课时梯级训练(3) 集合间的基本关系（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(3)　集合间的基本关系 1．已知A＝{x|x是正数}，B＝{x|x是正整数}，C＝{x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是 (　　) A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．C⊆A⊆B D．A＝B⊆C B　解析：集合A，B，C的关系如图．即B⊆A⊆C. 2．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}，集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是 (　　) A．MP B．PM C．M＝P D．M，P互不包含 D　解析：由于两集合代表元素不同，即M表示数集，P表示点集，因此M与P互不包含．故选D. 3．(2025·日照国开中学高一月考)已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|0<x<1}，则 (　　) A．A＝B B．AB C．BA D．A⊆B C　解析：因为A＝{x|x<－2或x>0}，B＝{x|0<x<1}，所以BA. 4．集合M＝{x∈N|－2<x≤3}的真子集个数为 (　　) A．7 B．8 C．15 D．16 C　解析：集合M中有0，1，2，3四个元素，故真子集的个数是24－1＝15. 5．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则 (　　) A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D B　解析：依题意可知C⊆B⊆A，D⊆B⊆A.故选B. 6．已知集合P＝{x|3x2－2x－1＝0}，写出集合P的所有子集为________． 答案：∅，，{1}，{－，1}　解析：因为P＝{x|3x2－2x－1＝0}＝， 所以P的子集为∅，，{1}，. 7．(2025·海南高一期中)若集合P＝{x∈Z|－1≤x＜4}，Q＝{a－1，a＋2}，且Q⊆P，则实数a＝________． 答案：0或1　解析：由题意可知，集合P＝{x∈Z|－1≤x＜4}＝{－1，0，1，2，3}， 又Q＝{a－1，a＋2}，Q⊆P，且a＋2比a－1大3，所以有以下两种情况： ①a－1＝－1，a＋2＝2，此时a＝0；②a－1＝0，a＋2＝3，此时a＝1. 综上所述，a＝0或a＝1. 8．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1<x－1<4}． (1)若A＝B，求y的值； (2)若A⊆C，求a的取值范围． 解：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1. 若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3.综上，y的值为1或3. (2)因为C＝{x|2<x<5}，A⊆C， 所以所以3<a<5. 9．已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A. (1)求a； (2)写出集合A的所有子集． 解：(1)∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a. ∴a＝－1或a＝－. 当a＝－1时，a－2＝2a2＋5a＝－3，集合A不满足元素的互异性，∴a＝－1(舍去). 当a＝－时，经检验，符合题意，故a＝－. (2)由(1)知A＝，∴A的子集为∅，，{－3}，{12}，{－，－3}，{－3，12}，{－，12}，{－，－3，12}． 10．(多选)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是 (　　) A．A⊆B B．B⊆A C．AB D．BA BD　解析：集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，能被6整除的数一定能被3整除，所以B⊆A，BA. 11．(多选)(2025·仙桃田家炳实验中学高一期中)已知集合A＝，B＝{x|(x－2)(ax－2)＝0}，若B⊆A，则实数a的值可以为 (　　) A．2　　　B．1　　　C．0　　　D．－1 ABC　解析：A＝{1，2}， 当a＝0时，B＝{2}，显然B⊆A，符合题意； 当a＝1时，B＝{2}，显然B⊆A，符合题意； 当a≠1且a≠0时，B＝，要想B⊆A，只需＝1，解得a＝2.综上所述，选项ABC符合题意． 12．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________． 答案：M＝P　解析：因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P也表示第三象限内的点，故M＝P. 13．(2025·常州高一月考)已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－5x＋a＝0}，且B⊆A，则实数a的取值范围为 ________． 答案：a＞或a＝6　解析：集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，因为B＝{x|x2－5x＋a＝0}，且B⊆A，若B≠∅，则B＝{2}或B＝{3}或B＝{2，3}， 当B＝{2}时，x2－5x＋a＝0有两个相等的实根，即x1＝x2＝2，x1＋x2＝4≠5，不合题意， 同理B＝{3}，不合题意，当B＝{2，3}时，2＋3＝5，a＝2×3＝6，符合题意； 若B＝∅，B⊆A成立，则Δ＝25－4a＜0，解得a＞， 综上，实数a的取值范围是a＞或a＝6. 14．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：∵B⊆A，∴B的可能情况有B＝∅和B≠∅两种． ①当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1. ②当B≠∅时，∵B⊆A， ∴或成立，解得a>3. 综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}． 15．已知集合M＝{1，2，3，4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的“累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n. (1)若n＝3，则这样的集合A共有______个； (2)若n为偶数，则这样的集合A共有________个． 答案：(1)2　(2)13　解析：(1)若n＝3，根据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1，3}，这样的集合A共有2个． (2)因为集合M的子集共有24＝16个，其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1，3}，共3个， 所以“累积值”为偶数的集合A共有16－3＝13个． 学科网（北京）股份有限公司 $$