课时梯级训练(13) 基本不等式的应用（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(13)　基本不等式的应用 1．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(参考数据：≈1.414) (　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)(当且仅当a＝b时，等号成立).因为要求够用且浪费最少，故选C. 2．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站 (　　) A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处 A　解析：设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立． 3．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠、港、澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是 (　　) A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．无法确定 B　解析：任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为＝≥；第二种方案的均价为＝≤.当且仅当m＝n时，等号成立．≥，所以无论油价如何变化，第二种方案都更划算． 4．某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本为P(x)＝x2＋x＋150(单位：万元).若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人________台． 答案：300　解析：购买x台机器人的总成本为P(x)＝x2＋x＋150， 则平均成本＝＋1＋≥1＋2＝2，当且仅当＝，即x＝300时，平均成本最低为2万元． 5．(2025·太原高一期中)将基本不等式≤(a>0，b>0)推广可得正确结论≤(a>0，b>0，c>0)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．利用此结论解决问题：已知一个矩形的周长为18 cm，将矩形围绕其一边旋转形成一个圆柱，当矩形的长是 ________cm时，旋转形成的圆柱体积最大，其最大值是 ________cm3. 答案：6　108π　解析：设矩形的两边分别为x，y，则x＋y＝9，x>0，y>0， 设以长度为x的边长为圆柱的高， 则所围成圆柱的体积V＝πxy2＝4π·x··≤4π·＝108π， 当且仅当x＝，即y＝6，x＝3时，等号成立． 6．(2025·浙江强基联盟高一月考)在中国，西周时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边．现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为4，则该矩形周长的最大值为 ________． 答案：8　解析：设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b， 则a2＋b2＝42＝16，a，b>0， 矩形周长为2(a＋b)， (a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤a2＋b2＋a2＋b2＝2(a2＋b2)＝32， 故a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立， 故周长的最大值为8. 7．(2025·玉林高一检测)据预测，某旅游区游客人数在500至1 300之间，游客人数x人与游客的消费总额y元之间近似的满足关系式：y＝－x2＋2.4×103x－106，问该旅游区游客的人数为多少时，游客的人均消费最高，并求游客的人均最高消费额． 解：设游客的人均消费额为，由y＝－x2＋2.4×103x－106，可得＝＝－(x＋)＋2 400≤－2＋2 400＝400， 当且仅当x＝1 000时，游客的人均消费最高，游客的人均最高消费额为400元． 8．某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？(精确到0.1 m，取π≈3.14) 解：设矩形的长为x m，宽即半圆的直径为d m，矩形的面积为S m2. 由题意得2x＋πd＝400 m. ∴S＝x·d＝·(2x·πd)≤()2＝， 当且仅当2x＝πd且2x＋πd＝400，即2x＝πd＝200时等号成立．∴当矩形的长为100.0 m，宽为≈63.7 m时，矩形的面积最大． 9．(2025·百色高一检测)已知a>0，b>0. (1)若b＝6－，求的最大值； (2)若a2＋9b2＋2ab＝a2b2，证明：ab≥8. (1)解：因为b＝6－，所以b＋＝6. ＝×b≤()2＝9， 当且仅当b＝，即a＝，b＝3时，等号成立， 故的最大值为9. (2)证明：因为a2＋9b2＋2ab≥2＋2ab＝8ab， 所以a2b2≥8ab，又a>0，b>0，解得ab≥8， 当且仅当a＝2，b＝时，等号成立．故ab≥8. 10．某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的二氧化碳处理量最少为400 t，最多为600 t，月处理成本y(元)与月处理量x(t)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立， 故该单位每月处理量为400 t时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为每吨200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－(x2－200x＋80 000)＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000， 因为400≤x≤600，所以－80 000≤S≤－40 000. 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损． 学科网（北京）股份有限公司 $$