课时梯级训练(16) 一元二次不等式及其应用（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(16)　一元二次不等式及其应用 1．(2025·长春实验中学高一期中)若p：|x－1|≤2，q：>0，则p是q成立的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：由|x－1|≤2，可得－2≤x－1≤2， 解得－1≤x≤3，故p：－1≤x≤3. 由>0，可得(x－2)(x－3)<0，解得2<x<3，故q：2<x<3.因为{x|2<x<3}{x|－1≤x≤3}，所以p是q成立的必要不充分条件． 2．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是 (　　) A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5} C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6} B　解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400(20－t)×t%＝60(8t－t2).令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5. 3．不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a<0)的解集为 (　　) A．{x|≤x≤1} B．{x|1≤x≤} C．{x|x≤或x≥1} D．{x|x≤1或x≥} A　解析：原不等式可以转化为(x－1)(ax－2)≥0，当a<0时，可知(x－)(x－1)≤0，(x－)(x－1)＝0的两根为1，，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为{x|≤x≤1}．故选A. 4．若关于x的不等式>0的解集为{x|x<－1或x>4}，则实数a＝________． 答案：4　解析：由题意知，不等式的解集为{x|x<－1或x>4}，故(x－a)(x＋1)>0⇔(x＋1)(x－4)>0，故a＝4. 5．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)(x＋)<0的解集为__________． 答案：　解析：因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)(x＋)>0，方程(x＋1)(x＋)＝0的两根为－1，－，显然－>0>－1，所以原不等式的解集为. 6．某种品牌的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系：s＝x＋x2，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为________km/h. 答案：80　解析：因为这种车的刹车距离不小于40 m，所以x＋x2≥40，整理得x2＋10x－7 200≥0，即(x－80)(x＋90)≥0，因为x>0，所以可得x≥80.这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h. 7．某种商品原以每件20元的价格销售，可以售出300件．据市场调查，商品的单价每提高2元，销售量就减少10件.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于6 000元？ 解：设提价后每件商品的定价为x元， 则销售总收入为(300－×10)x元． 根据题意，有(300－×10)x≥6 000. 整理，得x2－80x＋1 200≤0，解得20≤x≤60. 所以，当每件商品的定价不低于20元且不超过60元时，才能使提价后的销售总收入不低于6 000元． 8．(2025·北京东城区高一期末)解关于x的不等式： (1)＞1； (2)x2＜ax(a∈R). 解：(1)由＞1，可得－1＝＞0，解得x＞2或x＜1， 故不等式的解集为{x|x＞2或x＜1}． (2)x2＜ax，当a＞0时，解集为{x|0＜x＜a}； 当a＝0时，解集为∅；当a＜0时，解集为{x|a＜x＜0}． 9．(2025·合肥高一期末)已知关于x的不等式组(k＞0)仅有一个整数解，则k的取值范围为 (　　) A．4≤k＜5 B．4＜k≤5 C．3≤k＜4 D．3＜k≤4 B　解析：由x2－x－6＞0， 即(x－3)(x＋2)＞0， 解得x＜－2或x＞3， 由2x2＋(1－2k)x－k＜0， 即(2x＋1)(x－k)＜0， 因为k＞0时，所以不等式(2x＋1)(x－k)＜0的解集为{x|－＜x＜k}，结合题意，此时原不等式组的解集为{x|3＜x＜k}，且仅有一个整数解，所以4＜k≤5.故选B. 10．某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本．根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则 x 应满足 (　　) A．6≤x≤7 B．5≤x≤7 C．5≤x≤6 D．4≤x≤6 A　解析：设提价后每本杂志的定价为x元，则提价后的销售量为(10－×0.1)万本，因为销售的总收入不低于42万元，列不等式为(10－×0.1)x≥42，即(x－6)(x－7)≤0，即6≤x≤7，故选A. 11．(2025·镇江高一调研)使不等式kx2－2kx＋2>0对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，求集合A. 解：因为不等式kx2－2kx＋2>0对一切实数x恒成立， 所以当k＝0时，2>0，满足题意， 当k>0时，Δ＝(－2k)2－8k<0，解得0<k<2， 综上，实数k的取值范围是{k|0≤k＜2}，即A＝{k|0≤k＜2}． 12．某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？ 解：如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系． ∵AB＝400 km，∠BAx＝30°，∴热带风暴中心B的坐标为(200，－200)，x h后热带风暴中心B到达点P(200，40x－200)处． 由已知，A市受热带风暴影响时，有|AP|≤350， 即(200)2＋(40x－200)2≤3502， 整理得16x2－160x＋375≤0，解得3.75≤x≤6.25， 故A市受热带风暴影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h). 故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h． 学科网（北京）股份有限公司 $$