第1章 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2．能正确使用存在量词、全称量词分别对全称量词命题、存在量词命题进行否定． 知识点一　全称量词命题的否定 全称量词命题的否定 　对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题：∀x∈M，p(x)， 它的否定：∃x∈M，¬p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题． (1)全称量词命题否定的口诀：改变量词，否定结论； (2)一个命题和它的否定只能一真一假； (3)常见词语的否定 正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于 不大于 (≤) 不小于 (≥) 不是 不都是 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n＋1个 [例1] 写出下列全称量词命题的否定． (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0都有实数根； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解． 解：(1)“任何一个平行四边形的对边都平行”的否定为“存在一个平行四边形，其对边不平行”． (2)“∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0都有实数根”的否定为“∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0无实数根”． (3)“∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解”的否定为“∃a，b∈R，方程ax＝b的解不唯一或不存在”． 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词； (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． [练]写出下列命题的否定： (1)∀x∈Q，x2－x＋1∈Q； (2)所有能被3整除的数都是奇数； (3)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根． 解：(1)此命题是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，即∃x∈Q，x2－x＋1∉Q. (2)此命题是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，即有些能被3整除的数不都是奇数． (3)此命题是全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题，即存在实数m，使得方程x2＋x－m＝0没有实数根． 知识点二　存在量词命题的否定 存在量词命题的否定 　对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论： 存在量词命题：∃x∈M，p(x)， 它的否定：∀x∈M，¬p(x)． 存在量词命题的否定是全称量词命题． 存在量词命题否定的口诀：改变量词，否定结论． [例2] 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)∃x∈R，使得|x＋3|≤3. 解：(1)中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除． (2)中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)中命题的否定为“∀x∈R，有|x＋3|>3”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋3|>3. 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词； (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定后的真假判断方法 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． 综合应用：全称量词命题与存在量词命题的综合 [例3] 已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0是假命题，则实数a的取值范围是 (　　) A．a<1 B．a<1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0 C　解析：∵命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0是假命题，∴命题p的否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0是真命题”，∴当a＝0时，x＝－，命题p的否定为真，当a≠0时，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1且a≠0.综上所述，a的取值范围是a≤1.故选C. 由含量词命题的真假求参数范围的思路 求参数的范围时，从真命题的角度考虑比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题且是假命题，可以写出该命题的否定，利用假命题的否定是真命题求得参数的范围． 1．知识清单 (1)全称量词命题、存在量词命题的否定； (2)命题真假的判断； (3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：命题与其否定的真假性相反. ◎随堂演练 1．(2025·青岛高一检测)已知命题p：∀x∈Z，|x|∈N，则 (　　) A．¬p：∃x∈Z，|x|∉N B．¬p：∃x∉Z，|x|∉N C．¬p：∀x∈Z，|x|∉N D．¬p：∀x∉Z，|x|∉N A　解析：由题意知，命题p的否定为∃x∈Z，|x|∉N.故选A. 2．(2025·邢台高一期中)命题“∃x∈R，x1 000＋2>0”的否定是 (　　) A．∃x∉R，x1 000＋2≤0 B．∃x∈R，x1 000＋2≤0 C．∀x∈R，x1 000＋2≤0 D．∀x∉R，x1 000＋2≤0 C　解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x∈R，x1 000＋2>0”的否定是“∀x∈R，x1 000＋2≤0”． 3．命题“所有男生都爱踢足球”的否定是 (　　) A．没有男生爱踢足球 B．所有男生都不爱踢足球 C．至少有一个男生不爱踢足球 D．所有女生都爱踢足球 C　解析：只要有一个男生不爱踢足球，就不能说所有的男生都爱踢足球，所以命题“所有男生都爱踢足球”的否定是“至少有一个男生不爱踢足球”．故选C. 4．已知命题“∃x≥3，使得2x－1<m”是假命题，求实数m的取值范围． 解：因为命题“∃x≥3，使得2x－1＜m”是假命题，所以其否定“∀x≥3，2x－1≥m”为真命题，所以m≤(2x－1)min，因为x≥3，所以2x－1≥5，所以m≤5. 学科网（北京）股份有限公司 $$