课时梯级训练(64) 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(64)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质 1．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的最值点，则ω等于 (　　) A．2 B． C．1 D． A　解析：由题意知＝x2－x1＝－＝，所以T＝π，ω＝2. 2．(2025·长春高一期末)已知函数f(x)＝cos2x－5sin2x＋2，则f(x)在[－，]的值域为 (　　) A．[－，3] B．[－，1] C．[－，3] D．[－，] A　解析：由于函数f(x)＝cos2x－5sin2x＋2＝1－sin2x－5sin2x＋2＝－6sin2x＋3＝(－6)×＋3＝3cos 2x， 因为x∈[－， ]，所以2x∈[－，]， 故f(x)∈[－，3].故选A. 3．(2025·合肥六校联考)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f＝ (　　) A．1 B．－1 C． D．－ B　解析：由函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象可知A＝2， T＝－＝，则T＝π，则ω＝＝2. 由f＝2sin ＝2， 解得φ＝－＋2kπ，k∈Z， f(x)＝2sin ， 故f＝2sin ＝2sin ＝－1. 4．如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟逆时针旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有 (　　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 A　解析：由题目可知最大值为5，故5＝A×1＋2⇒A＝3.T＝15，则ω＝.故选A. 5．(2025·广州高一期末)关于f(x)＝3sin (2x－)，x∈R，下列叙述正确的是 (　　) A．若f(x1)＝f(x2)＝3，则x1－x2是2π的整数倍 B．函数f(x)的图象关于点(，0)对称 C．函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)在区间(0，)上单调递减 B　解析：由f(x)＝3，即sin (2x－)＝1， 可得2x－＝＋2kπ，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，则x1－x2是π的整数倍，故A错误； 由f()＝3sin (－)＝0，可得函数f(x)的图象关于点(，0)对称，故B正确； 由f()＝3sin (－)＝，不为最值，可得函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C错误； 当x∈(0，)时，2x－∈(－，)，f(x)单调递增，故D错误．故选B. 6．函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝________． 答案：　解析：由图象可得A＝，周期为4×(－)＝π，所以ω＝2，将(，－)代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 即φ＝2kπ＋，k∈Z， 所以f(0)＝sin φ＝sin (＋2kπ)＝. 7．如图，点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________． 答案：y＝r sin (ωt＋φ)　解析：当质点P从P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POt＝ωt＋φ，由任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y＝r sin (ωt＋φ). 8．(2025·衡阳高一期末)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[0，]上的值域． 解：(1)由函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象知， T＝4×[－－(－)]＝π，所以ω＝＝2， f(－)＝2sin [2×(－)＋φ]＝0， 即－＋φ＝2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为0＜φ＜π，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin (2x＋). (2)x∈[0，]时，2x＋∈[，]， sin (2x＋)∈[－1，]， 所以f(x)在[0，]上的值域为[－2，2]. 9．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度不小于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 解：(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝. 又当t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5； 当t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝， ∴函数解析式为y＝cos t＋1(0≤t≤24). (2)∵当y≥1时，才对冲浪爱好者开放， ∴y＝cos t＋1≥1，即cos t≥0， 则2kπ－≤t≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k－3≤t≤12k＋3(k∈Z). 又0≤t≤24，∴0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24， ∴在规定时间内冲浪爱好者只有6个小时可以进行活动，即9≤t≤15. 10．(2025·柳州高一检测)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图象大致如图所示．将函数g(x)＝f(2x－)＋f(2x＋)的图象向左平移θ(0＜θ＜)个单位长度后，所得函数为偶函数，则θ＝ (　　) A． B． C． D． C　解析：由图可知，A＝1，＝4(－)，可得ω＝1，又由五点画图法有1×＋φ＝，可得φ＝，可得f(x)＝sin (x＋)， g(x)＝sin (2x－＋)＋sin (2x＋＋) ＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋). 函数g(x)向左平移θ(0＜θ＜)个单位长度后， 所得函数为h(x)＝sin [2(x＋θ)＋]＝sin (2x＋2θ＋)，由奇偶性及0＜θ＜，可得2θ＋＝，可得θ＝. 11．(多选)设函数f(x)＝cos 2x－sin 2x，则下列选项正确的是 (　　) A．f(x)的最小正周期是π B．f(x)在[a，b]上单调递减，那么b－a的最大值是 C．f(x)满足f(＋x)＝f(－x) D．y＝f(x)的图象可以由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到 ABD　解析：∵f(x)＝cos 2x－sin 2x＝2(cos 2x－sin 2x)＝2cos (2x＋)，对于A，T＝＝π，故A正确；对于B，当2kπ≤2x＋≤2kπ＋π时，y＝f(x)单调递减，故单调递减区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，b－a的最大值是－(－)＝，故B正确；对于C，f(＋x)＝2cos [2(＋x)＋]＝2cos (2x＋)＝－2sin 2x，f(－x)＝2cos [2(－x)＋]＝2cos (－2x)＝2sin 2x，即x＝不是y＝f(x)的对称轴，故C错误；对于D，y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝2cos 2(x－)＝2cos (2x－)＝2cos (2x＋)，故D正确． 12．(2025·河池高一检测)将函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小正值为______． 答案：　解析：由题意得，f(x)＝2sin (2x＋)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度， 变为f(x)＝2sin [2(x－φ)＋]＝ 2sin (2x－2φ＋)， 再将图象上每一点横坐标缩短到原来的， 所得解析式为f(x)＝2sin (4x－2φ＋)， 因为所得图象关于直线x＝对称， 所以4×－2φ＋＝＋kπ，φ＝－(k∈Z)， 当k＝0时，φ取得最小正值为. 13．(2025·崇左高一检测)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，若f(x1)＝f(x2)＝(x1≠x2)，则|x1－x2|的最小值为________． 答案：π　解析：依题意，＝－2π＝，解得T＝6π，故ω＝＝， 故f(x)＝2cos (x＋φ)， 而f(2π)＝2cos (＋φ)＝2， 解得φ＝－＋2kπ(k∈Z). 因为|φ|＜π，所以φ＝－， 故f(x)＝2cos (x－). 令f(x)＝，则cos (x－)＝， 故x－＝－＋2k1π(k1∈Z)或x－＝＋2k2π(k2∈Z)， 解得x＝＋6k1π(k1∈Z)或x＝＋6k2π(k2∈Z)，故|x1－x2|的最小值为π. 14．(2025·宜宾高一期末)已知函数f(x)＝2sin cos －2cos2＋1(ω>0)，且满足________． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围． ①f(x)的图象与直线y＝－2的两个相邻交点之间的距离等于π；②f(x)的两个相邻对称中心之间的距离为.从这两个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答． 解：(1)f(x) ＝2sincos －2cos2＋1 ＝sin－cos ＝sin －cos ＝sin ＋sin ＝2sin . 若选择条件①：f(x)的图象与直线y＝－2的两个相邻交点之间的距离等于π， 函数f(x)的最小值为－2，则函数f(x)的最小正周期T＝π，即＝π，所以ω＝1. 所以f(x)＝2sin (2x－). 若选择条件②：f(x)的两个相邻对称中心之间的距离为， 则函数f(x)的最小正周期T＝π，即＝π，所以ω＝1, 所以f(x)＝2sin . (2)关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，即sin ＝在区间[0，m]上有两个不同解， 当x∈[0，m]时，2x－∈，所以≤2m－<， 解得≤m<，即实数m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$