课时梯级训练(6) 充分条件与必要条件（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(6)　充分条件与必要条件 1．“x>0”是“x≠0”的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：由“x>0”可以推出“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分条件． 2．“a＋b是偶数”是“a和b都是偶数”的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：因为当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数，所以“a＋b是偶数”⇒/ “a和b都是偶数”，显然“a和b都是偶数”⇒“a＋b是偶数”，所以“a＋b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件． 3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　解析：当a＝3时，A＝{1，3}，故A⊆B，若A⊆B，则a＝2或a＝3，不一定有a＝3，故“a＝3”是“A⊆B”的充分条件． 4．“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是 (　　) A．0 B．2 C．4 D．16 B　解析：由“x＝2”能得出“x2＝4”，选项B正确． 5．已知a，b∈R，则“a－3b＝0”是“＝3”的 (　　) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分也是必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　解析：a－3b＝0时，可能a＝b＝0，此时无法推出＝3. 故“a－3b＝0”不是“＝3”的充分条件． 当＝3时，隐含b≠0，两边同时乘以b，得到a＝3b. 故“a－3b＝0”是“＝3”的必要条件． 6．(多选)(2025·徐州高一期中)“|x|＜1”的充分条件可以是 (　　) A．x＜1 B．0＜x＜1 C．－1＜x＜2 D．－1＜x＜0 BD　解析：由|x|＜1，得－1＜x＜1，可得x＜1是“|x|＜1”的必要条件，故A错误； 可得0＜x＜1是“|x|＜1”的充分条件，故B正确； 可得－1＜x＜2是“|x|＜1”的必要条件，故C错误； 可得－1＜x＜0是“|x|＜1”的充分条件，故D正确．故选BD. 7．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的______________________________ 条件，“x∈B”是“x∈A”的________条件．(填“充分”或“必要”) 答案：充分　必要　解析：因为A⊆B，由子集的定义知x∈A⇒x∈B，故“x∈A”是“x∈B”的充分条件；“x∈B”是“x∈A”的必要条件． 8．指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解：(1)∵x2＝2x＋1⇒/ x＝，x＝⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要条件． (2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0⇒/ (x－1)2＋(y－2)2＝0， ∴p是q的充分条件． 9．(2025·菏泽高一期中)设全集U＝R，集合A＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|m－1≤x≤2m}． (1)若m＝3，求集合(∁UA)∩B； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝3时，B＝{x|2≤x≤6}，又∁UA＝{x|x≤－2或x>3}， 所以(∁UA)∩B＝{x|3<x≤6}． (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，故B⊆A. 当B＝∅时，m－1>2m，所以m<－1，符合题意； 当B≠∅时，需满足解得－1<m≤， 综上所述，m的取值范围为m<－1或－1<m≤. 10．(2025·江门高一月考)已知p：＞1，q：x＞m，若q是p的必要条件，则实数m的取值范围是 (　　) A．{m|m≥0} B．{m|m≥1} C．{m|m≤1} D．{m|m≤0} D　解析：已知p：＞1，q：x＞m，若q是p的必要条件，又p：＞1，即0＜x＜1，则m≤0，则实数m的取值范围为{m|m≤0}． 11．设x，y是两个实数，则p：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是 (　　) A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 B　解析：对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但p不成立，故A错误；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但p不成立，故C，D错误． 12．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是 (　　) A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2} C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2} C　解析：A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}＝{x|b－a<x<b＋a}． 因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件， 所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2. 13．用“充分”或“必要”填空： (1)“x≠3”是“|x|≠3”的________条件； (2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的________条件. 答案：(1)必要　(2)充分　解析：(1)因为|x|≠3时，x≠±3，所以“x≠3”⇒/ “|x|≠3”，“|x|≠3” ⇒ “x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件． (2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数”⇒“这个自然数能被5整除”；“这个自然数能被5整除”⇒/ “个位数字是5的自然数”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件． 14．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？ (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (4)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 解：(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立，即p⇒q，q/⇒p， 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件． (2)因为x2>1⇒x>1或x<－1，所以p⇒q，且q/⇒p. 所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件． (3)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，但是对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q/⇒p，所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件． (4)画出Venn图，如图， 结合图形可知，A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UB⊆∁UA， 反之也成立．所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件． 15．(1)是否存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件？ (2)是否存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件？ 解：(1)欲使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件，则只要⊆{x|x<－1或x>3}，即只需－≤－1，解得m≥2. 故存在实数m≥2，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的充分条件． (2)欲使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆，这是不可能的． 故不存在实数m，使“2x＋m<0”是“x<－1或x>3”的必要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$