立体几何的截面问题讲义-2025届高三数学二轮复习

立体几何的截面问题 一．截面的的画法小结 1.确定截面的主要依据有 （1）平面的四个公理及推论． （2）直线和平面平行的判定和性质． （3）两个平面平行的性质． 2.作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 三．正方体中的基本截面类型 2． 例题 例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．（三点中有两点共面） 例2.（三点所在的棱两两异面） 如图，长方体中，分别为上三点，求过这三点的截面. 例3．（24-25高三上·湖南郴州·模拟预测）已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 例4.(24-25高三上·江西上饶·月考）已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（    ） A． B． C． D． 例5.如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 例6.在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 3． 练习 1.（三点两两共面）P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法． 2.如图，在棱长为12的正方体中，已知E，F分别为棱AB，的中点，若过点，E，F的平面截正方体所得的截面为一个多边形，求该多边形的周长. 3.如图，在正方体中，，为棱的中点， 为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________. 4.在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 5.已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 6.在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，. (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何的截面问题 一．截面的的画法小结 1.确定截面的主要依据有 （1）平面的四个公理及推论． （2）直线和平面平行的判定和性质． （3）两个平面平行的性质． 2.作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 三．正方体中的基本截面类型 2． 例题 例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面．（三点中有两点共面） 思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面. 解析：作法：①.由于共面，在底面内，过作直线，与于，显然，此时即在侧面内，又在欲求截面内，而该截面与侧面又交于点，根据公理1，截面与侧面交于. 同理，过作直线与的延长线交于，此时即在侧面内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面交于. ②在侧面内，连接交于. ③在侧面内，连接交于. ④连接.则五边形EFHGK即为所求的截面． 例2.（三点所在的棱两两异面） 如图，长方体中，分别为上三点，求过这三点的截面. 分析：此题的难点在于三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题. 解：如图，作交与，则确定一个平面，转化为例1的情形. 连接,交于点；连接交延长线于；连接交延长线于；连接交于.则为所作截面. 例3．（24-25高三上·湖南郴州·模拟预测）已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【解析】如图， 因为点、满足， 点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点， 延长与交于点，连接交于， 延长交于点，连接交于，连接， 则五边形为所求截面图形.故选：B． 例4.(24-25高三上·江西上饶·月考）已知正四棱锥，其中，，平面过点A，且平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，在正四棱锥中，， 且， 所以，所以三角形是等边三角形， 设是的中点，则，所以，且， 设平面与分别相交于点， 则由得， ， 所以，故， 所以， 所以， 在三角形中，由余弦定理得：， 所以， 所以结合正四棱锥对称性得， 所以截面面积为.故选：A. 例5.（24-25高三下·北京·开学考试）如图，已知正四面体的棱长为1，过点B作截面α分别交侧棱，于E，F两点，且四面体的体积为四面体体积的，则 ，的最小值为 . 【解析】因为，则， 记， 因为，即。 又因为， 当且仅当，即时，取等号，所以a的最小值为. 例6（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为球的半径为2，所以球不与侧而及侧面相交， 连接．由题得，．所以， 所以球与侧面交于点，，与侧面交于点，． 在正六边形中，易得，因为平面，平面． 所以，又，平面， 所以平面，即平面，且，又，． 所以球与侧面的交线为以为直径的半圆， 同理可得球与侧面的交线为以为直径的半圆． 由题易得， 则球与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆． 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为．故选：D． 3． 练习 1.（三点两两共面）P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法． 解析：作法：（1）连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F. （2）连接EF交AB于T，交AD于S. （3）连接RS，TP.则五边形PQRST即为所求截面． 2.如图，在棱长为12的正方体中，已知E，F分别为棱AB，的中点，若过点，E，F的平面截正方体所得的截面为一个多边形，求该多边形的周长. 解析：如图，延长DC，与的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的延长线交于点M，连接，交于点N．连接NE，FH，因为正方体的棱长为12，所以．因为∥，所以， 所以，所以，同理可得，所以， 所以，， 所以，．易知，所以 ，又，解得，所以， ， 则该多边形的周长为. 3.如图，在正方体中，，为棱的中点， 为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________. 解析：如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，连接，易证，则五边形为所求截面. 因为，所以， 则，故该截面的周长是 . 故答案为： 4.在长方体中，，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，则平面截该长方体所得的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【解析】延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 则五边形为平面截该长方体所得的截面图形， 不妨设，又点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点， 所以，，，所以，又， 所以，又，所以， 又，即，解得， 又，即，解得，符合题意， 即五边形为平面截该长方体所得的截面图形.故选：C 5.已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【解析】 如图，在上取一点，使得，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以与相交于且为的中点， 又在上，所以与相交于，且O平分，， 所以四点四点共面且四边形为平行四边形， 所以过三点的截面是平行四边形， ， ， ， 故截面面积为.故选：A. 6.在四棱锥中，底面是梯形，，，平面平面，，. (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值； (3)若线段上存在一点E，使得截面将四棱锥分成体积之比为的上下两部分，求点P到截面的距离. 【解析】（1）取的中点，连，，由，，得四边形为平行四边形， 由，得平行四边形为矩形，则， 由平面平面，平面平面，平面，得平面. 又平面，则，由，，得， 由，，得，则，即， 而，平面， 因此平面，而平面， 所以. （2）由，，，平面， 得平面，平面，则， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设与平面所成角为，， 即与平面所成角的正弦值为. （3）设截面交于，由，面，面，得平面， 又平面，平面平面，则， 依题意，，则， 设，则， ， ，， 到的距离， 截面的面积为， 设平面的法向量， 则，取，得， 则到平面的距离， 于是，解得， 所以点到截面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$