精品解析：云南省丽江市第一高级中学2024-2025学年高三下学期5月月考数学试卷

丽江市第一高级中学2025届高三5月月考 数学试卷 注意事项: 1.试卷总分 150分， 考试时间 120 分钟. 2.答题前，考生先将自己的姓名，考号等内容填写清楚. 3.选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色碳素笔或钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚. 4.请按照题号顺序在各题目对应的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持答题卷面整洁，不要折叠、不要弄破，禁止使用涂改液、涂改胶条. 一、单选题（本题共计8题，共计40分） 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求出，利用交集概念求出答案. 【详解】因为,，所以. 故选：A 2. 复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，可得， 所以. 故选：B. 3. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】，解方程可得到答案 【详解】由题可知 ,所以 ,解得 . 故选：C 4. 已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 4 ，则点 到 轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定准线方程，结合抛物线的定义确定点 的纵坐标，带入即可求解. 【详解】由题可知抛物线 的准线方程为 . 设点 ,根据抛物线的定义可知 ,即 . 由抛物线方程可得 ,即 ,所以点 到 轴的距离为 . 故选：D. 5. 若 是角 终边上一点，则 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得到的值，再由诱导公式得到答案. 【详解】由题可知 . 故选：A 6. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数 满足条件 ①在闭区间上是连续不断的，②在开区间上都有导数，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中被称为拉格朗日中值.函数 在区间上的拉格朗日中值所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数思想，结合零点存在的区间端点值的大小分析即可得解. 【详解】由题可知 , , , 则 , , 即 ， 由指数函数和一次函数的单调性可知： 在上单调递增， 又 , , 所以所在的区间为. 故选： 7. 已知数列 满足 ，则 （ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，再利用累加法即可求解. 【详解】因为 ， 所以当 时， ，则 ，故B正确. 故选：B. 8. 如图，正方形 的边长为2， 为边 的中点.将 沿 所在直线进行翻折，使得二面角 为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作垂足为 ，过点作，垂足为，则翻折后与的夹角为，再由解题即可. 【详解】过点作垂足为 ，过点作，垂足为，则翻折后与的夹角为， 因为正方形 的边长为2， 为边 的中点， 所以，易得，， 因为与相似，则， 所以,，所以 , 又， 所以 ，所以. 故选：D 二、多选题（本题共计3题，共计18分） 9. 一组样本数据 的平均数为，方差为，这组样本数据增加 2 个数据后得到新的样本数据 ，则这组新数据与原数据一定相同的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 第10百分位数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据样本数字特征的求解可逐项判断. 【详解】新数据的平均数为 ，故平均数一定相同. 因为不确定与之间的大小关系,所以中位数无法判断. ，新数据的方差， 所以新数据的方差小于原数据的方差； 因为，所以新数据与原数据的第 10 百分位数都是第一个数， 又所以新数据与原数据的第 10 百分位数均为. 故选：AD. 10. 已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于点 对称 D. 若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，由最小正周期可求得，再由 ，可列出方程组，即可求得，即可求出的解析式，即可对A、B判断求解，利用整体代换法可求得对称中心，即可对C判断求解；利用整体代换法可得，再结合对称轴即可对D判断求解. 【详解】A、B： ，， 由 的最小正周期为 ，得 ， 因为 ， 所以 ，解得 ，故A、B正确. C： ，当 时，，故C错误. D：当 时， ， 因为 ，所以 ，即 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 定义: 曲线与曲线恰有三个交点，且这三个交点恰好能组成正三角形，则称互为 “正三角曲线”.下列说法正确的是（ ） A. 已知曲线与曲线恰有三个交点，且 关于原点对称，若 互为 “正三角曲线” ，则的离心率的取值范围为 B. 存在正数，使得曲线与曲线互为“正三角曲线” C. 存在实数，使得曲线与曲线互为“正三角曲线” D. 存在正数，使得曲线 与曲线互为 “正三角曲线” 【答案】AB 【解析】 【分析】设点 ，取 ，求得，得到，可判定A正确；化简方程，得到或得到这三个交点恰好能组成正三角形，可判定B正确；由方程得到或 且与 得到图象关于直线对称，得到曲线与直线相切，设切点为，利用导数的几何意义，求得切点，联立方程组，可判定C错误；假设互为“正三角曲线”，联立方程组，取两函数图象相邻的三个交点，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】对于A中，设点 ，则可取 ，则 ， 整理得，解得，即，可得 ， 则，所以的离心率的取值范围为，所以 A正确； 对于B中，由， 即或，故曲线表示两条直线； 若 互为“正三角曲线”，则直线与相切，则， 此时的圆心(0,0)到直线的距离为， 所以这三个交点恰好能组成正三角形，所以B正确； 对于C中，由，可得或 且与 互为反函数，故它们的图象关于直线对称， 曲线表示两条直线和； 若互为“ 正三角曲线”，则曲线与直线相切， 设切点为，则 ，可得，切点， 设为坐标原点，直线与曲线交于点， 则 ，所以 ，无解，所以C错误； 对于D中，假设互为“正三角曲线”，由 ， 可得 或 ， 如图所示,取两函数图象相邻的三个交点， 由图可知,正三角形的边上的高 , 为 的最小正周期，即 ,所以 ， 所以，解得， 当 且 时，曲线与曲线有四个交点 所以D错误. 故选：AB. 三、填空题（本题共计3题，共计15分） 12. 已知函数是在上单调递增的奇函数，若，则满足的的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到，结合单调性得到，求出答案. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为，所以， 因为是增函数, 所以，解得. 故答案为： 13. 已知 是等差数列 的前 项和， ，则 的最大值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】利用等差数列是单调数列，结合数列的正数项可判断前 项和的最大值. 【详解】由等差数列性质可得：,即 ， 因为 ,所以当且仅当 时, , 所以 的最大值为 或，则， 故答案为： 14. 已知某班共有40位学生，物理老师随机从该班选择10位学生参加物理竞赛，数学老师随机从该班选择 10 位学生参加数学竞赛，且两位老师的选择都是独立的.记 为该班参加物理竞赛或数学竞赛的学生人数，则当 取得最大值时，整数 _____. 【答案】18 【解析】 【分析】由题意可求出总情况为种，再分别求出同时参加物理竞赛和数学竞赛和只参加一项的情况，从而再利用组合数的运算即可求解. 【详解】两位老师都随机选择 10 人，共有 种情况， 当 时,同时参加物理竞赛和数学竞赛的学生人数为 ，仅参加物理竞赛、仅参加数学竞赛的学生人数均为 ， 所以 . 令 ， 则 ，解得 ； 令 ， 则 ，解得 . 故 ，整数 . 故答案为：. 四、解答题（本题共计5题，共计77分） 15. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 的面积为 . （1）求 . （2）若 ，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用面积公式和余弦定理可化简原式得； (2)利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可得，再利用二倍余弦公式，可计算. 【小问1详解】 由题可知 , 由余弦定理可知 , 所以 , 化简可得. 【小问2详解】 由 正弦定理,可得 , 所以, 因为，所以， 再由内角和定理得：， 即,则 ， 由( 1 )可知,所以 ， , 解得 . 16. 在三棱柱中 . （1）证明:平面平面. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：设为的中点，连接， 因为，所以为等边三角形， 可得， 因为，所以，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设为的中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； 另解：设点到平面的距离为，结合，求得的值，进而求得直线 平面 成角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:因为，所以，， 两两垂直， 以为坐标原点, 以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则 ，，， ， 则 ， 设平面的法向量为，则 ， 令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 另解：设点到平面的距离为，为的中点,连接 ， 所以，因为，所以平面，故， 又由 ， ， ， 由，可得 . 设直线 与平面 所成的角为 ，可得， 所以直线 平面 成角的正弦值为. 17. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签决定第1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率均为. （1）求第2次投篮的人是甲的概率. （2）记为前3次投篮中，甲总共投篮的次数，求的分布列与期望. 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 1 2 3 .【解析】 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）由题设有的所有可能取值为0,1,2,3，并求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 记“第次投篮的人是甲”为事件,“第次投篮的人是乙”为事件， 所以 【小问2详解】 由题设，的所有可能取值为0,1,2,3， ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点 . （1）求椭圆的方程. （2） 设是椭圆的右顶点，是椭圆上不同的两点，直线的斜率分别为 ，且 . （i）证明: 直线过定点. （ii）若为的重心，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （i）证明：由椭圆的方程，可得， 设 ，，直线的方程为且 ， 联立方程组，整理得， 由 ，可得，且， 因为， 可得， 化简得 ， 所以， 又由，所以，即直线过定点. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，再由椭圆经过点，得到，求得的值，即可求解； （2）（i）设 ，直线为，联立方程组，根据，化简得到，令，即可得证；(ii) 设 ，化简得到方程①可化为，当方程①对应的曲线过点(0，1)，(0， - 1)时，得到 ；当方程①对应的曲线过点时，由椭圆的定义，得到 ，进而得到 的取值范围. 【小问1详解】 解：由椭圆的长轴长是短轴长的3倍，可得， 因为椭圆经过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 (ii) 由（i）可知直线过原点，则，且， 设 ， 则， 令 ，①； 方程①对应的曲线是以为焦点，为长轴的椭圆， 当方程①对应的曲线过点时，由椭圆的定义知，方程①可化为， 此时椭圆上的任意一点 满足 ， 当且仅当时，上式等号成立， 即椭圆上的其他点均在椭圆外， 所以当方程①对应的曲线过椭圆上的其他点时，增大，故 ； 当方程①对应的曲线过点时，由椭圆的定义，知方程①可化为， 此时椭圆上的任意一点 满足， 当且仅当时，上式等号成立，即椭圆上的其他点均在椭圆内， 所以当方程①对应的曲线过椭圆上的其他点时，减小，故 . 当等号成立时，点中有一点会与点重合，所以等号不成立， 综上，当方程①对应的曲线经过椭圆C上的其他点时，可知 故的取值范围是. 19. 已知函数 的定义域为 ，若存在某区间 ，使得 在区间 上的值域为 ，则称 是 “封闭函数” ，区间 为 的 “封闭区间”. （1）判断 是否为 “封闭函数”.若是，求出 的所有 “封闭区间”； 若不是，请说明理由. （2）已知函数 ，且关于 的方程 有两个不同的实数解. （i）求 的取值范围. （ii） 证明: 是 "封闭函数". 【答案】（1）不是，理由为： 假设  是“封闭函数”,区间  为  的“封闭区间”. 因为  ,所以  , 则  在  上单调递减, 所以  ,两式相减可得  ,化简可得  . 令  ,则  ,当且仅当  时,  ,所以  在  上是增函数, 所以  ,与题意矛盾,故  不是“封闭函数”. （2）（i） （ii）证明: 由(i) 可设存在  ,使得  ,且 ,  设  ,令  ,解得  在  上单调递增,在  上单调递减. ① 若  ,则  在  上单调递增,所以  ,  ,由上可知取  ,  ,此时  ,所以当  时,存在一组  符合题意; ②若  ,则  在  上单调递减,所以  ,  , 所以  ,即  ,不符合题意； ③ 若  ,则  在  上单调递增,在  上单调递减,所以  ,由  得  ,又因为  , 所以  ,即  ,所以当  时,存在一组  符合题意. 综上,  是 "封闭函数". 【解析】 【分析】（1）假设为“封闭函数”，借助在单调递减求解，根据是否有解做出判断. （2）（i）转化为 有两解，构造，得又两个零点，借助找出单调区间，判断最值,确定零点范围，得到 的取值范围. （ii）利用找出的单调区间和极值点，取，分别讨论，，，三种情况，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知, 有两解,即 有两解. 设 ,则 ,令 ,解得 , 则 在 上单调递增,在 上单调递减, . 因为 有两个零点,所以 ,解得 , 所以 的取值范围为 . (ii) 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市第一高级中学2025届高三5月月考 数学试卷 注意事项: 1.试卷总分 150分， 考试时间 120 分钟. 2.答题前，考生先将自己的姓名，考号等内容填写清楚. 3.选择题部分必须使用2B铅笔填涂，非选择题部分必须使用黑色碳素笔或钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚. 4.请按照题号顺序在各题目对应的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5.保持答题卷面整洁，不要折叠、不要弄破，禁止使用涂改液、涂改胶条. 一、单选题（本题共计8题，共计40分） 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 4. 已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 4 ，则点 到 轴的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 若 是角 终边上一点，则 （ ） A. B. C. 2 D. 6. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数 满足条件 ①在闭区间上是连续不断的，②在开区间上都有导数，那么在开区间上至少存在一个实数，使得，其中被称为拉格朗日中值.函数 在区间上的拉格朗日中值所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列 满足 ，则 （ ） A. 3 B. 2 C. D. 8. 如图，正方形 的边长为2， 为边 的中点.将 沿 所在直线进行翻折，使得二面角 为 ，则 （ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共计3题，共计18分） 9. 一组样本数据 的平均数为，方差为，这组样本数据增加 2 个数据后得到新的样本数据 ，则这组新数据与原数据一定相同的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 第10百分位数 10. 已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的图象关于点 对称 D. 若 ，则 11. 定义: 曲线与曲线恰有三个交点，且这三个交点恰好能组成正三角形，则称互为 “正三角曲线”.下列说法正确的是（ ） A. 已知曲线与曲线恰有三个交点，且 关于原点对称，若 互为 “正三角曲线” ，则的离心率的取值范围为 B. 存在正数，使得曲线与曲线互为“正三角曲线” C. 存在实数，使得曲线与曲线互为“正三角曲线” D. 存在正数，使得曲线 与曲线互为 “正三角曲线” 三、填空题（本题共计3题，共计15分） 12. 已知函数是在上单调递增的奇函数，若，则满足的的取值范围是_____. 13. 已知 是等差数列 的前 项和， ，则 的最大值为_____. 14. 已知某班共有40位学生，物理老师随机从该班选择10位学生参加物理竞赛，数学老师随机从该班选择 10 位学生参加数学竞赛，且两位老师的选择都是独立的.记 为该班参加物理竞赛或数学竞赛的学生人数，则当 取得最大值时，整数 _____. 四、解答题（本题共计5题，共计77分） 15. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 的面积为 . （1）求 . （2）若 ，求 . 16. 在三棱柱中 . （1）证明:平面平面. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下:若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签决定第1次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率均为. （1）求第2次投篮的人是甲的概率. （2）记为前3次投篮中，甲总共投篮的次数，求的分布列与期望. 18. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点 . （1）求椭圆的方程. （2） 设是椭圆的右顶点，是椭圆上不同的两点，直线的斜率分别为 ，且 . （i）证明: 直线过定点. （ii）若为的重心，求的取值范围. 19. 已知函数 的定义域为 ，若存在某区间 ，使得 在区间 上的值域为 ，则称 是 “封闭函数” ，区间 为 的 “封闭区间”. （1）判断 是否为 “封闭函数”.若是，求出 的所有 “封闭区间”； 若不是，请说明理由. （2）已知函数 ，且关于 的方程 有两个不同的实数解. （i）求 的取值范围. （ii） 证明: 是 "封闭函数". 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $