第5章 5.2.2 同角三角函数的基本关系（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系． 2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明． 知识点　同角三角函数的基本关系 1．计算下列式子的值． (1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°； (3)sin290°＋cos290°. 你能得出什么结论？ 2．设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sinα＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). 观察上述定义，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 同角三角函数的基本关系 1．文字语言：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 2．符号语言：(1)sin2α＋cos2α＝1； (2)当α≠kπ＋(k∈Z)时，＝tan_α． (1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意角”关系式都成立； (2)sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立； (3)sin2α是(sinα)2的缩写，不能写成sin α2. 角度1　求值问题 [例1] 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解：∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0， ∴sin α＝＝＝， tanα＝＝－； 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0， ∴sin α＝－＝－＝－， tanα＝＝. 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值． [练1](2025·郑州高一期末)已知tan α＝2，π＜α＜π，则cos α－sin α＝ (　　) A． B．－ C． D．－ A　解析：∵tan α＝＝2，∴sin α＝2cos α， 又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，sin2α＝. ∵π＜α＜π，∴sinα＝－，cos α＝－， ∴cos α－sin α＝.故选A. [例2] 已知＝3，计算下列各式的值． (1)tan α； (2)sin 2α－2sin αcos α. 解：(1)＝3，化简得4cos α＝2sin α， ∴tan α＝＝2. (2)sin2α－2sinαcos α＝＝＝＝0. 已知tan α的值，求关于sin α，cos α 齐次式的值的方法 (1)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cosα或cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值． (2)对于形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值． [练2] 已知tan α＝－4，求下列各式的值． (1)；(2)cos 2α－sin 2α. 解：(1)＝＝＝. (2)cos 2α－sin 2α＝＝＝＝－. 角度2　化简问题 [例3]化简： (1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α； (2)＋(180°＜α＜270°). 解：(1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2αcos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1. (2)因为180°＜α＜270°，所以sinα＜0， 原式＝＋＝＋＝＝－. 三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [练3] 若<α<π，化简＋. 解：因为<α<π， 所以cosα＝－，sinα＝， 所以原式＝＋＝－＝－＝0. 角度3　证明问题 [例4] (2025·济宁高一检测)求证：＝. 证明：左边＝＝＝＝＝右边，所以原等式成立． 证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等． (2)原则：由繁到简，变异为同． [练4] 求证：＝. 证明：左边＝＝＝＝＝＝＝右边， ∴原等式成立． 1．知识清单 (1)同角三角函数的基本关系； (2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明． 2．方法归纳：由部分到整体、整体代换法． 3．常见误区：求值时注意角的范围，如果无法确定，一定要对角所在的象限进行分类讨论． ◎随堂演练 1．等于 (　　) A．sin B．cos C．－sin D．－cos A　解析：∵0<<，∴sin >0， ∴＝＝sin. 2．(2025·长春高一期末)已知sin α＝，tan α＝－，则cos α等于 (　　) A．－ B． C．－ D． A　解析：sin α＝，tan α＝－， 则cos α＝＝＝－.故选A. 3．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)，则cos α等于 (　　) A． B．－ C． D．－ A　解析：由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cosα＝或cos α＝－2(舍去). 4．若sin α＝，cos α＝，则tan α＝________． 答案：　解析：tan α＝＝. 5．若α是第四象限角，cos α＝，求sin α的值． 解：因为α是第四象限角，所以sin α＜0. 因为cos α＝， sin2α＋cos2α＝1， 所以sin α＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$