课时梯级训练(12) 基本不等式（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　基本不等式 1．(2025·西安高一期末)已知正数a，b满足ab＝2，则＋的最小值为 (　　) A．2 B．2 C． D． D　解析：因为正数a，b满足ab＝2， 则＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立． 2．已知m＝a＋＋1(a>0)，n∈{x|0<x＜3}，则m，n之间的大小关系是 (　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．m≤n A　解析：因为a>0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．所以m>n. 3．下列各式中最小值为2的是 (　　) A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋ C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0) B　解析：A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，又t＞1，故A不符合题意；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3，故C不符合题意；D中，y＝t＋＋1≥3，故D不符合题意． 4．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则 (　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ A　解析：设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a<b，∴v＝＝＝<＝. 又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a. 5．(多选)设a＞0，b＞0，且a≠b，a＋b＝2，则必有 (　　) A．ab>1 B．ab<1 C. <1 D．>1 BD　解析：∵a＞0，b＞0，∴由基本不等式可得≤＝1，又∵a≠b，∴ab<1，故A错误，B正确；又1＝＝<＝(a2＋b2)，∴ (a2＋b2)>1，∴ab<1<(a2＋b2)，故C错误，D正确． 6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________． 答案：≤　解析：∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0，∴＝≥.当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立． 7．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为 (　　) A．16 B．9 C．4 D．36 B　解析：(1＋x)(1＋2y)≤[]2＝()2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立． 8．(1)当x>0时，求＋4x的最小值； (2)当x<0时，求＋4x的最大值． 解：(1)因为x>0，所以>0，4x>0，则＋4x≥2 ＝8.当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立． 则当x>0时，＋4x的最小值为8. (2)因为x<0，所以－x>0，－4x＞0， 则＋(－4x)≥2 ＝8， 当且仅当＝－4x， 即x＝－时，等号成立， 所以＋4x≤－8. 则当x<0时，＋4x的最大值为－8. 9．(1)求函数y＝＋x(x>3)的最小值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值． 解：(1)y＝＋x＝＋(x－3)＋3，因为x>3，所以x－3>0，>0， 所以y≥2＋3＝5.当且仅当＝x－3，即x＝4时，等号成立，所以当x＝4时，y取得最小值5. (2)因为0<x<，所以1－3x>0，y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x)≤[]2＝，当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．所以当x＝时，y取得最大值. 10．已知x>0，则y＝的最大值为 (　　) A． B．1 C．2 D．3 B　解析：y＝＝，因为x>0，所以x＋≥2＝2，所以y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．故当x＝1时，y取得最大值为1. 11．(多选)(2025·珠海高一期末)设a＞0，b＞0，已知M＝，N＝，则下列说法正确的是 (　　) A．M有最小值 B．M没有最大值 C．N有最大值为 D．N有最小值为 ABD　解析：因为a＞0，b＞0，所以M＝≥＝2，当且仅当a＝b时，等号成立．所以M有最小值为2，没有最大值，故A，B正确； 因为≤，所以N＝≥＝，当且仅当a＝b时，等号成立．所以N有最小值为，没有最大值，故C错误，D正确． 12．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，则a的最大值为__________． 答案：　解析：a2＋＝1⇒a2＋＝， a＝·a·≤·＝·＝. 当且仅当即时，等号成立， 此时a的最大值为. 13．(2025·西宁高一期末)(1)求函数y＝x2＋的最小值； (2)若x＞0，y＞0，求1－(x2＋y2＋)的最大值． 解：(1)令t＝x2＋17，t≥17， 则y＝t＋－17≥2－17＝23，当且仅当t＝，即t＝20，即x＝±时，等号成立． 故函数的最小值为23. (2)因为x＞0，y＞0，所以x2＋y2＋≥2xy＋≥8，当且仅当x＝y＝时，等号成立． 所以1－(x2＋y2＋)≤－7， 即1－(x2＋y2＋)的最大值为－7. 14．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值． 解：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10， ∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20， 当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立．∴W≤2，即W的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$