课时梯级训练(8) 全称量词与存在量词（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(8)　全称量词与存在量词 1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是 (　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 C　解析：“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． 2．(2025·汕头高一期末)下列命题既是真命题又是存在量词命题的是 (　　) A．∀x＞1，x3＞1 B．∃x∉Q，x3∈Q C．∃x＞1，＜1 D．∀x∈Q，x3∈Q B　解析：选项A，D均是全称量词命题，不符合题意； B，C均是存在量词命题，C为假命题，不符合题意．故选B. 3．(2025·南通高一月考)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则下列选项正确的是 (　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q B　解析：∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，当PQ时，∃x0∈Q，使得x0∉P，故A错误；由P⊆Q，可知∀x∈P，必有x∈Q，即∀x∉Q，必有x∉P，故B正确，C错误；∵P⊆Q，则∀x∈P，有x∈Q，故D错误． 4．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是 (　　) A．所有的素数都是奇数 B．∀x∈R，|x|＋1≥1 C．∃x∈Q，x没有倒数 D．有些平行四边形是菱形 B　解析：对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“∀x∈R，|x|＋1≥1”是全称量词命题， 且由|x|≥0可得|x|＋1≥1，所以是真命题，即B正确； 对于C，“∃x∈Q，x没有倒数”是存在量词命题，不合题意，所以C错误； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意，所以D错误． 5．(2025·鞍山高一上学期期中)下列命题中为真命题的是 (　　) A．p1：∃x∈R，x2＋1<0 B．p2：∀x∈R，x＋|x|>0 C．p3：∀x∈Z，|x|∈N D．p4：∃x∈R，x2－7x＋15＝0 C　解析：∀x∈R，x2＋1≥1>0，故p1是假命题； 当x＝0时，x＋|x|＝0，故p2是假命题； ∀x∈Z，|x|∈N，故p3是真命题； 方程x2－7x＋15＝0中Δ＝72－4×15<0，此方程无解，故p4是假命题． 6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________________________________________________________________________． 答案：∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0　解析：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．故命题为∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0. 7．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案：a≤3　解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3. 8．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0，为真命题． (2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解，为假命题． (3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10，为真命题． 9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图象都是开口向下的抛物线； (3)存在一个四边形不是平行四边形； (4)p：∀x∈R，x2＋2>0； (5)p：∃x∈R，x2＋1＝0. 解：(1)是全称量词命题，且为真命题． (2)是全称量词命题，且为假命题． (3)是存在量词命题，且为真命题． (4)是全称量词命题，由于∀x∈R都有x2≥0，故x2＋2>0，真命题． (5)是存在量词命题，不存在一个实数x，使x2＋1＝0成立，假命题． 10．(多选)下列命题为真命题的是 (　　) A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若x，y是任意实数，则|x|＋|y|>0 C．若x是奇数，则x2是奇数 D．若a>1，b>1，则a(b＋1)>2 ACD　解析：对选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，则A是真命题． 对选项B：当x＝y＝0时，|x|＋|y|＝0，则B是假命题． 对选项C：x是奇数，所以x不能被2整除，所以x2不能被2整除，即x2是奇数，则C是真命题． 对选项D：由a>1，b>1，得b＋1>2，则a(b＋1)>2，则D是真命题． 11．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x－a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是 (　　) A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1 B　解析：依题意得，方程x2＋2x－a＝0无实根， 所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 12．已知命题“存在x∈{x|－3≤x≤2}，使得3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x， ∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3， ∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤， 故实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$