阶段质量检测(2) 第2章 一元二次函数、方程和不等式（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

阶段质量检测(二) (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2025·海南中学高一期中)若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是 (　　) A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．随x值变化而变化 C　解析：因为y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1， 所以y1－y2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，故y1＞y2.故选C. 2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A∪B＝ (　　) A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x＜5} C．{x|2＜x＜4} D．{x|4＜x＜5} B　解析：A＝{x|1<x<4}，B＝{x|2<x<5}，故A∪B＝{x|1＜x＜5}. 3．若关于x的不等式mx2＋8mx＋28＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，则实数m的值是 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　解析：由已知得mx2＋8mx＋28＝0的两个根为－7，－1，则－7×(－1)＝，解得m＝4. 4．已知a，b，c∈R且a>b>c，则下列说法中正确的是 (　　) A．ac>bc B．a2>b2 C．< D．< D　解析：由题意可知a>b>c，但c的正负不确定，不一定有ac>bc，故A项错误； 若a＝－2，b＝－3，则a2<b2，故B项错误； 若a＝1，b＝－1，则>，故C项错误； 由于a>b>c，则a－c>b－c>0， 则<，故D项正确． 5．(2025·合肥高一期末)已知关于x的不等式ax2＋bx－2>0的解集为{x|1<x<2}, 则不等式 <0的解集是 (　　) A．{x|－1<x<} B．{x|<x<1} C．{x|－3<x<1} D．{x|－1<x<3} D　解析：由题可知ax2＋bx－2＝0的根为1和2，代入方程可得a＝－1，b＝3，不等式 <0等价于 <0，故解集为{x|－1<x<3}．故选D. 6．已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则a的最大值为 (　　) A．6 B．8 C．4 D．16 B　解析：∵a2＋b2＝13，∴a≤＝＝8，当且仅当a＝时等号成立，∴a的最大值为8. 7．若x，y满足(x－y－1)(y－x－1)＝xy，则 (　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥2 C．x2＋y2≥1 D．x2＋y2≤2 D　解析：因为(x－y－1)(y－x－1)＝xy，所以x2＋y2＝1＋xy，所以(x＋y)2＝1＋3xy， 因为x2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≥4xy，所以(x＋y)2≤1＋(x＋y)2， 即(x＋y)2≤1，故－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y时等号成立， 又x2＋y2≥2xy，所以x2＋y2≤1＋(x2＋y2)，故x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时，等号成立．故选D. 8．(2025·无锡高一期末)设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝10，则此三角形面积的最大值为 (　　) A．6 B．12 C．4 D．4 B　解析：由题意知a＝6，b＋c＝10，则p＝＝8， 故S＝＝4≤4×＝12，当且仅当b＝c＝5时，等号成立，此时三边可以构成三角形，故此三角形面积的最大值为12.故选B. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是 (　　) A．<<4 B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 D．<<5 AC　解析：由于6<a<60，15<b<18，所以>>，故<<4，故选项A正确；因为30<2b<36，所以36<a＋2b<96，故选项B错误；因为－15>－b>－18，所以－12<a－b<45，故选项C正确；＋1<<4＋1，即<<5，故选项D错误．故选AC. 10．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m可能的取值是 (　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 BCD　解析：因为mx2＋2mx－4<2x2＋4x，所以(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.当m＝2时，4>0，x∈R，满足题意；当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2<m<2.此时x∈R，满足题意．综上所述，－2<m≤2. 11．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E.则该图形可以完成的所有的无字证明为 (　　) A．≥(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0) C．≥(a＞0，b＞0) D．≥(a≥0，b＞0) AC　解析：利用三角形相似易得CD2＝AC·CB＝ab，由于OD≥CD，所以≥(a＞0，b＞0).由于CD2＝DE·OD，所以DE＝＝，由于CD≥DE，整理得≥＝(a＞0，b＞0).故选AC. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 12．(2025·周口高一期末)设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________． 答案：a＜b　解析：因为a＝＋2，b＝2＋， 所以a2＝11＋4，b2＝11＋4 所以a，b的大小关系为a＜b. 13．(2025·临沂高一检测)甲厂以x kg/h的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100(5x＋1－)元．要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是______，最大值是________． 答案：3　10　解析：要使生产该产品2 h获得的利润不低于3 000元，则2×100(5x＋1－)≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3，最大值是10. 14．已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤4}，ax≤2x2＋6”为真命题，则实数a的最大值是________． 答案：4　解析：由题意，∀x∈{x|1≤x≤4}，a≤2(x＋)恒成立，因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝时等号成立，所以a的最大值是4. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)当p，q都为正数且p＋q＝1时，比较代数式(px＋qy)2与px2＋qy2的大小． 解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy. 因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p， 所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2. 因为p，q都为正数，所以－pq(x－y)2≤0，当且仅当x＝y时等号成立， 因此(px＋qy)2≤px2＋qy2. 16．(15分)(2025·烟台高一月考)已知关于x的不等式ax2－x＋1－a＜0. (1)当a＝2时，解关于x的不等式； (2)当a＞0时，解关于x的不等式． 解：(1)当a＝2时，不等式2x2－x－1＜0可化为(2x＋1)(x－1)＜0， ∴不等式的解集为. (2)不等式ax2－x＋1－a＜0可化为(x－1)(ax＋a－1)＜0， 当a＞0时，(x－1)(x＋1－)<0，(x－1)(x＋1－)＝0的根为x1＝1，x2＝－1， ①当0<a<时，1<－1，∴不等式解集为， ②当a＝时，1＝－1，不等式解集为∅， ③当a>时，1>－1， ∴不等式解集为. 综上，当0<a<时，不等式解集为{x|1<x<－1}；当a＝时，不等式解集为∅；当a>时，不等式解集为. 17．(15分)某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(单位：km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费) (1)为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，汽车的行驶速度为多少？ 解：(1)设汽车行驶的速度为x km/h， ∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴×60＋1 000＋2x≤1 260，化简得x2－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90， ∴为使运输的总费用不超过1 260元，汽车行驶速度的范围为{x|40≤x≤90}． (2)设汽车行驶的速度为x km/h， ∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴×60＋1 000＋2x＝2x＋＋1 000≥2 ＋1 000＝1 240， 当且仅当2x＝，即x＝60时等号成立， ∴若要使运输的总费用最小，汽车应以60 km/h的速度行驶． 18．(17分)(2025·深圳高一检测)设函数y＝ax2＋(b－2)x＋3(a，b∈R)，当x＝1时，y＝4. (1)若a>0，b>0，求＋的最小值； (2)若ax2＋(b－2)x＋3<2在R上能成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，可得4＝a＋(b－2)＋3，即a＋b＝3，所以＋＝(＋)×＝＋＋≥2＋＝3，当且仅当＝，即a＝1，b＝2时等号成立，所以＋的最小值为3. (2)由题意可知ax2＋(b－2)x＋3<2⇒ax2＋(b－2)x＋1<0能成立， 由(1)知，b＝3－a，所以ax2＋(1－a)x＋1<0能成立． 当a＝0时，x＋1<0⇒x<－1，符合题意； 当a<0时，ax2＋(b－2)x＋1<0一定有解，符合题意； 当a>0时，只需Δ＝(1－a)2－4a>0，得0＜a＜3－2或a>3＋2. 综上，实数a的取值范围为{a|a＜3－2或a＞3＋2}． 19．(17分)(2025·邯郸高一期末)关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一．通过运算(代数变形)可以解决很多关于基本不等式的问题． 例如此题：已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为________． 其解法如下：＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立，因此＋的最小值为3. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”．根据上述材料解决以下问题． (1)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：＋≥4； (2)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则＋的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且x＋2y＝2，则＋的最小值是多少？”时，给出如下解法： 令t＝y＋1(t≥1)，则x＋2y＝2化为x＋2t＝4. 原式＝＋＝x＋＋2(t＋－2)＝(x＋2t－4)＋＋＝＋＝(＋)(x＋2t)＝(5＋＋)≥，当且仅当＝，即x＝t＝，即x＝，y＝时，等号成立． 所以＋的最小值为. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值是多少？ (1)证明：＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即c＝a＋b＝时，等号成立． (2)解：＋＝＋＝＋＝＋－≥2－＝2－＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，则＋的最小值是. (3)解：＋＝＝＝， 令t＝ab(t≤()2＝4)，则原式＝， 令μ＝9－t(μ≥5)， 则原式＝＝＝≤＝，当且仅当μ＝，即μ＝4，t＝ab＝9－4时，等号成立． 所以＋的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$