精品解析：广东省东莞市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

广东省东莞市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 某服装品牌店试销一种新款女装，试销期间销售情况如表： 衣服的尺码 S M L 销售量 3 12 8 4 下次该店主进货最多的尺码应为（ ） A. B. M C. L D. 3. 如图，一个圆锥的高，底面半径，则长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 为更好地学习贯彻第十四届全国人大会议的精神，学校举办了“牢记使命担当，奋进新时代”知识竞赛，某班参赛的5名同学的成绩（单位：分）分别为：85，84，82，90，88．则这组数据的中位数是（ ） A. 82 B. 84 C. 85 D. 90 5. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　　） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 8. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，得到四边形相交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象过点 B. 当时，总有 C. 图象不经过第四象限 D. 随的增大而增大 10. 如图，已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应的位置上． 11. 计算：______． 12. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 13. 已知点都在直线上，则________．（填“”“”或“”） 14. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧，小美家有如图1的中国结装饰，其主体部分可抽象成如图2所示的菱形，测得，则该菱形的面积为____________． 15. 如图1，点从的顶点出发，以的速度沿在三角形的边上运动．设运动的时间为，点与点之间的距离为，与的函数关系图象如图2所示，其中是曲线部分的最低点，则__________． 三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 16. 计算：． 17. 如图，网格中每一个小正方形的边长为1． （1）计算：若正方形面积与图中阴影部分面积相等，则正方形的边长为____________； （2）实践操作：请你在网格中画出满足题（1）条件的正方形，并使点A，B，C，D均落在格点上． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 18. 已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且． （1）若，求的度数； （2）求证：四边形是平行四边形． 19. 东莞是全国闻名的荔枝之乡，荔枝已成为东莞种植面积最大、品种最鲜明、区域优势最明显的水果．为了解①号、②号两个品种荔枝的年产量（株）情况，在某荔枝种植基地随机抽取①号、②号两个品种荔枝各20株进行调查，下面给出了部分信息： 抽取的①号、②号品种荔枝年产量的统计表： 品种 平均数 方差 ①号 70 a ②号 27 （1）填空：___________，__________； （2）根据图表中的数据，若只考虑荔枝的年产量，你认为果农应扩大几号品种荔枝的种植面积？为什么？ 20. 某数学兴趣小组开展测量旗杆高度的实践活动，得到以下测量素材（旗杆，绳子粗细忽略不计）： 【素材一】如图1，旗杆上的绳子垂到地面，并多出了2米； 【素材二】如图2，把绳子拉开拉直，让绳子下端刚好固定在地面点处，此时，旗杆底部点与点距离为6米． （1）请你根据测量素材一和素材二，计算旗杆AB的高度； （2）如图3，若小明举高手拉直绳子，此时绳子下端位置点到地面的距离为2米，这时小明距离旗杆多远？ 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 数学实践小组为了研究向上整齐叠放的一摞碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律，从食堂取来一摞碗进行测量，下表是小组成员测量得到的数据： 1 2 3 4 9 11 13 15 （1）分别以碗的数量和一摞碗的总高度为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请在平面直角坐标系中描出相应的点，并依次标上字母A，B，C，D； （2）张华观察描出四个点的分布规律后，猜想这四个点都在同一条直线上．请你运用一次函数的知识验证张华的猜想； （3）食堂摆放碗的餐具柜每一层的高度为，要使每一摞向上整齐叠放的碗都能顺利放进柜子，每一摞最多能叠放几个碗？ 22. 科代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”“转化”数学思想作为问题解决的思路，具体如下： 【知识再现】一般地，已知两个正数和，如果，那么；反之，如果，那么． 【知识应用】（1）_____________，___________，（分别计算） (填“>”“<”“=”“”或“”) 又， 填“>”“<”“=”“”或“”） 【猜想证明】（2）判断与的大小关系，并证明． 【拓展应用】（3）为了更好开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区．将原来面积为10平方米的正方形地块的篱笆收集下来（不考虑损耗），这些篱笆_________（填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”）围成两个面积和为10平方米的正方形地块． 23. 《几何原本》中提供了一种证明勾股定理的方法． 已知：如图，中，． 求证：． 证明思路如下： 【步骤一】分别以为边长向外作正方形，连接．可证； 【步骤二】过点作，交于点，由，易得矩形与面积之间的数量关系，同理也可得正方形与面积之间的数量关系； 【步骤三】证明； 【步骤四】同理可证，． 所以， 又因为， 所以． （1）请写出【步骤一】中证明的过程； （2）请直接写出【步骤二】中矩形与，正方形与面积之间的数量关系； （3）请写出【步骤三】中证明的过程． 六、解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接． （1）①求的度数： ②若点是的中点，求的长． （2）如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点A，B． （1）求和的值； （2）如图2，点是轴上的动点，过点作垂直于轴的直线，分别与直线和交于D，E两点，过点作轴，交直线于点，以，为边作矩形． ①连接，当时，试判断的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当动点在轴上运动时，发现顶点始终落在一条直线上，请直接写出该直线的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省东莞市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义的条件，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，由此建立不等式求解． 【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，则被开方数必须满足． 解得， 因此的取值范围是． 故项A． 2. 某服装品牌店试销一种新款女装，试销期间销售情况如表： 衣服的尺码 S M L 销售量 3 12 8 4 下次该店主进货最多的尺码应为（ ） A. B. M C. L D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了统计表，根据表格中的销售数据，直接比较各尺码的销售量，选择销售量最大的尺码即可． 【详解】解：由表格可知，各尺码对应的销售量分别为：S售出3件，M售出12件，L售出8件，售出4件．比较各数值，M的销售量12件为最大．因此，下次进货最多的尺码应为M． 故选B． 3. 如图，一个圆锥的高，底面半径，则长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理列式计算，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 在中，， ∴的长为． 故选：B． 4. 为更好地学习贯彻第十四届全国人大会议的精神，学校举办了“牢记使命担当，奋进新时代”知识竞赛，某班参赛的5名同学的成绩（单位：分）分别为：85，84，82，90，88．则这组数据的中位数是（ ） A. 82 B. 84 C. 85 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的计算，将数据从小到大排列后，取中间位置的数即为中位数． 【详解】解：将5名同学的成绩从小到大排列为：82，84，85，88，90． 数据个数为5（奇数），中位数为中间第3个数，即85． 故选C． 5. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A. ， 与不是同类二次根式，无法直接合并，故本选项不符合题意； B. ，结果应为而非，故本选项不符合题意； C.根据二次根式乘法法则，，故本选项符合题意； D. ，而，，两者不相等，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（　　） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； 【详解】解：连接AC、BD．AC交FG于L． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵DH=HA，DG=GC， ∴GH∥AC， 同法可得：，EF∥AC， ∴GH=EF，GH∥EF， ∴四边形EFGH是平行四边形， 同法可证：GF∥BD， ∴∠OLF=∠AOB=90°， ∵AC∥GH， ∴∠HGL=∠OLF=90°， ∴四边形EFGH是矩形． 故选B． 【点睛】题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，得到四边形相交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故选项B，C，D不符合题意， ∵四边形不一定是菱形， ∴与不一定垂直，故选项A符合题意， 故选：A． 9. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象过点 B. 当时，总有 C. 图象不经过第四象限 D. 随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括点是否在图象上、函数值的范围、图象经过的象限以及函数的增减性． 【详解】解：选项A：将代入，得，故点不在图象上，错误． 选项B：当时，，则，恒成立，正确． 选项C：因，，图象经过第一、二、四象限，故经过第四象限，错误． 选项D：，故随的增大而减小，错误． 故选：B 10. 如图，已知正方形，以为边作等边三角形，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，等边三角形的性质的运用．解答时求出，分类讨论是关键． 由图1和图2根据正方形的性质和等边三角形的性质就可以求出是等腰三角形，再由等边三角形的性质就可以求出结论． 【详解】解：如图1，当在正方形外部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图2，当在正方形内部时， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应的位置上． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，即可计算出结果． 【详解】解：． 12. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 13. 已知点都在直线上，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到对应纵坐标的大小关系． 【详解】解：对于直线，一次项系数，根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大， 已知两点横坐标分别为和， ， ． 14. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧，小美家有如图1的中国结装饰，其主体部分可抽象成如图2所示的菱形，测得，则该菱形的面积为____________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是关键．根据菱形的性质得到，再计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为， 故答案为：24 ． 15. 如图1，点从的顶点出发，以的速度沿在三角形的边上运动．设运动的时间为，点与点之间的距离为，与的函数关系图象如图2所示，其中是曲线部分的最低点，则__________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 从图2看，，的最小值为8，即；在和中，勾股定理求出，进而求解． 【详解】解：过点作于点， 从图2看，， 从图2看，点为曲线部分的最低点，即的最小值为8，即， 在 中，， 在 中，， 故； 故答案为：21． 三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．先计算乘法，再和并，即可求解． 【详解】解：原式 17. 如图，网格中每一个小正方形的边长为1． （1）计算：若正方形面积与图中阴影部分面积相等，则正方形的边长为____________； （2）实践操作：请你在网格中画出满足题（1）条件的正方形，并使点A，B，C，D均落在格点上． 【答案】（1） （2） 如图，正方形即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，勾股定理： （1）根据题意可得阴影部分的面积为5，再根据算术平方根的性质解答即可； （2）取格点A，B，C，D，使，即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：阴影部分的面积为5， ∴正方形的边长为； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 18. 已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且． （1）若，求的度数； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2） 证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 即， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定， （1）根据平行四边形的性质求解即可； （2）首先得到，，然后由，得到，即可得到四边形是平行四边形． 【小问1详解】 ∵四边形为平行四边形， ． ， ； 【小问2详解】 略 19. 东莞是全国闻名的荔枝之乡，荔枝已成为东莞种植面积最大、品种最鲜明、区域优势最明显的水果．为了解①号、②号两个品种荔枝的年产量（株）情况，在某荔枝种植基地随机抽取①号、②号两个品种荔枝各20株进行调查，下面给出了部分信息： 抽取的①号、②号品种荔枝年产量的统计表： 品种 平均数 方差 ①号 70 a ②号 27 （1）填空：___________，__________； （2）根据图表中的数据，若只考虑荔枝的年产量，你认为果农应扩大几号品种荔枝的种植面积？为什么？ 【答案】（1）7.1；70 （2）果农应扩大①号品种荔枝的种植面积，理由如下： ， 即两个品种荔枝的平均年产量都是株，平均产量相同；但①号品种的年产量比②号品种的稳定， ∴果农应扩大①号品种荔枝的种植面积． 【解析】 【分析】（1）结合条形统计图数据，根据平均数、方差的计算方法计算即可； （2）先比较平均数，再比较方差即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 略 20. 某数学兴趣小组开展测量旗杆高度的实践活动，得到以下测量素材（旗杆，绳子粗细忽略不计）： 【素材一】如图1，旗杆上的绳子垂到地面，并多出了2米； 【素材二】如图2，把绳子拉开拉直，让绳子下端刚好固定在地面点处，此时，旗杆底部点与点距离为6米． （1）请你根据测量素材一和素材二，计算旗杆AB的高度； （2）如图3，若小明举高手拉直绳子，此时绳子下端位置点到地面的距离为2米，这时小明距离旗杆多远？ 【答案】（1）8米 （2）8米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用；矩形的判定与性质； （1）设旗杆高度为米，则绳子长为米，再利用勾股定理建立方程求解即可； （2）如图，过点作于点．证明四边形为矩形．可得．再进一步利用勾股定理求解即可. 【小问1详解】 解：依题意，设旗杆高度为米，则绳子长为米． 在Rt中，， 即． ． 答：旗杆的高度为8米． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ． ， 四边形为矩形． ． ． 又， 在中，． ． 答：小明距离旗杆8米． 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21. 数学实践小组为了研究向上整齐叠放的一摞碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律，从食堂取来一摞碗进行测量，下表是小组成员测量得到的数据： 1 2 3 4 9 11 13 15 （1）分别以碗的数量和一摞碗的总高度为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请在平面直角坐标系中描出相应的点，并依次标上字母A，B，C，D； （2）张华观察描出四个点的分布规律后，猜想这四个点都在同一条直线上．请你运用一次函数的知识验证张华的猜想； （3）食堂摆放碗的餐具柜每一层的高度为，要使每一摞向上整齐叠放的碗都能顺利放进柜子，每一摞最多能叠放几个碗？ 【答案】（1） 如图所示，点A，B，C，D即为所求． （2） 设经过点，点的直线解析式为，得，解得， 直线的解析式为． 把代入中，得：， 点在直线上． 把代入中，得， 点在直线上． 综上所述，点A，B，C，D四点都在同一条直线上． （3）每一摞最多叠放11个碗． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，描点法画一次函数的图象，待定系数法求一次函数的表达式，根据一次函数表达式求函数值等知识点，解题的关键是利用待定系数法求一次函数的解析式． （1）直接在平面直角坐标系中描点，即可求解； （2）利用待定系数法求解，并检验，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意得：， ． 为整数， 的最大值为11． 答：每一摞最多叠放11个碗． 22. 科代表小明发现有同学常出现类似“”的错误计算．小明深知不能简单强调“不是同类二次根式不能合并”，而是要同学们深刻理解与的大小关系才能解决这个问题．他与几位同学讨论后，选择了“从特殊到一般”“转化”数学思想作为问题解决的思路，具体如下： 【知识再现】一般地，已知两个正数和，如果，那么；反之，如果，那么． 【知识应用】（1）_____________，___________，（分别计算） (填“>”“<”“=”“”或“”) 又， 填“>”“<”“=”“”或“”） 【猜想证明】（2）判断与的大小关系，并证明． 【拓展应用】（3）为了更好开展劳动教育，学校计划将农场用篱笆重新分区．将原来面积为10平方米的正方形地块的篱笆收集下来（不考虑损耗），这些篱笆_________（填“刚刚好”“尚不足”或“有富余”）围成两个面积和为10平方米的正方形地块． 【答案】（1）；>； （2），证明： 由题意得，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （3）尚不足． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，根据所给算式直接计算进而可以判断得解； （2）把与分别求平方，然后作差比较即可； （3）先求出篱笆总长为米，设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米，结合（2）的结论即可求解． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ （2）略 （3）由题意，∵原正方形的面积为10平方米， ∴边长为米，篱笆总长为米． 设两个小正方形的面积分别为x平方米和平方米， ∴小正方形的边长为米和米． ∵， ∴根据（2）的结论可得，． ∴． ∴这些篱笆尚不足围成两个面积和为10平方米的正方形地块． 23. 《几何原本》中提供了一种证明勾股定理的方法． 已知：如图，中，． 求证：． 证明思路如下： 【步骤一】分别以为边长向外作正方形，连接．可证； 【步骤二】过点作，交于点，由，易得矩形与面积之间的数量关系，同理也可得正方形与面积之间的数量关系； 【步骤三】证明； 【步骤四】同理可证，． 所以， 又因为， 所以． （1）请写出【步骤一】中证明的过程； （2）请直接写出【步骤二】中矩形与，正方形与面积之间的数量关系； （3）请写出【步骤三】中证明的过程． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ． ，即． ， ． （2） （3） 由（1）得，， ， 在正方形中，， ． 由（2）得，， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定以及由图形面积的关系来证明勾股定理和面积的知识，需熟练掌握三角形全等中边角边的证明方法；且熟知平行线间的距离相等，即三角形同底是解决本题的关键． （1）由正方形的性质可得边相等，再由边角边的证明方程证明即可． （2）由平行线之间的距离相等，可得三角形的高与矩形的宽相等，再由三角形的面积公式以及矩形的面积公式代入求解即可． （3）由数量关系可将矩形的面积转化为的面积来求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，且， ，， ； 同理可知，，， ． 故数量关系为：． 【小问3详解】 略 六、解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 24. 如图1，在正方形中，，点为边上的动点（点与点不重合），把沿直线翻折，得到，延长交于点，连接． （1）①求的度数： ②若点是的中点，求的长． （2）如图2，过点作，与的延长线交于点，连接．求的最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）①由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，则可证明，得到，据此可得，即；②由正方形的性质得到，则．由折叠的性质可得．由全等三角形的性质得到．设，则，， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，过点作交的延长线于点．证明．得到．证明．得到．则．再证明，则当点在上运动时，点始终在的角平分线上．故当，即时，的值最小，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②∵四边形是正方形， ∴， 点是BC中点，， ． 由折叠的性质可得． ∵， ． 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． ． 的长为． 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作交的延长线于点． ． ． ， ． ． 又∵， ． 由（1）得，在中，， ． ． ． ． ． ． 在中，， ． ， 即当点在上运动时，点始终在的角平分线上． 当，即时，的值最小． 此时，． ． 在中，，即， ． 的最小值为． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与轴，轴分别交于点A，B． （1）求和的值； （2）如图2，点是轴上的动点，过点作垂直于轴的直线，分别与直线和交于D，E两点，过点作轴，交直线于点，以，为边作矩形． ①连接，当时，试判断的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ②当动点在轴上运动时，发现顶点始终落在一条直线上，请直接写出该直线的函数解析式． 【答案】（1） （2）①为定值；②点在直线上． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①求解，如图，，求解，，，，再进一步求解即可；②由①得：，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵直线与直线交于点， ∴，， 解得：，， ∴直线，直线； 【小问2详解】 解：①联立， 解得：， ∴， 如图，∵，矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，到的距离为：， ∴， 同理：，到的距离为：， ∴， ∴， ∴是定值； ②由①得：， ∴， 由可得：， 由， ∴， ∴， 整理得：. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解一次函数的交点坐标，矩形的性质，坐标与图形面积，理解题意是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $