=45°，∠BAC+∠DCA=90°， ∠BAC+∠ABE=90°。∴DB=DC，∠ABE=∠DCA。在△DBH和△DCA中，∵∴△DBH≌△DCA（ASA）。∴BH=AC。 （2）若BG=5，CE=3，求GE的长。 【答案】（2）连结CG。∵F是BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC。∴CG=BG=5。 ∴在Rt△CGE中，GE=。 知识点二：等腰直角三角形的综合应用 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中点，点E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°。 （1）求证：△DEF为等腰直角三角形。 （2）求证：S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF。 （3）如果点E运动到AB的延长线上，点F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图并说明理由。 （1）连结AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC， AD=BD，证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证。（2）同（1）理证得△ADE≌△CDF，根据全等三角形的面积相等即可得证。（3）依然成立，仍然证明△BDE≌△ADF，即可推出答案。 （1）如图1，连结AD。 ∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°。∴∠1=∠B=45°。∵∠EDF=90°，∴∠2+∠3=90°。 又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4。在△BDE和△ADF中，∵ ∴△BDE≌△ADF（ASA）。∴DE=DF。又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形。 （2）同（1）理可证△ADE≌△CDF，∴S四边形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△BDE+S△CDF，即S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF。 （3）仍然成立。如图2，连结AD。 ∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD， ∠1=45°。 ∵∠DAF=180°-∠1=180°-45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，∴∠DAF=∠DBE。∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°。又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4。 在△BDE和△ADF中，∵∴△BDE≌△ADF（ASA）。 ∴DE=DF。 又∵∠EDF=90°，∴△DEF为等腰直角三角形。 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性 质，题中点E作为动点引发了图形的变化，掌握图形变化过程中不变的 量和不变的等量关系是解题的关键。 如图，已知在等腰直角三角形DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到点A，使DA=DF，连结AC。 （1）求证：△FBD≌△ACD。 【答案】（1）∵在等腰直角三角形DBC中，DB=DC， ∠BDF=∠CDA=90°，又∵DF=DA，∴△FBD≌△ACD（SAS）。 （2）延长BF交AC于点E，求证：。 【答案】（2）∵△FBD≌△ACD，∴BF=AC，∠DBF=∠DCA。 ∵∠BFD=∠CFE，∴∠BEC=∠BDF=90°。∴∠BEA=∠BEC=90°。 又∵BF平分∠DBC，∴∠ABE=∠CBE。 又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（ASA）。∴CE=AE=BF。 （3）在（2）的条件下，若H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并说明理由。 【答案】（3）CE2+GE2=BG2。理由如下： 连结CG。∵BD=CD，H是BC边的中点， ∴DH是BC的垂直平分线。∴BG=CG。在Rt△CGE中有CG2=CE2+GE2，∴CE2+GE2=BG2。 如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°， AB=AC，AD=AE。 （1）求证：S△ABD=S△ACE。 （2）如图2，AM是△ACE的中线，MA的延长线交BD于点N，求证： MN⊥BD。 （1）过点B作BM⊥DA于点M，过点C作CN⊥EA交EA的延长线于点N，根据全等三角形的性质可得BM=CN，根据三角形的面积公式即可得证。（2）延长AM到点Q使QM=AM，连结EQ，证明△AMC≌△QME，推出AC=EQ=AB，∠ACE=∠QEM，则AC∥EQ，求出∠BAD=∠AEQ，根据SAS证明△BAD≌△QEA，推出∠BDA=∠QAE，求出∠BDA+∠NAD=90°，进而求得∠DNA=90°，即可得证。 （1）如图3，过点B作BM⊥DA于点M，过点C作CN⊥EA交EA的延长线于点N。∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD+∠CAE=180°。 ∵∠CAN+∠CAE=180°，∴∠BAD=∠CAN。 ∵AB=AC，∠BMA=∠CNA=90°，∴△BMA≌△CNA（AAS）。 ∴BM=CN。 ∵AD=AE，S△ABDAD×BM， S△ACE=AE×CN， ∴S△ABD=S△ACE。 （2）如图4，延长AM到点Q使QM=AM，连结EQ。∵AM是△ACE的中线，∴CM=EM。又∵∠AMC=∠QME，∴△AMC≌△QME（SAS）。∴AC=EQ=AB，∠ACE=∠QEM。∴AC∥EQ。∴∠CAE+∠AEQ=180°。∵∠BAD+∠CAE=180°， ∴∠BAD=∠AEQ。在△BAD和△QEA中∵∴△BAD≌△QEA（SAS）。∴∠BDA=∠QAE。∵∠DAE=90°，∴∠NAD+∠QAE=90°。∴∠BDA+∠NAD=90°。 ∴∠DNA=180°-90°=90°。 ∴MN⊥BD。 本题考查全等三角形的性质和判定、三角形的面积等，主要 考查学生运用定理进行推理的能力，掌握与等腰直角三角形有关的基本 图形是解题的关键。 1. 如图，直线a∥b，将含有45°角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线b 上，若∠1=30°，则∠2的度数为（　B　） A. 10° B. 15° C. 25° D. 20° B 2. 如图，将一副三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形 的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠DCF的度数为 （　B　） A. 20° B. 15° C. 30° D. 45° B 3. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=BC，CD为AB边上的中线，AE为CD边上的中线，若BC=4，则AE的长为（　C　） A. B. C. D. 3 C 4. 如图所示为一副七巧板拼成的图形，若已知等腰直角三角形BIC的面 积是1，则正方形ABDF的边长是（　D　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，以BC为边在BC的左侧作等边三角形BCD，连结AD，则∠DAC= °。 30 6. 如图，∠C=90°，AC=BC，AB=8 cm，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，则△AED的周长是 cm。 8 7. 如图，已知Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠CAB=30°，∠DAB=45°，E是AB的中点，连结CE，DE，DC。若AB=6，则△DEC的面积为 　​ 　。 ​ 8. 如图1，△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，连结BD，CE。 （1）求证：△BAD≌△CAE。 【答案】（1）∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°。 ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE。在△BAD和△CAE中，∵∴△BAD≌△CAE（SAS）。 （2）将△ADE绕点A逆时针旋转，使C，D，E三点在同一直线上（如图2）。试猜想线段BD和CE有什么关系，并证明你的猜想。 【答案】（2）BD=CE，BD⊥CE。证明如下：∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°。 ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE。在△BAD和△CAE中，∵∴△BAD≌△CAE（SAS）。∴BD=CE，∠ABD=∠ACE。∵对顶角相等， ∴∠BDC=∠BAC=90°，即BD⊥CE。 9. 如图，正方形ABCD的面积S1=2，以CD为斜边，向外作等腰直角三角 形，再以该等腰直角三角形的一条直角边为边，向外作正方形，其面积 标记为S2……按照此规律继续下去，则S2026的值为（　B　） A. B. C. D. B 10. 将两把同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一 把三角尺的锐角顶点与另一把三角尺的直角顶点重合于点A，且另三个 锐角顶点D，B，C在同一条直线上。若AC=，则BD= 　 ⁠。 -1 【解析】如图，过点A作AF⊥BC于点F。在Rt△ABC中，∠ABC=45°，∴BC -1。 11. 如图，在△ABC中，AB=BC=8 cm，∠ABC=90°，点E在AB上，ED⊥AC于点D，M为EC的中点。当AE=2 cm时，△BMD的面积是 　​ 　 cm2。 ​ 【解析】∵AB=BC=8，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°。∵AE=2，∴BE=AB-AE=6。∴。 12. 在等腰直角三角形AOB中，已知AO⊥OB，点P，D分别在AB，OB上。 （1）如图1，若PO=PD，∠OPD=45°，求证：△BOP是等腰三角形。 【答案】（1）∵PO=PD，∠OPD=45°，∴∠POD=∠PDO==67.5°。 ∵在等腰直角三角形AOB中，AO⊥OB，∴∠B=45°。∴∠OPB=180°-∠POB-∠B=67.5°。∴∠POD=∠OPB。∴BP=BO，即△BOP是等腰三角形。 （2）如图2，若AB=10，点P在AB上移动，且满足PO=PD，DE⊥AB于点E，试问：此时PE的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请予以证明。 【答案】（2）PE的长不变，PE=5。证明如下：如图，过点O作OC⊥AB于点C。∵∠AOB=90°，AO=BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∠COB=∠B=45°。∵OC⊥AB，∴OC=AB=5。∵PO=PD，∴∠POD=∠PDO。又∵∠POD=∠COD+∠POC=45°+∠POC，∠PDO=∠B+∠DPE=45°+∠DPE，∴∠POC=∠DPE。 在△POC和△DPE中∵ ∴△POC≌△DPE（AAS）。∴OC=PE=5。 ∴PE的长不变，为5。 13. 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，过点A作射线AD，使AD∥BC，点E在AC上，连结BE，过点E作BE的垂线交AD于点F，连结BF。 （1）求证：∠DFE=∠ABE。 【答案】（1）如图，设BC与直线EF的交点为H。∵AD∥BC， ∴∠DFE=∠FHB。∵BE⊥EF，∴∠FHB+∠EBH=90°。∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠EBH=90°。 ∴∠FHB=∠ABE。∴∠DFE=∠ABE。 （2）求证：EF=BE。 【答案】（2）如图，过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N。∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°。∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB=45°。∵EM⊥AD，EN⊥AB， ∴EM=EN，∠EMF=∠ENB=90°。∵∠DFE=∠ABE，∴△EFM≌△EBN（AAS）。∴EF=BE。 （3）延长FE到点G，使EG=EF，连结BG，CG，求证：CG∥AB。 【答案】（3）∵BE⊥EG，EF=BE=EG，∴BF=BG，∠EBF=∠EBG=45°。∴∠FBG=90°。 ∵∠ABC=90°，∴∠ABF=∠CBG。又∵AB=CB， ∴△ABF≌△CBG（SAS）。∴∠BCG=∠BAF=90°。∴∠BCG=∠ABC=90°。∴CG∥AB。 14. 如图，在等腰直角三角形ABC的斜边AB上取两点M，N（不与点A，B 重合），使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，NB=n，试判断以x，m，n为边长的三角形的形状，并说明理由。 【答案】以x，m，n为边长的三角形的形状为直角三角形。理由如下： 如图，将△ACM绕点C逆时针旋转90°，得△CBD，连结DN。∴△ACM≌△BCD。 ∴∠CBD=∠A=45°，BD=AM，∠ACM=∠BCD，CM=CD。 ∴∠ACM+∠MCB=∠BCD+∠MCB， 即∠ACB=∠MCD=90°。∵∠MCN=45°，∴∠MCN=∠DCN=45°。在△MNC和△DNC中，∵∴△MNC≌△DNC（SAS）。∴MN=DN=x。又∵∠DBN=45°+45°=90°，DB=AM=m，NB=n，∴以x，m，n为边长的三角形的形状为直角三角形。 $$