课时梯级训练(5) 全集、补集及综合运用（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(5)　全集、补集及综合运用 1．(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪(∁UM)＝ (　　) A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5} A　解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，所以∁UM＝{2，3，5}，又N＝{2，5}， 所以N∪(∁UM)＝{2，3，5}． 2．已知全集A＝{x|1<x≤27}，集合B＝{x|1<x<5}，则∁AB＝ (　　) A．{x|x≥5} B．{x|5<x≤27} C．{x|x≤1或x≥5} D．{x|5≤x≤27} D　解析：因为A＝{x|1<x≤27}，B＝{x|1<x<5}，所以∁AB＝{x|5≤x≤27}． 3．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则∁AB＝ (　　) A．{x|x是菱形} B．{x|x是内角都不是直角的菱形} C．{x|x是正方形} D．{x|x是邻边都不相等的矩形} B　解析：由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，得∁AB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}． 4．(2024·莆田第一中学高一期中)已知全集为实数集R，集合A＝{x|0<x<8}，B＝{－2，－1，0，1，2，3，4}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素个数为 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　解析：由A＝{x|0<x<8}，得∁RA＝{x|x≤0或x≥8}， Venn图中阴影部分表示的集合为(∁RA)∩B，而B＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，所以(∁RA)∩B＝{－2，－1，0}，阴影部分表示的集合的元素个数为3. 5．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}，用列举法表示集合∁S A是________． 答案：{(0，0)}　解析：∁S A ＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0，0)}． 6．已知全集U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m的值是________． 答案：－3　解析：因为∁UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}，即方程x2＋mx＝0的两个根分别为0，3， 所以m＝ －3. 7．已知全集U＝{－1，－2，－3，4，5，6}，集合A＝{－1，－2，4}，B＝{－3，6}，则(∁UA)∩(∁UB)＝________． 答案：{5}　解析：方法一　(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，A∪B＝{－1，－2，－3，4，6}， (∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝{5}． 方法二　∁UA＝{－3，5，6}，∁UB＝{－1，－2，4，5}， 则(∁UA)∩(∁UB)＝{5}． 8．已知集合A＝{x|－3≤x<6}，B＝{x|x<1或x>8}． 求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)(∁RA)∩B. 解：(1)因为A＝{x|－3≤x<6}，B＝{x|x<1或x>8}，所以A∩B＝{x|－3≤x<1}． (2)因为A＝{x|－3≤x<6}，B＝{x|x<1或x>8}， 所以A∪B＝{x|x<6或x>8}． (3)因为A＝{x|－3≤x<6}，B＝{x|x<1或x>8}， 所以∁RA＝{x|x<－3或x≥6}， 故(∁RA)∩B＝{x|x<－3或x>8}． 9．已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}． (1)当m＝1时，求A∪B； (2)若B⊆(∁RA)，求实数m的取值范围. 解：(1)当m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1<x<4}． (2)∁RA＝{x|x≤－1或x>3}．当B＝∅时，m≥1＋3m，得m≤－，满足B⊆(∁RA)； 当B≠∅时，要使B⊆(∁RA)成立， 则或解得m>3. 综上可知，实数m的取值范围是m>3或m≤－. 10．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝ (　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ A　解析：因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. 11．(多选)设全集为U，A，B为U的子集，且A⊆B，则下列结论正确的是 (　　) A．A∩B＝A B．A∪B＝B C．(∁UA)∩B＝∅ D．(∁UA)∪B＝U ABD　解析：对于A，因为A⊆B，所以A∩B＝A，A正确； 对于B，因为A⊆B，所以A∪B＝B，B正确； 对于C，当AB时，(∁UA)∩B≠∅，C错误； 对于D，因为A⊆B，所以(∁UA)∪B＝U，D正确． 12．(2025·南通月考)定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，则M－(M－N)＝ (　　) A．N B．M∩N C．M∪N D．M B　解析：M－N＝{x|x∈M且x∉N}是指图(1)中的阴影部分．同样M－(M－N)是指图(2)中的阴影部分，即M∩N，故选B. 13．设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________． 答案：{a|a≤1}　解析：因为A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，所以∁UA＝{x|x≤1}，由(∁UA)∪B＝R，可知a≤1. 14．已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(∁UB)＝________． 答案：{3}　解析：因为全集U＝{1，2，3，4}， 且∁U(A∪B)＝{4}， 所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}， 所以∁UB＝{3，4}， A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}， 所以A∩(∁UB)＝{3}． 15．设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋4x＋a＝0}，B＝{x|x2＋bx－2＝0}． (1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值； (2)若(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{－3}，求A∪B. 解：(1)因为集合A中恰有一个元素， 所以Δ＝16－4a＝0，解得a＝4. (2)因为(∁UA)∩B＝{2}， 所以2∈B，则4＋2b－2＝0，解得b＝－1； 又(∁UB)∩A＝{－3}， 所以－3∈A，则9－12＋a＝0，解得a＝3. 则A＝{x|x2＋4x＋3＝0}＝{－1，－3}， B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}， 检验可知(∁UA)∩B＝{2}，(∁UB)∩A＝{－3}成立． 所以A∪B＝{－3，－1，2}． 16．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 (　　) A．62% B．56% C．46% D．42% C　解析：设既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图， 则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.即该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%. 学科网（北京）股份有限公司 $$