课时梯级训练(7) 充要条件（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(7)　充要条件 1．(2025·南京高一期末)“a≠0”是“ab≠0”的 (　　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：当a≠0，b＝0时，ab＝0，反之，当ab≠0时，a≠0且b≠0， 所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件．故选A. 2．(2025·上海松江区高一期末)在二十四节气中，冬季的节气有立冬、小雪、大雪、冬至、小寒和大寒，则“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的 (　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：“甲出生在冬至”可以推出“甲出生在冬季”，即充分性成立； “甲出生在冬季”不能推出“甲出生在冬至”，即必要性不成立． 所以“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的充分不必要条件．故选B. 3．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件． 4．设全集为U，对于集合A，B，则“A∩B＝∅”是“存在集合C，使得A⊆C且B⊆∁UC的” (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：由题意A⊆C，得∁UC⊆∁UA，当B⊆∁UC时，B⊆∁UA，可得A∩B＝∅；“A∩B＝∅”能推出“存在集合C，使得A⊆C且B⊆∁UC”．故选C. 5．(多选)(2025·吉林高一期末)已知“2x＞3－x”是“x＞a”的充分不必要条件，则实数a的值可能为 (　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 ABC　解析：由2x＞3－x，得x＞1，由题意可得x＞1是x＞a的充分不必要条件， 所以{x|x＞1}{x|x＞a}，所以a＜1.故选ABC. 6．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则“x∈B”是“x∈(A∪B)”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案：充要　解析：由x∈B，显然可得x∈(A∪B)；反之，由于A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故“x∈B”是“x∈(A∪B)”的充要条件． 7．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________． 答案：3或4　解析：由判别式Δ＝16－4n≥0，n∈N*，得1≤n≤4.逐个分析，当n＝1，2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1，3；当n＝4时，方程有正整数解2.综上可得n＝3或4. 8．若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出： (1)A∪B＝R的一个充要条件； (2)A∪B＝R的一个必要不充分条件； (3)A∪B＝R的一个充分不必要条件． 解：集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}． (1)若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2. (2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3. (3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，所以A∪B＝R的一个充分不必要条件可以是b≥－1. 9．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 证明：必要性：由<，得－<0，即<0， 又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. 充分性：由xy>0及x>y，得>，即<. 综上所述，<的充要条件是xy>0. 10．(2025·江门广雅中学高一期中)设m，n∈R，当mn≥0时，m⊗n＝m＋n；当mn<0时，m⊗n＝|m＋n|.例如－6⊗4＝2，则“a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0”是“a⊗b＝－1”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：当a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0时，ab＝0， 由mn≥0时m⊗n＝m＋n知，a⊗b＝－1＋0＝－1， 当a⊗b＝－1时，根据定义可知ab≥0，所以a＋b＝－1，故只要满足ab≥0且a＋b＝－1即可， 显然不止a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0这两种情况满足条件， 比如a＝b＝－，a＝－，b＝－等也满足， 所以“a＝0，b＝－1或a＝－1，b＝0”是“a⊗b＝－1”的充分不必要条件． 11．“a＋b≠3”是“a≠1或b≠2”成立的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：若a＝1且b＝2，则a＋b＝3，故a＋b≠3可推出a≠1或b≠2； 若a＝4，b＝－1，满足a≠1或b≠2，但是a＋b＝3. 所以“a＋b≠3”是“a≠1或b≠2”成立的充分不必要条件． 12．设p：4x－3<1，q：x－2a－1<0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 答案：a>0　解析：由4x－3<1，解得x<1，即p：x<1. 记A＝{x|x<1}． 由x－(2a＋1)<0，解得x<2a＋1，即q：x<2a＋1. 记B＝{x|x<2a＋1}． 因为p是q的充分不必要条件，所以AB，即2a＋1>1， 解得a>0，所以a的取值范围是a>0. 13．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明：充分性　如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况， 当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|， |x|＋|y|＝|y|，∴等式成立． 当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时． 又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y， ∴等式成立． 当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)， |x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立． 总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立． 必要性　若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得 |x＋y|2＝(|x|＋|y|)2， 即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|， ∴|xy|＝xy，∴xy≥0. 综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件． 14．在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M，若问题中的a不存在，说明理由． 问题：已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|1－a≤x≤1＋a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的________？ 解：由题意知A＝{x|0≤x≤4}． 若选①，则A是B的真子集， 所以1－a≤0且1＋a≥4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得a≥3， 所以存在a，a的取值集合M＝{a|a≥3}． 若选②，则B是A的真子集， 所以1－a≥0且1＋a≤4(两等号不能同时取得)， 又a>0，解得0<a≤1， 所以存在a，a的取值集合M＝{a|0<a≤1}． 若选③，则A＝B， 所以1－a＝0且1＋a＝4， 又a>0，方程组无解，所以不存在满足条件的a. 学科网（北京）股份有限公司 $$