课时梯级训练(15) 二次函数与一元二次方程、不等式（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(15)　二次函数与一元二次方程、不等式 1．下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是 (　　) A．① B．② C．③ D．④ C　解析：①中对应的二次函数的图象开口向下，显然解集不可能为R；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数图象开口向上，显然解集不可能为R.故选C. 2．(2025·昆明期末)不等式(3x＋1)(1－x)≥0的解集是 (　　) A．{x|－1≤x≤} B．{x|－≤x≤1} C．{x|x≤－或x≥1} D．{x|x≤－1或x≥} B　解析：不等式(3x＋1)(1－x)≥0可化为(3x＋1)(x－1)≤0， 解得－≤x≤1， 所以不等式的解集为{x|－≤x≤1}．故选B. 3．已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝ (　　) A．{x|x<1} B．{x|3<x<4} C．{x|1<x<3} D．R D　解析：由题得A＝{x|－4<x<4} ，B＝{x|x>3 或 x<1}，所以A∪B＝R.故选D. 4．(2025·漳州高一期末)已知关于x的一元二次不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x|x≠－1}，则bc＝ (　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　解析：由已知得－＝－1，b2－4c＝0，解得b＝2，c＝1，所以bc＝2. 5．不等式x2－2x－6<0 的解集为______________________________________． 答案：{x|－＜x＜3}　解析：x2－2x－6<0 可化为(x－3)(x＋)<0，故解集为{x|－＜x＜3}． 6．解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0; (3)－2x2＋3x－2<0；(4)－x2＋3x－5>0. 解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为{x|x<－3或x>－}． (2)原不等式可化为(2x－)2≤0， 所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实根， 又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 7．已知关于x的不等式x2－5x＋c<0的解集为{x|2<x<3}． (1)求c的值； (2)解关于x的不等式x2＋(c＋2)x＋2c≥0. 解：(1)因为不等式x2－5x＋c<0的解集为{x|2<x<3}， 所以c＝2×3＝6. (2)当c＝6时，不等式为x2＋8x＋12≥0，即(x＋6)(x＋2)≥0， 其对应方程的两个实数根分别是x1＝－6，x2＝－2， 所以不等式的解集是{x|x≥－2或x≤－6}． 8．(2025·百色高一检测)若t>1，则关于x的不等式(t－x)(x－)>0的解集是 (　　) A． B． C． D． A　解析：因为t－＝，t>1， 所以t－>0，所以t>. 原不等式(t－x)(x－)>0，则(x－t)·(x－)<0，解得<x<t. 所以不等式(t－x)(x－)>0的解集为. 9．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|－1<x<2}，则下列选项正确的是 (　　) A．b<0且c>0 B．a－b＋c>0 C．a＋b＋c>0 D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1} ABD　解析：对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；对于B，令y＝ax2－bx＋c，由题意可知当x＝1时不等式成立，a－b＋c>0，所以B正确；对于C，当x＝－1时，ax2－bx＋c＝a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，由题得ax2＋ax－2a>0，因为a<0，所以x2＋x－2<0，所以－2<x<1，所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1}，所以D正确． 10．(2025·达州高一期末)已知一个关于x的一元二次不等式的解集为{x|x<－1或x＞1}，则该不等式可以为______________． 答案：(x＋1)(x－1)＞0(答案不唯一)　解析：由于关于x的一元二次不等式的解集为{x|x<－1或x＞1}，则该不等式可以为(x＋1)(x－1)＞0. 11．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B. (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集． 解：(1)由x2－2x－3<0，得－1<x<3，∴A＝{x|－1<x<3}．由x2＋x－6<0，得－3<x<2， ∴B＝{x|－3<x<2}， ∴A∩B＝{x|－1<x<2}． (2)由题意，得解得 ∴不等式为－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0.∵Δ＝1－8<0，且图象开口向上， ∴不等式x2－x＋2>0的解集为R. 12．(2025·榆林高一期末)小张、小胡两人解关于x的不等式x2＋bx＋c＜0，小张写错了常数b，得到的解集为{x|－2＜x＜4}；小胡写错了常数c，得到的解集为{x|2＜x＜5}，则原不等式的解集为 (　　) A．{x|－2＜x＜5} B．{x|－1＜x＜8} C．{x|2＜x＜4} D．{x|1＜x＜6} B　解析：由题意可知，小张写错了常数b，得到的解集为{x|－2＜x＜4}， 由根与系数的关系可得c＝－2×4＝－8， 又小胡写错了常数c，得到的解集为{x|2＜x＜5}， 由根与系数的关系可得－b＝2＋5， 即b＝－7， 所以原不等式为x2－7x－8＜0， 即(x＋1)(x－8)＜0， 解得－1＜x＜8， 所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜8}．故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$