课时梯级训练(14) 基本不等式的综合应用（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(14)　基本不等式的综合应用 1．若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是 (　　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| A　解析：∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立，∴a2＋b2≥2|ab|. 2．(2025·新乡高一测试)若正数a，b满足a＋3b＝，则ab的最大值为 (　　) A． B． C． D． A　解析：由题意，ab>0，>0， ＝a＋3b≥2，得≥2， 当且仅当a＝3b，即a＝，b＝时，等号成立， 所以ab≤，即ab的最大值为. 3．若∃x>0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是 (　　) A．a>2 B．a≥2 C．a<2 D．a≤2 B　解析：若∃x>0，使得＋x－a≤0，等价于a≥(x＋)min，∵x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥2. 4．(2025·成都石室中学高一期中)若a>0，b>0，则“a2＋b2≤1”是“a＋b≤”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：当a>0，b>0，且a2＋b2≤1时， (a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)≤2，当且仅当a＝b＝时等号成立， 所以a＋b≤，充分性成立； 当a＝1，b＝时，满足a>0，b>0且a＋b≤，此时a2＋b2>1，必要性不成立. 则“a2＋b2≤1”是“a＋b≤”的充分不必要条件． 5．(2025·衡阳期末)若矩形ABCD的周长为4，则＋的最小值为 (　　) A．8 B．4 C．9 D．4.5 D　解析：由题意可得AB＋BC＝2，则＋＝(AB＋BC)(＋)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝4.5，当且仅当＝，即AB＝，BC＝时，等号成立，此时取得最小值为4.5.故选D. 6．(多选)(2025·上饶高一期末)已知正数x，y满足x＋2y＝1，则 (　　) A．16xy≤2 B．＋≥9 C．x2＋4y2≥ D．(x＋1)y≤ ABC　解析：因为正数x，y满足x＋2y＝1， 对于选项A，因为x＋2y＝1≥2，则xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，故选项A正确； 对于选项B，＋＝(＋)(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，故选项B正确； 对于选项C，由选项A可知xy≤，所以x2＋4y2＝(x＋2y)2－4xy≥1－4×＝，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，故选项C正确； 对于选项D，因为(x＋1)y＝·(x＋1)2y≤·[]2＝，当且仅当2y＝x＋1，即x＝0，y＝时，等号成立，这与x，y均为正数矛盾，故y(x＋1)＜，故选项D错误．故选ABC. 7．设a，b满足2a＋3b＝6(a＞0，b＞0)，则＋的最小值是__________． 　解析：∵2a＋3b＝6，∴＋＝1，∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝＋2＝，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立． 8．已知a>b>c，你能比较出4与(＋)·(a－c)的大小吗？ 解：因为a－c＝(a－b)＋(b－c)， 所以(＋)[(a－b)＋(b－c)]＝2＋＋， 又a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，所以＋≥2， 故(＋)(a－c)≥4，当且仅当＝时，等号成立． 9．设a>0，b>0，a＋b＝5，求＋的最大值． 解：设＝m，＝n， ∴m>0，n>0，且m2＋n2＝a＋b＋4＝9. 由(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)，得(m＋n)2≤18， ∴m＋n≤3，当且仅当m＝n＝时，等号成立， 即＋的最大值为3. 10．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A．a≤2 B．a≥2 C．a≥3 D．a≤3 D　解析：∵当x>1时，不等式x＋≥a恒成立， ∴a≤x＋对x>1均成立． 由于x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，故x＋的最小值等于3， ∴a≤3， 则实数a的取值范围是a≤3. 11．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为 (　　) A．－ B． C． D．－4 A　解析：因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝(＋)(a＋b)＝＋(＋)≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－. 12．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________． 答案：ab≥9　解析：∵a＞0，b＞0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0，解得≥3，即ab≥9. 13．(2025·柳州高一检测)若正实数a，b满足a＋b＝3，则＋的最小值为________． 答案：3　解析：因为正实数a，b满足a＋b＝3， 所以＋＝(＋)(a＋b)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝3，当且仅当＝，则即a＝1，b＝2时，等号成立，故＋的最小值为3. 14．已知实数a，b满足0<a<1，0<b<1. (1)若a＋b＝1，求(1＋)(1＋)的最小值； (2)设0<m<12，求＋的最小值． 解：已知实数a，b满足0<a<1，0<b<1. (1)若a＋b＝1，则(1＋)(1＋)＝(1＋)·(1＋)＝(2＋)(2＋)＝4＋＋＋1≥5＋2＝9，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故(1＋)(1＋)的最小值为9. (2)∵0<m<12，∴m>0，12－m>0， ∵m＋(12－m)＝12，∴＋＝1， ∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋＝，当且仅当m＝6时，等号成立，∴＋的最小值为. 15．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数． 解：设＋＝1，a，b∈N*， ∴a＋b＝(a＋b)(＋)＝1＋9＋＋≥10＋2＝10＋2×3＝16， 当且仅当＝，即b＝3a时等号成立． 又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12. ∴求得两个数分别是4，12. 学科网（北京）股份有限公司 $$